《第四节二阶常系数齐次线性微分方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四节二阶常系数齐次线性微分方程（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一阶线性方程一阶线性方程对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解常数变易法常数变易法二阶微分方程二阶微分方程复习复习:第四节第四节 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程的概念及其性质一、二阶常系数齐次线性微分方程的概念及其性质二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 证明证明解的线性组合解的线性组合对于二阶常系数齐次线性微分方程，对于二阶常系数齐次线性微分方程， 具有下面的性质具有下面的性质 证毕证毕问题问题:例如例如例如例如线性无关线性无关例如例如将其代入上
2、方程将其代入上方程, 得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根(p,q为常数为常数)是方程的解是方程的解.二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法(1) 有两个不相等的实根有两个不相等的实根两个线性无关的特解：两个线性无关的特解：得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为设特征根为设特征根为如如特征方程为特征方程为(2) 有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为如如特征方程为特征方程为(3) 有一对共轭复根有一对共轭复根重新组合重新组合得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为设特征根为设特征根为如如特征方
3、程为特征方程为定义定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为解的方法称为特征方程法特征方程法.总之总之解解 特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为解解 特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为(C1,C2为任意常数任意常数).解解 特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为解解 特征方程为特征方程为解得解得方程的通解方程的通解为 于是于是 对其求导得对其求导得 所求特解为所求特解为 图6.1解解由题意可得微分方程由题意可得微分方程其特征方程其特征方程为特征根为特征根为所以方程的通解为所以方程的通解为若令若令则通解为则通解为四、小结四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解. 作业：作业：P172 P172 练习题练习题6.4 16.4 1， 2 2
