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1、第一章第一章 计数原理计数原理1.1 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原分类加法计数原理与分步乘法计数原理理狐狸想狐狸想 从草地逃到小岛，可以走水路从草地逃到小岛，可以走水路,也可以走陆路，也可以走陆路，走水路有走水路有2艘船，走陆路有艘船，走陆路有3辆车子，问：乘坐这些交通辆车子，问：乘坐这些交通工具工具,一共有多少种不同的方法，可以从草地逃回到小岛一共有多少种不同的方法，可以从草地逃回到小岛安全地安全地引例引例1:1:草地草地 狐狸总共有多少种狐狸总共有多少种方法逃到安全地？方法逃到安全地？ 问题剖析问题剖析 (1)要我们做什么事情要我们做什么事情完成这个事情有完成这个事情有几类几类
2、方法方法每类每类方法能否独立完成这件事情方法能否独立完成这件事情每类每类方法中分别有几种不同的方法方法中分别有几种不同的方法完成这件事情共有多少种不同的方法完成这件事情共有多少种不同的方法草地到安全地草地到安全地2 2类类能能2 2种种 3 3种种2+3=5种种水路水路2 种种陆路陆路3 种种如果狐狸还有如果狐狸还有4 4辆自行车可以选择呢辆自行车可以选择呢? ?2+3+4=9种种一、分类加法计数原理一、分类加法计数原理 完完成成一一件件事事有有两两类类不不同同方方案案，在在第第1 1类类方方案案中中有有m种种不不同同的的方方法法，在在第第2 2类类方方案案中中有有n种不同的方法种不同的方法.
3、 . 那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法种不同的方法. .1.1 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原分类加法计数原理与分步乘法计数原理理例例1:1:书架的第一层有书架的第一层有6 6本不同的数学书本不同的数学书, ,第二层有第二层有7 7本不同的英语书本不同的英语书, ,第三层有第三层有1010本不同的语文书本不同的语文书, ,现想现想从书架上取一本书从书架上取一本书, ,共有多少种不同的方法？共有多少种不同的方法？加问：若第四层中还有本不同的物理书，第五加问：若第四层中还有本不同的物理书，第五层中还有本不同的生物书，又会如何呢？层中还有本不同的生物书，又会如
4、何呢？从书架上拿一本书从书架上拿一本书有三类方法有三类方法能能6 6种种,7,7种种,10,10种种6+7+10=236+7+10=23种种4040种种 问题剖析问题剖析 (1)要我们做什么事情要我们做什么事情完成这个事情有几类方法完成这个事情有几类方法每类方法能否独立完成这件事情每类方法能否独立完成这件事情每类方法中分别有几种不同的每类方法中分别有几种不同的方法方法完成这件事情共有多少种不同完成这件事情共有多少种不同的方法的方法1.1 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原分类加法计数原理与分步乘法计数原理理 一般归纳：一般归纳： 完完成成一一件件事事情情，有有n类类办办法法，在在第第1类
5、类办办法法中中有有m1种种不不同同的的方方法法，在在第第2类类办办法法中中有有 m2种种不不同同的的方方法法在在第第n类类办办法法中中有有mn种种不同的方法不同的方法. .那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn 种不同的方法种不同的方法. .分类加法计数原理分类加法计数原理 狐狸有一共有多少种不同的方法，可以从狐狸有一共有多少种不同的方法，可以从小岛小岛逃回到自己的房子（安全地）逃回到自己的房子（安全地）1.1 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原分类加法计数原理与分步乘法计数原理理 狐狸有一共有多少种不同的方法，可以狐狸有一共有多少种不同的方法，可以从从草地草地逃回到
6、自己的房子（安全地）逃回到自己的房子（安全地）1.1 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原分类加法计数原理与分步乘法计数原理理引例引例2:2:草地草地 5 5种种方方法法小岛小岛安全地安全地2 2种种方方法法 问题剖析问题剖析 (2)要我们做什么事情要我们做什么事情完成这个事情要分几完成这个事情要分几步步每步每步方法能否独立完成这件事情方法能否独立完成这件事情每步每步方法中分别有几种不同的方法方法中分别有几种不同的方法完成这件事情共有多少种不同的方法完成这件事情共有多少种不同的方法草地到安全地草地到安全地2步步不能不能5种种 2种种52=10种种a1a2 a3 a4 a5b1 b21.1
7、1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原分类加法计数原理与分步乘法计数原理理1.1 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原分类加法计数原理与分步乘法计数原理理 问题剖析问题剖析（1)1)(2)(2)要我们做什么事情要我们做什么事情草地到小岛草地到小岛 草地到房子草地到房子完成这个事情有完成这个事情有几类几类( (步步）方法方法2 2类类2 2步步每类（每类（步步）方法能否独立方法能否独立完成这件事情完成这件事情能能不能不能每类（每类（步步）方法中分别有方法中分别有几种不同的方法几种不同的方法2 2种，种，3 3种种5 5种，种，2 2种种完成这件事情共有多少种完成这件事情共有多少种不同的方法
8、不同的方法2 2+ +3=53=55 52=102=101.1 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原分类加法计数原理与分步乘法计数原理理二、分步乘法计数原理二、分步乘法计数原理 完完成成一一件件事事有有两两类类不不同同方方案案，在在第第1类类方方案案中中有有m种种不不同同的的方方法法，在在第第2类类方方案案中中有有 种种n不同的方法。那么完成这件事共有不同的方法。那么完成这件事共有 N=mn 种种不同的方法不同的方法. . 例例2:2:书架的第一层有书架的第一层有6 6本不同的数学书，第二层本不同的数学书，第二层有有7 7本不同的英语书，第三层有本不同的英语书，第三层有1010本不同的语文
9、书，本不同的语文书，现从书架第一层、第二层、第三层各取一本书，现从书架第一层、第二层、第三层各取一本书，共有多少种不同的方法？共有多少种不同的方法？解：从书架解：从书架, , ,层各取一本层各取一本, ,可以分成三个可以分成三个步骤完成：步骤完成：第一步从第第一步从第1 1层取层取1 1本数学书，有本数学书，有6 6种方法，种方法，第二步从第第二步从第2 2层取层取1 1本英语书，有本英语书，有7 7种方法，种方法，第三步从第第三步从第3 3层取层取1 1本语文书，有本语文书，有1010种方法，种方法，根据根据分步计数分步计数原理，得不同的取法有：原理，得不同的取法有：N=mN=m1 1m m
10、2 2m m3 3=6=6420420答答:从书架的第从书架的第,层个取一本书层个取一本书,有有420种不同的方法种不同的方法1.1 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原分类加法计数原理与分步乘法计数原理理1.1 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原分类加法计数原理与分步乘法计数原理理 完成一件事情，需要分成完成一件事情，需要分成n个步骤，做第个步骤，做第1步有步有m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有m2种不同种不同的法，的法，做第做第n步有步有mn种不同的方法，那么种不同的方法，那么完成这件事情有完成这件事情有 N=m1m2mn种不同的方法种不同的方法. .分步分步乘法
11、乘法计数原理计数原理 原理的联系、区别及特点：原理的联系、区别及特点： 分类法：相互独立，每种方法均能独立分类法：相互独立，每种方法均能独立 完成这件事完成这件事 分步法：各步骤中的方法相互依存，只分步法：各步骤中的方法相互依存，只 有各个步骤都完成才算完成这件事有各个步骤都完成才算完成这件事：都要有一个确定的标准：都要有一个确定的标准, , 分类时要彻分类时要彻底底, , 无交叉无交叉, , 分步时要恰到好处。分步时要恰到好处。: :都是有关做一件事情的不同方法的种都是有关做一件事情的不同方法的种数的问题。数的问题。联系联系区别区别特点特点1.1 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原分类
12、加法计数原理与分步乘法计数原理理分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.1 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原分类加法计数原理与分步乘法计数原理理相相互互联联系系，分分步步到到达达。相相互互独独立立，直直达达目目的的。分类加法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理1.1 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原分类加法计数原理与分步乘法计数原理理分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是
13、不同类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即的方法，即“不重不漏不重不漏”. . 运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：的注意点：分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须连续完成这满足：必须连续完成这n n个步骤，这件事才算个步骤，这件事才算完成完成。例例2.2.书书架架的的第第1 1层层放放有有4 4本本不不同同的的计计算算机机书书，第第2 2层层放放有有3 3本不同的文艺书，本不同的文艺书，第第3 3层层放有放有2 2本不同的体育杂志。本不同的体育杂志。 （1 1）从书架上任取）从书
14、架上任取1 1本书，有多少种不同的取法本书，有多少种不同的取法? ?（2 2）从从书书架架的的第第1 1、2 2、3 3层层各各取取1 1本本不不同同的的书书，有有多多少少种不同的取法？种不同的取法？ 解：解：（1 1）从书架上任取）从书架上任取1 1本书，有本书，有3 3类办法：类办法：第第1 1类办法有类办法有4 4种取法；种取法；第第2 2类办法有类办法有3 3种取法；种取法；第第3 3类办法有类办法有2 2种取法；种取法；根据分类计数原理，不同取法的种数是根据分类计数原理，不同取法的种数是 N=4+3+2=9N=4+3+2=9种。种。答：从书架上任取答：从书架上任取1 1本书，有本书，
15、有9 9种不同的取法。种不同的取法。 解：解：（2 2）从书架的第）从书架的第1 1、2 2、3 3层各取层各取1 1本书，可本书，可分分3 3个步骤完成：个步骤完成：第第1 1步有步有4 4种方法；种方法；第第2 2步有步有3 3种方法；种方法；第第3 3步有步有2 2种方法；种方法；根据分步计数原理，不同取法的种数是根据分步计数原理，不同取法的种数是 N=4N=43 32=242=24种种答：从书架的第答：从书架的第1 1、2 2、3 3层各取层各取1 1本书，有本书，有2424种不同的取法。种不同的取法。例例2.2.书书架架的的第第1 1层层放放有有4 4本本不不同同的的计计算算机机书书
16、，第第2 2层层放放有有3 3本不同的文艺书，本不同的文艺书，第第3 3层层放有放有2 2本不同的体育杂志。本不同的体育杂志。 （1 1）从书架上任取）从书架上任取1 1本书，有多少种不同的取法本书，有多少种不同的取法? ?（2 2）从从书书架架的的第第1 1、2 2、3 3层层各各取取1 1本本不不同同的的书书，有有多多少少种不同的取法？种不同的取法？ 解：需先分类再分步解：需先分类再分步. .（3 3）从书架上取）从书架上取2 2本不同种的书本不同种的书, ,有多少种不同有多少种不同的取法的取法? ?根据两个基本原理，不同的取法总数是根据两个基本原理，不同的取法总数是 N=4N=43+43
17、+42+32+32=262=26第一类：从一、二层各取一本，第一类：从一、二层各取一本，有有4 43=123=12种方法；种方法；第二类：从一、三层各取一本，第二类：从一、三层各取一本，有有4 42=82=8种方法；种方法；第三类：从二、三层各取一本，第三类：从二、三层各取一本，有有3 32=62=6种方法；种方法；答答: : 从书架上取从书架上取2 2本不同种的书本不同种的书, ,有有2626种不同种不同的取法的取法. .3、某艺术组有某艺术组有9 9人，每人至少会钢琴和小号中的一人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中种乐器，其中7 7人会钢琴，人会钢琴，3 3人会小号，从中选出会人会小
18、号，从中选出会钢琴与会小号的各钢琴与会小号的各1 1人，有多少种不同的选法？人，有多少种不同的选法？ 第一类：多面手入选，另一人只需从其他第一类：多面手入选，另一人只需从其他8 8人中任选一个，故这类选法共有人中任选一个，故这类选法共有8 8种种1.1 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理解：由题意可知，在艺术组解：由题意可知，在艺术组9 9人中，有且仅有一人中，有且仅有一人既会钢琴又会小号，只会钢琴的有人既会钢琴又会小号，只会钢琴的有6 6人，只会人，只会小号的有小号的有2 2人，把会钢琴、小号各人，把会钢琴、小号各1 1人的选法分为人的选法分为两类：
19、两类：第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6 6个只个只会钢琴的人中选出，会小号的会钢琴的人中选出，会小号的1 1人也只能从只会小人也只能从只会小号的号的 2 2人中选出，放这类选法共有人中选出，放这类选法共有6 62 21212种，种，故共有故共有2020种不同的选法种不同的选法4 4、给程序模块命名，需要用、给程序模块命名，需要用3 3个字符，其中首个字符要求用字个字符，其中首个字符要求用字母母A AG G或或U UZ Z，后两个要求用数字，后两个要求用数字1 19 9，问最多可以给多少，问最多可以给多少个程序命名？个程序命名？分析：分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字符；第二步，先中间字符；骤：第一步，选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。第三步，选末位字符。解：解：首字符共有首字符共有7+613种不同的选法，种不同的选法，答：答：最多可以给最多可以给1053个程序命名。个程序命名。中间字符和末位字符各有中间字符和末位字符各有9种不同的选法种不同的选法根据分步计数原理，最多可以有根据分步计数原理，最多可以有13991053种不同的选法种不同的选法1.1 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理
