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1、离散型随机变量的均值与方差、离散型随机变量的均值与方差、正态分布正态分布重点重点难难点点教教材材回回扣扣夯夯实实双双基基重重点点：理理解解掌掌握握随随机机变变量量的的期期望望、方方差差的概念和正的概念和正态态分布的概念分布的概念. 难难点：随机点：随机变变量的期望与方差的意量的期望与方差的意义义、正正态态曲曲线线的性的性质质.基基础础梳理梳理1均值均值(1)若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布列为的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则则称称EX_为为随机随机变变量量X的均的均值值或数学期望，它反映或数学期望，它反映了离散型随机了离散型随机变变量取量取值值的的_(2)若若YaXb，
2、其中，其中a，b为为常数，常数，则则Y也是随机也是随机变变量，且量，且E(aXb)_.x1p1x2p2xipixnpn平均水平平均水平aEXbnpp2方差方差(1)设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布列为的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipnX(2)D(aXb)_.(3)若若X服从两点分布，服从两点分布，则则DX_(4)若若XB(n，p)，则则DX_a2DXp(1p)np(1p)思考探究思考探究1随随机机变变量量的的均均值值、方方差差与与样样本本均均值值、方差的关系是怎、方差的关系是怎样样的？的？提示：提示：随机随机变变量的均量的均值值、方差是一个、方差是一个常数，常数，样样本均本
3、均值值、方差是一个随机、方差是一个随机变变量，随量，随观测观测次数的增加或次数的增加或样样本容量的本容量的增加，增加，样样本的均本的均值值、方差、方差趋趋于随机于随机变变量的均量的均值值与方差与方差(3)正正态态曲曲线线的特点的特点曲曲线线位于位于x轴轴_,与与x轴轴_；曲曲线线是是单单峰峰的的，它它关关于于直直线线_对对称；称；曲曲线线在在x处处达到峰达到峰值值_；曲曲线线与与x轴轴之之间间的面的面积为积为_；上方上方不相交不相交x1当当一一定定时时，曲曲线线随随着着的的变变化化而而沿沿x轴轴平移；平移；当当一定一定时时,曲曲线线的形状由的形状由确定确定_，曲，曲线线越越“瘦高瘦高”，表示，
4、表示总总体体的分布越的分布越_；_，曲，曲线线越越“矮胖矮胖”，表示，表示总总体的分布越体的分布越_越小越小集中集中越大越大分散分散课前热身课前热身答案：答案：B答案：答案：B3 口口 袋袋 中中 有有 5只只 球球 ， 编编 号号 分分 别别 为为1,2,3,4,5，从从中中任任意意取取3只只球球以以X表表示示取取出出的的球球的的最最大大号号码码，则则X的的期期望望EX的的值值是是()A4 B4.5C4.75 D5答案：答案：B4在在篮篮球球比比赛赛中中，罚罚球球命命中中1次次得得1分分，不不中中得得0分分如如果果某某运运动动员员罚罚球球命命中中的的概概率率为为0.7，那那么么他他罚罚球球1
5、次次的的得分得分X的均的均值值是是_答案：答案：0.75有有一一批批产产品品，其其中中有有12件件正正品品和和4件件次次品品，有有放放回回地地任任取取3次次，每每次次1件件，若若X表表 示示 取取 到到 次次 品品 的的 次次 数数 ， 则则 D(X)_.考考点点1离离散散型型随随机机变变量量的的均均值值与与方方差差求求离离散散型型随随机机变变量量X的的均均值值与与方方差差的的方方法法步步骤骤(1)理理解解X的的意意义义，写写出出X可可能能取取的的全全部部值值(2)求求X取每个取每个值值的概率的概率考考点点探探究究讲讲练练互互动动考点突破考点突破考点突破考点突破(3)写出写出X的分布列的分布列
6、(4)由均由均值值的定的定义义求求EX.(5)由方差的定由方差的定义义求求DX.例例例例1 1(1)求该生至少有求该生至少有1门课程取得优秀成绩门课程取得优秀成绩的概率；的概率；(2)求求p，q的值；的值；(3)求数学期望求数学期望E.【规规律方法律方法】离散型随机离散型随机变变量的分量的分布列、均布列、均值值、方差是三个、方差是三个紧紧密相密相连连的的有机有机统统一体，一般在一体，一般在试题试题中中综综合在一合在一起起进进行考行考查查其解其解题题的关的关键键是求出分是求出分布列，然后直接套用公式即可在解布列，然后直接套用公式即可在解题过题过程中注意利用等可能性事件、互程中注意利用等可能性事件
7、、互斥事件、相互独立事件或独立重复斥事件、相互独立事件或独立重复试试验验的概率公式的概率公式计计算概率算概率考点考点2均值与方差的实际应用均值与方差的实际应用离散型随机离散型随机变变量均量均值值与方差的与方差的应应用用问题问题,一般一般应应先分析先分析题题意，明确意，明确题题目欲求的是均目欲求的是均值还值还是方差，在此基是方差，在此基础础上将上将题题中考中考查查的数的数量指量指标标用随机用随机变变量表示，把量表示，把实际问题转实际问题转化化为为随机随机变变量的均量的均值值与方差与方差例例例例2 2价格下降的概率都是价格下降的概率都是p(0p1)，设设乙乙项项目目产产品价格在一年内品价格在一年内
8、进进行两次独立行两次独立的的调调整整记记乙乙项项目目产产品价格在一年内品价格在一年内的下降次数的下降次数为为X，对对乙乙项项目每投目每投资资十万十万元，元，X取取0、1、2时时，一年后相，一年后相应应利利润润是是1.3万元、万元、1.25万元、万元、0.2万元，随机万元，随机变变量量X1，X2分分别别表示表示对对甲、乙两甲、乙两项项目目各投各投资资十万元一年后所十万元一年后所获获的利的利润润(1)求求X1，X2的分布列和均值的分布列和均值EX1，EX2；(2)当当EX1EX2时，求时，求p的取值范围的取值范围【思思路路分分析析】(1)求求分分布布列列，应应先先确确定定X2的取的取值值，再求，再
9、求X2的取的取值对应值对应的概率；的概率；(2)由由EX1EX2，找出关于，找出关于p的不等式，即的不等式，即可求出可求出p的范的范围围【解解】(1)X1的分布列为的分布列为X012P(1p)22p(1p)p2故故X2的概率分布列的概率分布列为为X21.31.250.2P(1p)22p(1p)p2所所以以EX21.3(1p)21.252p(1p)0.2p2 1.3(1 2p p2) 2.5(p p2)0.2p2p20.1p1.3.(2)由由 EX11.18，整理得整理得(p0.4)(p0.3)0，解得解得0.4p0.3.因因为为0p1，所以当，所以当EX1EX2时时，p的取的取值值范范围围是是
10、0p0.3.【失失误误探究探究】在求解在求解X2的分布列的分布列时时,往往因求不出往往因求不出X2的各个取的各个取值值的概的概率而解不出本率而解不出本题题，出，出现这现这种种现现象的象的原因是：没有搞清原因是：没有搞清X取取0,1,2的概率就的概率就是是X2取取1.3万元，万元，1.25万元，万元，0.2万元万元的概率的概率考点考点3正态分布正态分布关关于于正正态态总总体体在在某某个个区区间间内内取取值值的的概概率率求求法法(1)熟熟记记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的的值值(2)充分利用正充分利用正态态曲曲线线的的对对称性和曲称性和曲线线与与x轴轴之之间间的面的面积为积为1.例例例例3
11、 3 设设XN(5,1)，求，求P(6X7)【思思路路分分析析】利利用用正正态态分分布布的的对对称称性，性，P(6X7)P(3X4)【解解】由已知由已知5，1.P(4X6)0.6826，P(3X7)0.9544.P(3X4)P(6X7)0.95440.68260.2718.【名名师师点点评评】在利用在利用对对称性称性转转化化区区间时间时，要注意正，要注意正态态曲曲线线的的对对称称轴轴是是x，而不是，而不是x0(0)互动探究互动探究若其他条件不变，则若其他条件不变，则P(X7)及及P(5X6)应如何求解？应如何求解？解：由解：由1，5，P(3X7)P(521X521)0.9544，方法技巧方法技
12、巧1释释疑离散型随机疑离散型随机变变量的均量的均值值(1)均均值值是是算算术术平平均均值值概概念念的的推推广广，是是概概率意率意义义下的平均下的平均(2)EX是一个是一个实实数，由数，由X的分布列唯一确的分布列唯一确定，它描述定，它描述X取取值值的平均状的平均状态态方法感悟方法感悟方法感悟方法感悟(3)教材中给出的教材中给出的E(aXb)aEXb,说明随机变量说明随机变量X的线性函数的线性函数YaXb的均值等于随机变量的均值等于随机变量X均值的线均值的线性函数性函数2离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差(1)DX表示随机变量表示随机变量X对对EX的平均偏的平均偏离程度，离程度，失误防范失误
13、防范1对对于于应应用用问问题题，必必须须对对实实际际问问题题进进行行具具体体分分析析，一一般般要要先先将将问问题题中中的的随随机机变变量量设设出出来来，再再进进行行分分析析，求求出出随随机机变变量量的的概概率率分分布布列列，然然后后按按定定义义计计算算出出随随机机变变量量的的期望、方差或期望、方差或标标准差准差2离离散散型型随随机机变变量量的的期期望望与与方方差差若若存存在在则则必必唯唯一一，期期望望E()的的值值可可正正也也可可负负，而而方方差差的的值值则则一一定定是是一一个个非非负负值值它它们们都由都由的分布列唯一确定的分布列唯一确定. 3D(ab)a2D()，在，在记忆记忆和使用和使用此
14、此结论时结论时，请请注意注意D(ab)aD()b，D(ab)aD()4在在实际问题实际问题中中进进行概率、百分比行概率、百分比计计算算时时，关，关键键是把正是把正态态分布的两个重要分布的两个重要参数参数，求出，然后确定三个区求出，然后确定三个区间间(范范围围)：(，)，(2,2),(3，3)与已知概率与已知概率值进值进行行联联系系求解求解命题预测命题预测从从近近几几年年的的广广东东高高考考试试题题来来看看，离离散散型型随随机机变变量量的的均均值值与与方方差差是是高高考考的的热热点点,题题型型为为填填空空题题或或解解答答题题，属属中中档档题题常常与与排排列列、组组合合、概概率率等等知知识识综综合
15、合命命题题，既既考考查查基基本本概概念念，又又注注重重考考查查基基本本运运算算能能力和力和逻辑逻辑推理、理解能力推理、理解能力考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考预测预测2013年广东高考，离散型随机年广东高考，离散型随机变量的均值与方差仍然是高考的热变量的均值与方差仍然是高考的热点点,同时应特别注意均值与方差的同时应特别注意均值与方差的实际应用实际应用例例例例规范解答规范解答 (本本题满题满分分12分分)(2010高考浙江高考浙江卷卷)如如图图，一个小球从，一个小球从M处处投入，通投入，通过过管道自上而下落到管道自上而下落到A或或B或或C.已知小球已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能从每个叉
16、口落入左右两个管道的可能性是相等的性是相等的某某商商家家按按上上述述投投球球方方式式进进行行促促销销活活动动,若若投投入入的的小小球球落落到到A，B，C，则则分分别别设设为为1,2,3等奖等奖(1)已知获得已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量记随机变量为获得为获得k(k1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望的分布列及期望E；(2)若有若有3人次人次(投入投入1球为球为1人次人次)参加促参加促销活动，记随机变量销活动，记随机变量为获得为获得1等奖或等奖或2等奖的人次，求等奖的人次，求P(2)【解解】(1)由由题题意得意得的分布列的分布列为为 刚才的发言，如刚才的发言，如有不当之处请多指有不当之处请多指正。谢谢大家！正。谢谢大家！59
