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1、第四章第四章 平面一般力系的简化及平衡方程平面一般力系的简化及平衡方程4.1 4.1 平面一般力系的简化平面一般力系的简化4.2 4.2 平面一般力系的平衡方程及其应用平面一般力系的平衡方程及其应用4.3 4.3 物体系的平衡问题物体系的平衡问题1 4-2 4-2 平面一般力系的平衡方程及其应用平面一般力系的平衡方程及其应用1.1.平衡方程的基本形式平衡方程的基本形式平面一般力系平衡的必要和充分条件：力系的主矢和力平面一般力系平衡的必要和充分条件：力系的主矢和力系对于任一点的矩都等于零，即：系对于任一点的矩都等于零，即：由此平衡条件可导出不同形式的平衡方程。由此平衡条件可导出不同形式的平衡方程
2、。2由此可得结论，平面一般力系平衡的解析条件是：由此可得结论，平面一般力系平衡的解析条件是：所有各力所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和都等于零；力系中所在两个任选的坐标轴上的投影的代数和都等于零；力系中所有各力对任一点的力矩的代数和等于零。有各力对任一点的力矩的代数和等于零。 需要指出的是，上述平衡方程是相互独立的，用来求需要指出的是，上述平衡方程是相互独立的，用来求解平面一般力系的平衡问题时，能且最多只能求解三个未解平面一般力系的平衡问题时，能且最多只能求解三个未知量。为了避免求解联立方程，应使所选的坐标轴尽量垂知量。为了避免求解联立方程，应使所选的坐标轴尽量垂直于未知力，所选矩心尽
3、量位于两个未知力的交点（可在直于未知力，所选矩心尽量位于两个未知力的交点（可在研究对象之外）上。此外，列平衡方程时，既可先列投影研究对象之外）上。此外，列平衡方程时，既可先列投影方程，也可先列力矩方程。总之，应尽量使每一方程式中方程，也可先列力矩方程。总之，应尽量使每一方程式中只含一个未知量，以便简化计算。只含一个未知量，以便简化计算。3 例例 已知：P=20kN, m=16kNm, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。解：研究解：研究ABAB梁梁解得：解得：4 例例 如图所示一钢筋混凝土刚架的计算简图，其左侧面受到一水平如图所示一钢筋混凝土刚架的计算简图，其左侧面受到一水平
4、推力推力P=5P=5KNKN的作用。刚架顶上有均布荷载，荷载集度为的作用。刚架顶上有均布荷载，荷载集度为q=22q=22KN/mKN/m，刚架自重不计，尺寸如图所示，试求刚架自重不计，尺寸如图所示，试求A A、B B处的支座反力。处的支座反力。 解：研究钢架，由：解：研究钢架，由：解得：解得：52.2.平衡方程的二矩式平衡方程的二矩式（A A与与B B两点的连线不垂直于两点的连线不垂直于x x轴）轴） 3.3.平衡方程的三矩式平衡方程的三矩式（A A、B B、C C三点不共线）三点不共线） 6应用平面一般力系的平衡方程求解平衡问题的解题步骤如下：应用平面一般力系的平衡方程求解平衡问题的解题步骤
5、如下：（1 1）确定研究对象）确定研究对象根据题意分析已知量和未知量，未知量要用已知量来表示，所根据题意分析已知量和未知量，未知量要用已知量来表示，所以研究对象上一定要有已知量，选取适当的研究对象。研究对象以研究对象上一定要有已知量，选取适当的研究对象。研究对象选的是否合适，关系到解题的繁简。选的是否合适，关系到解题的繁简。（2 2）画受力图）画受力图 在研究对象上画出它受到的所有主动力和约束反力。约束反力在研究对象上画出它受到的所有主动力和约束反力。约束反力根据约束类型来画。当约束反力的指向未定时，可以先假设其指根据约束类型来画。当约束反力的指向未定时，可以先假设其指向。如果计算结果为正，则
6、表示假设指向正确；如果计算结果为向。如果计算结果为正，则表示假设指向正确；如果计算结果为负，则表示实际的指向与假设的相反。负，则表示实际的指向与假设的相反。（3 3）列平衡方程）列平衡方程选取适当的平衡方程形式、投影轴和矩心。选取哪种形式的平选取适当的平衡方程形式、投影轴和矩心。选取哪种形式的平衡方程取决于计算的方便，尽量避免解联立方程，应用投影方程衡方程取决于计算的方便，尽量避免解联立方程，应用投影方程时，投影轴尽可能选取与较多的未知力的作用线垂直；应用力矩时，投影轴尽可能选取与较多的未知力的作用线垂直；应用力矩方程时，矩心往往取在两个未知力的交点。计算力矩时，要善于方程时，矩心往往取在两个
7、未知力的交点。计算力矩时，要善于运用合力矩定理，以便使计算简单。运用合力矩定理，以便使计算简单。（4 4）求解）求解：解平衡方程，求解未知量。：解平衡方程，求解未知量。（5 5）校核）校核7 例例 如图所示拱形桁架的一端如图所示拱形桁架的一端A A为铰支座，另一端为铰支座，另一端B B为滚轴支为滚轴支座，其支承面与水平面成倾角座，其支承面与水平面成倾角300300。桁架自重桁架自重G=100KNG=100KN, ,风压力风压力的合力的合力Q=20KN,Q=20KN,其方向水平向左，试求其方向水平向左，试求A A、B B 支座反力支座反力。 8解得：解得：解：解：1 1、选桁架为研究对象，画出其
8、受力图、选桁架为研究对象，画出其受力图 2 2、列平衡方程选、列平衡方程选A A、B B两点为矩心，用二矩式两点为矩心，用二矩式 9平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系，皆可看作平面平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系，皆可看作平面一般力系的特殊力系，它们的平衡方程皆可由平面一般力系一般力系的特殊力系，它们的平衡方程皆可由平面一般力系的平衡方程导出。的平衡方程导出。 1.1.平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程2 2）平面汇交力系平衡的必要与充分）平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：的几何条件是：力多边形自行封闭力多边形自行封闭1 1）平面汇交力系平衡的必要与充分）平面汇交力
9、系平衡的必要与充分的解析条件是：的解析条件是：各力在两个坐标轴各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零上投影的代数和分别等于零 利用几何法求解平面汇交力系的平衡利用几何法求解平面汇交力系的平衡问题时，画出自行封闭的力多边形问题时，画出自行封闭的力多边形 ，然后按比例尺从力多边形中直接量出然后按比例尺从力多边形中直接量出未知力的大小即可。未知力的大小即可。 10例 求当F力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h解解：1 1）研究块）研究块, ,受力如图受力如图，由力三角形：由力三角形：解得：解得：112）再研究球，受力如图再研究球，受力如图：作力三角形作力三角形12平面平行力系平面平行力系:各力
10、的作用线在同一平面内且相互平行的力系。各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。2 2、平面平行力系的平衡方程、平面平行力系的平衡方程平面平行力系平衡方程的一般形式：平面平行力系平衡方程的一般形式：平面平行力系平衡方程的二矩式：平面平行力系平衡方程的二矩式：（A A、B B两点连线不与诸力两点连线不与诸力平行）平行） 各力在各力在x x轴上的投影恒等于零，即轴上的投影恒等于零，即 所以只有两个独立方程，只能求解所以只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知量。两个独立的未知量。13 例例 塔式起重机如图所示，塔式起重机如图所示，机架重机架重G=700KNG=700KN，作用线通，作用线通过塔架中
11、心。最大起重量过塔架中心。最大起重量F FW1W1=200KN=200KN，最大悬臂长为，最大悬臂长为12m12m，轨道，轨道A A、B B的间距为的间距为4m4m，平衡块重，平衡块重F FW2W2，到机身中，到机身中心线距离为心线距离为6m6m。试问：。试问：1 1、保证起重机在满载、保证起重机在满载和空载都不致翻倒，求平和空载都不致翻倒，求平衡块的重量衡块的重量F FW2W2应为多少？应为多少？2 2、当平衡块重、当平衡块重F FW2W2=180KN=180KN时，求满载时轨时，求满载时轨道道A A、B B给起重机轮子的反给起重机轮子的反力。力。14解：解：1）画起重机受力图，画起重机受力
12、图，如图这些力组成平面平行如图这些力组成平面平行力系力系2、求起重机在满载求起重机在满载和空载时都不致翻倒的平和空载时都不致翻倒的平衡块重衡块重FW2的大小的大小 当满载时，为使起重机不当满载时，为使起重机不绕绕B B点翻倒，这些点翻倒，这些力必须满力必须满足平衡方程足平衡方程MB（F）=0在在临界情况下临界情况下，FRA=0，限制限制条件条件FRA0,才能保证起重才能保证起重机不绕机不绕B B点翻倒点翻倒。15限制条件：限制条件：解得：解得： 当空载时，此时当空载时，此时FW1=0,为使起重机不绕为使起重机不绕A A点翻倒，则必须满足点翻倒，则必须满足平衡方程平衡方程mA（F）=0,在临界情
13、况下，在临界情况下，FRB=0，限制条件限制条件FRB0,才能保证起重机不绕才能保证起重机不绕A点翻倒。点翻倒。限制条件：限制条件：解得解得：16由于起重机实际工作时不允许处于极限状态，要使起重机不会由于起重机实际工作时不允许处于极限状态，要使起重机不会翻倒，平衡块重量满足关系翻倒，平衡块重量满足关系：(3)、当当FW2=180kN时，求满载时，求满载（FW1=200kN）情况下，轨情况下，轨道道A A、B B给起重机轮子的反力给起重机轮子的反力FRA、FRB。解得：解得：173 3、平面力偶系的平衡方程、平面力偶系的平衡方程 由于平面力偶系合成的结果为一合力偶，由于平面力偶系合成的结果为一合
14、力偶，M=mM=m，而力偶，而力偶在任一轴上投影的代数和均为零。即平面一般力系的平衡方在任一轴上投影的代数和均为零。即平面一般力系的平衡方程的基本形式的两个投影方程均变成恒等式，故平面力偶系程的基本形式的两个投影方程均变成恒等式，故平面力偶系的平衡方程为：的平衡方程为：即平面力偶系平衡的充要条件是：力偶系中各力偶矩的即平面力偶系平衡的充要条件是：力偶系中各力偶矩的代数和为零。独立平衡方程数目是一个，能且只能求解代数和为零。独立平衡方程数目是一个，能且只能求解出一个未知数出一个未知数 一个未知力偶或一对未知力（力一个未知力偶或一对未知力（力偶臂已知时）。偶臂已知时）。 18 例例 梁梁ABAB的支座和受力情况如图所示。已知的支座和受力情况如图所示。已知m=10kNmm=10kNm，不，不计梁重，试求两支座反力。计梁重，试求两支座反力。 解：解：1 1）选梁）选梁ABAB为研究对象为研究对象, ,画分离体受力图画分离体受力图 2 2）列平衡方程，求解未知量）列平衡方程，求解未知量 解得：解得：根据力偶与力偶平衡的概念，根据力偶与力偶平衡的概念，A A支座反力与支座反力与B B支座反力组成一个支座反力组成一个力偶与力偶与m m平衡。平衡。 19
