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1、专业课强化精讲课程专业课强化精讲课程第第2 2讲讲随机信号分析随机信号分析1考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修 随机信号分析：随机过程的随机信号分析：随机过程的 基本概念；平稳随机过程；高斯过程；窄带随机过基本概念；平稳随机过程；高斯过程；窄带随机过程；白噪声和带限白噪声；正弦波加窄带随机过程；随程；白噪声和带限白噪声；正弦波加窄带随机过程；随机过程通过线性系统。机过程通过线性系统。2考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修3.1.1 3.1.1 随机过程随机过程的分布函数的分布函数 设设 ( (t t) )表示一个随机过程，它在任意时刻表示一个随机过程，它在任意
2、时刻t t1 1的值的值 ( (t t1 1) )是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。函数来描述。（1 1）随机过程随机过程 ( (t t) )的一维描述的一维描述一维分布函数一维分布函数一维概率密度函数一维概率密度函数若上式中的偏导存在的话。若上式中的偏导存在的话。3考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修目的目的/意义：意义： 可可以以把把随随机机过过程程(t)当当作作一一个个多多元元的的随随机机变变量量来来看看待待，而而用用这这个个多多元元随随机机变变量量(t1)，(t2)，.，(tn)的的分分布布函
3、函数数或或概率密度来描述随机过程的统计特性。概率密度来描述随机过程的统计特性。 显然，显然，n 越大，对随机过程的描述越充分。越大，对随机过程的描述越充分。统计独立统计独立: 对于任何对于任何n个随机变量个随机变量(t1)，(t2)，.，(tn)，如果下式成立，如果下式成立 fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn） =f1（x1，t1）f2（x2，t2）.fn（xn，tn）则称这些变量是统计独立的，否则就是不独立的或相关的。则称这些变量是统计独立的，否则就是不独立的或相关的。4考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修随机过程在任意给定时刻随机过程在任意给定时刻t t的均值
4、。的均值。3.1.2 3.1.2 随机过程随机过程的数字特征的数字特征1. 1. 均值（数学期望）均值（数学期望） 随机过程随机过程( (t t) )在任意给定时刻在任意给定时刻t t1 1的取值的取值 ( (t t1 1) )是一个随是一个随机变量，其均值机变量，其均值 式中式中 f f ( (x x1 1, , t t1 1) ) ( (t t1 1) )的概率密度函数。的概率密度函数。 由于由于t t1 1是任取的，所以可以把是任取的，所以可以把 t t1 1 直接写为直接写为t t， x x1 1改为改为x x，这样，这样5考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修a a (
5、 (t t ) ) ( (t t) )的均值是时间的确定函数，常记作的均值是时间的确定函数，常记作a a ( ( t t ) )，它表示随机，它表示随机过程的过程的n n个样本函数曲线的摆动中心：个样本函数曲线的摆动中心：6考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修2. 2. 方差方差均方值均方值均值平方均值平方方差常记为方差常记为 2 2( ( t t ) )。这里也把任意时刻。这里也把任意时刻t t1 1直接写成了直接写成了t t 。因为因为所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻刻 t t 相对于均值相对于均
6、值a a ( ( t t ) )的偏离程度。的偏离程度。7考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修3.3.协方差与相关函数协方差与相关函数 ( (t t) )不同时刻取值之间的相互关系不同时刻取值之间的相互关系假定：假定： ( (t t1 1) )和和 ( (t t2 2) )分别是在分别是在t t1 1和和t t2 2时刻观测得到的随机变量。时刻观测得到的随机变量。（1 1）相关函数同一随机过程的相关程度）相关函数同一随机过程的相关程度f f2 2 ( (x x1 1, , x x2 2; ; t t1 1, , t t2 2) ) ( (t t) )的二维概率密度函数。的二维概
7、率密度函数。可以看出，可以看出，R R( (t t1 1, , t t2 2) )是两个变量是两个变量t t1 1和和t t2 2的确定函数。的确定函数。 R R( ( t t, ,) )（2 2）协方差函数）协方差函数8考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修相关函数和协方差函数之间的关系：相关函数和协方差函数之间的关系：特别：若特别：若a a( (t t1 1) ) 或或 a a( (t t2 2) )为为0 0，则，则 B B( (t t1 1, , t t2 2) = ) = R(tR(t1 1, , t t2 2) )4. 4. 互相关函数两个随机过程的相关程度互相关函数
8、两个随机过程的相关程度 ( (t t) )和和 ( (t t) )是不相关的是不相关的-正交的随机过程。统计独立的两个随机过程正交的随机过程。统计独立的两个随机过程是不相关的。是不相关的。式中式中 ( (t t) )和和 ( (t t) )分别表示两个随机过程。分别表示两个随机过程。相应地：相应地：R R( (t t1 1, , t t2 2) )称为自相关函数。称为自相关函数。特别：特别：9考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修3.2 3.2 平稳随机过程平稳随机过程1.1.定义定义若一个随机过程若一个随机过程( (t t) )，它的任意有限维分布或概率密度函数与，它的任意有限
9、维分布或概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的正整数时间起点无关，即对于任意的正整数n n和所有实数和所有实数 ，有，有则则称称( (t t) )是是严严格格意意义义下下的的平平稳稳随随机机过过程程或或狭狭义义平平稳稳随随机机过过程。程。10考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修2.2.性质该定义表明：性质该定义表明：平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间一维分布函数与时间t t无关：无关：3. 3. 数字特征数字特征而二维分布函数只与时间间隔而二维分布函数只与时间间隔 = = t t2 2 t t
10、1 1有关：有关：可见：（可见：（1 1）其均值与）其均值与t t无关，为常数无关，为常数a a； （2 2）自相关函数只与时间间隔）自相关函数只与时间间隔 有关。有关。11考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修严平稳随机过程的数字特征：严平稳随机过程的数字特征： （1 1）其均值与）其均值与t t无关，为常数无关，为常数a a； （2 2）自相关函数只与时间间隔）自相关函数只与时间间隔 有关。有关。 4.4.广义平稳随机过程广义平稳随机过程 把把同同时时满满足足（1 1）和和（2 2）的的过过程程定定义义为为广广义义平平稳稳随随机机过过程。程。意义：意义：具有各态历经性平稳随机
11、过程十分有趣，非常有用。具有各态历经性平稳随机过程十分有趣，非常有用。通通信信系系统统中中所所遇遇到到的的信信号号与与噪噪声声，大大多多数数可可视视为为平平稳稳、具具有各态历经性的随机过程。有各态历经性的随机过程。12考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修3.2.2 3.2.2 各态历经性各态历经性问题的提出问题的提出 随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本。量的样本。 问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数问题：
12、能否从一次试验而得到的一个样本函数x x( (t t) )来决来决定平稳过程的数字特征呢定平稳过程的数字特征呢? ?回答是肯定的：回答是肯定的： 平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为用的特性，称为“各态历经性各态历经性”（又称（又称“遍历性遍历性”）。具）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。 条件？条件？13考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修各态历经
13、性条件各态历经性条件设：设： i i( (t t) )是平稳过程是平稳过程 ( (t t) )的任意一次实现（样本），则其的任意一次实现（样本），则其时间均值和时间相关函数分别定义为：时间均值和时间相关函数分别定义为：如果平稳过程使下式成立如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。则称该平稳过程具有各态历经性。14考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修“各态历经各态历经”的含义：的含义： 随机过程中的任何一次实现都经历了随机过程的所有随机过程中的任何一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。可能状态。各态历经随机过程的特点好处各态历经随机过程的特点好处 在求解各种统计平均
14、（均值或自相关函数等）时，无需在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均时间平均”值代替过程的值代替过程的“统计平均统计平均”值即可，从而使测值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。量和计算的问题大为简化。注：具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一注：具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。能满足各态历经条件。15考研西北工业大学825通信原理强化精讲
15、随机信号分析修3.2.3 3.2.3 平稳过程的自相关函数特别重要，因为：平稳过程的自相关函数特别重要，因为：平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过相关函平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过相关函数来描述；数来描述；相关函数揭示了随机过程的频谱特性。相关函数揭示了随机过程的频谱特性。（1 1）平稳过程自相关函数的定义：）平稳过程自相关函数的定义：（2 2）平稳过程自相关函数的性质）平稳过程自相关函数的性质 ( (t t) )的平均功率的平均功率 的偶函数的偶函数 R R( ( ) )的上界的上界，R R( ( ) )在在 = 0= 0有最大值。有最大值。 ( (t t) )的直流
16、功率的直流功率 ( (t t) )的的交流功率交流功率特别：均值为特别：均值为0 0时，有时，有 R R(0) = (0) = 2 216考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修（3） | R()|R(0) - R() 的上界。的上界。证：由于证：由于 E(t)(t+)2 0 从而从而 E(t)(t+)2 = E2(t)+2(t+)2(t)(t+) = E2(t)+ E2(t+)2E(t)(t+); -平稳平稳 = 2R(0)2R()0 所以，得所以，得 R(0)R() 即即 |R()|R(0)17考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修（4 4）R R()=()=E
17、E2 2 ( (t t)=)=a a2 2 - -( (t t) )的直流功率。的直流功率。证：证：注注：这这里里利利用用了了当当时时( (t t) )与与( (t t+ +) )变变得得没没有有依依赖关系，即统计独立，且认为赖关系，即统计独立，且认为( (t t) )不含有周期分量。不含有周期分量。（5） R(0)- R()= 2 -方差，方差，(t)的交流功率。的交流功率。证：证： 由由 D(t)= E(t)-a(t)2 =E2(t) -2a(t)+ a2 = E2(t) - a2 =R(0)- a2 得得 2= R(0)- R()18考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修3
18、.2.4 3.2.4 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度P P( () ) 相关函数相关函数R R( () )的又一重要性质。的又一重要性质。 设：设：( (t t) )平稳，平稳，R R( () )绝对可积绝对可积则则在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。意意义义：平平稳稳随随机机过过程程的的自自相相关关函函数数与与其其功功率率谱谱密密度度之之间间互互为为傅里叶关系。傅里叶关系。简记为：简记为：维纳维纳- -辛钦关系辛钦关系19考
19、研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修讨论：讨论：（1 1）对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率：）对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率：从频域的角度给出了过程平均功率的计算方法。从频域的角度给出了过程平均功率的计算方法。（2 2）各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的）各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。也就是说，任一样本函数的谱特性都能很好地功率谱密度。也就是说，任一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。表现整个过程的的谱特性。【证证】因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本的自相因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本
20、的自相关函数。关函数。20考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修3.3 3.3 高斯随机过程高斯随机过程 3.3.1 3.3.1 定义定义如果随机过程如果随机过程 ( (t t) )的任意的任意n n维（维（n n=1,2,.=1,2,.）分布均服）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。 特点：高斯过程的特点：高斯过程的n n维分布只依赖各个随机变量的均维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。因此，对于高斯过程，只值、方差和归一化协方差。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。需要研究它的数字特征就可以了。
21、 一维时：一维时：21考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修3.3.2 3.3.2 重要性质重要性质（1 1）高斯过程若广义平稳，则必狭义平稳）高斯过程若广义平稳，则必狭义平稳 。（2 2）高斯过程中的随机变量）高斯过程中的随机变量( (t t1 1) )、( (t t2 2) )、( (t t3 3) )、之间之间若不相关，则它们也是统计独立的。若不相关，则它们也是统计独立的。 f fn n（x x1 1，x x2 2，.，x xn n；t t1 1，t t2 2，.，t tn n） f f1 1（x x1 1，t t1 1）f f2 2（x x2 2，t t2 2）.，f f
22、n n（x xn n，t tn n） （2.5.32.5.3）（）（3 3）若干个高斯过程之和仍是高斯过程。）若干个高斯过程之和仍是高斯过程。从信号从信号角度。角度。（4 4）高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程。）高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程。从系统（线从系统（线性系统）角度。性系统）角度。22考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修 则称则称为服从正态分布的随机变量，为服从正态分布的随机变量，也称高斯随机变量。也称高斯随机变量。 a a均值，均值， 2 2方差方差 。3.3.3 3.3.3 高斯随机变量高斯随机变量 高斯过程在任一时刻上的取值。高斯过程在任一时刻上的取值。1
23、. 1. 定义定义/ /概率密度函数概率密度函数 若随机变量若随机变量的概率密度函数可表示成的概率密度函数可表示成曲线：曲线：23考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修性质：性质：1 1）对称于直线）对称于直线x x= =a a; ; 2 2）在）在 内单调上升，内单调上升，在在 内单调下降，且内单调下降，且在在a a点处达到极大值点处达到极大值; ;3 3） 4 4）a a 表示分布中心，表示分布中心， 表示集中的程度。表示集中的程度。 一定时，一定时，。24考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修2. 2. 正态分布函数正态分布函数（1 1）一般表示式）一般表示式
24、这个积分不易计算，常引入误差函数或这个积分不易计算，常引入误差函数或Q Q函数（可查表）来表函数（可查表）来表述。述。25考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修（3 3）用误差函数表示）用误差函数表示 正态分布函数常表示成与误差函数相联系的形式。正态分布函数常表示成与误差函数相联系的形式。 1 1）误差函数定义）误差函数定义误差函数：误差函数：互补误差函数：互补误差函数：26考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修2 2）误差函数的性质）误差函数的性质误差函数是递增函数，它具有如下性质：误差函数是递增函数，它具有如下性质： 互补误差函数是递减函数，它具有如下性质：互补
25、误差函数是递减函数，它具有如下性质：27考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修3 3）用误差函数表示正态分布函数）用误差函数表示正态分布函数或：或：28考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修（2 2）用用Q Q函数表示正态分布函数函数表示正态分布函数 Q Q函数定义：函数定义：Q Q函数和函数和erfcerfc函数的关系：函数的关系： Q Q函数和分布函数函数和分布函数F F( (x x) )的关系：的关系：Q Q函数值也可以从查表得到。函数值也可以从查表得到。29考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修3.4 3.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过
26、程通过线性系统3.4.1 3.4.1 线性系统线性系统复习复习设：线性系统的冲击响应和网络函数分别为设：线性系统的冲击响应和网络函数分别为 ：h h( (t t) )、H H()()，则：，则：H H()()h h( (t t) )。周知：线性系统响应周知：线性系统响应v v0 0( (t t) )等于输入信号等于输入信号v vi i( (t t) )与冲击响应与冲击响应h h( (t t) )的卷积，即：的卷积，即：确知信号通过确知信号通过线性系统：线性系统：30考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修理解：上式对于确知信号是没有问题的。理解：上式对于确知信号是没有问题的。当输入
27、是随机过程当输入是随机过程 ( (t t) )的一个实现的一个实现i i1 1( (t t) )随随机函数时，便有输出随机过程机函数时，便有输出随机过程o1o1( (t t) )。进一步：当输入是随机过程进一步：当输入是随机过程i i( (t t) )时，便有输出随机过程时，便有输出随机过程o o( (t t) )。且有：。且有： 随机信号通过随机信号通过线性系统：线性系统：系统满足物理可实现条件系统满足物理可实现条件: : h h( (t t)=0)=0，t t00；输入有界；输入有界（满足狄里赫利条件）。则有：（满足狄里赫利条件）。则有：31考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分
28、析修任务：假设任务：假设i i( (t t) )为平稳随机过程，且已知其统计特性，求为平稳随机过程，且已知其统计特性，求0 0( (t t) )的统计特性。的统计特性。注：考察一个实现就够了。注：考察一个实现就够了。假设：假设： i i( (t t) ) 是平稳的输入随机过程，是平稳的输入随机过程， a a 均值，均值，R Ri i( ( ) ) 自相关函数，自相关函数，P Pi i( ( ) ) 功率谱密度；功率谱密度；求输出过程求输出过程 o o( (t t) )的统计特性：均值、自相关函数、功率谱以的统计特性：均值、自相关函数、功率谱以及概率分布。及概率分布。32考研西北工业大学825通
29、信原理强化精讲随机信号分析修3.4.2 3.4.2 o o( (t t) )的统计特性的统计特性 1.1.o o( (t t) )的平稳性的平稳性（1 1）均值）均值结结论论：输输出出过过程程的的数数学学期期望望等等于于输输入入过过程程的的数数学学期期望望与与H(0)H(0)相乘。且相乘。且EE0 0( (t t)与与t t无关。无关。与与t t无关。无关。33考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修（2 2）相关函数）相关函数仅与仅与有关。有关。综上综上: : o o( (t t) )平稳。平稳。34考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修由由进行傅里叶变换，得进行傅
30、里叶变换，得令令 = = + + - - ，代入上式，得到，代入上式，得到即即结论：结论：应用：由应用：由P Po o( ( f f ) )的反傅里叶变换求的反傅里叶变换求R Ro o( ( ) ) 。2. 2. 0 0( (t t) )的功率谱密度及分布函数的功率谱密度及分布函数（1 1）输出过程）输出过程 o o( (t t) )的功率谱密度的功率谱密度35考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修由于已假设由于已假设 i i( (t t) )是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时时刻上都是一
31、个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和输出过程也为高斯过程。输出过程也为高斯过程。注：与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变。注：与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变。（2 2）输出过程）输出过程 o o( (t t) )的分布函数的分布函数结论：结论：证：从积分原理看证：从积分原理看可以表示为：可以表示为：36考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修3.5 3.5 窄带随机过程窄带随机过程窄带过程窄带过程3.5.13.5.1窄带随机过程的概念窄带随机过程的概念1.1.什么
32、叫窄带随机过程？什么叫窄带随机过程？ 频谱：所占频带较窄，满足频谱：所占频带较窄，满足f f f fc c的随机过程叫。的随机过程叫。 时域：用示波器观察，看到某个实现的波形幅度和相时域：用示波器观察，看到某个实现的波形幅度和相位随机缓慢变化的近似正弦。位随机缓慢变化的近似正弦。37考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修问：窄带随机过程的同相及正交分量是低频的还是高频的问：窄带随机过程的同相及正交分量是低频的还是高频的? ?可以看出：可以看出： ( (t t) )的统计特性由的统计特性由a a ( (t t) )和和 ( (t t) )或或 c c( (t t) )和和 s s(
33、 (t t) )的统计特的统计特性确定性确定. . 若若 ( (t t) )的统计特性已知，则的统计特性已知，则a a ( (t t) )和和 ( (t t) )或或 c c( (t t) )和和 s s( (t t) )的的统计特性也随之确定。统计特性也随之确定。2. 2. 表达式两种！表达式两种！38考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修3.5.2 已知已知(t)的统计特性，求的统计特性，求c(t)、s(t)的统计特性的统计特性结论结论1 1若若(t)：均值为：均值为0 0、方差为、方差为2、窄带、平稳、高斯随机过程。、窄带、平稳、高斯随机过程。则：则： （1）c(t)、s(
34、t)同样是平稳高斯随机过程；同样是平稳高斯随机过程； （2） E(t)=Ec(t)=Es(t)0均值相同均值相同(都为都为0)； （3）c2= s2= 2= 2方差相同，同于方差相同，同于(t) ； （4）在同一时刻（即）在同一时刻（即=0）上得到的）上得到的c及及s互相关函数为互相关函数为0，即即c与与s互不相关，或说统计独立。互不相关，或说统计独立。39考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修2.5.3 2.5.3 已知已知( (t t) )的统计特性，求的统计特性，求 a a( (t t) )、( (t t) )的统计的统计特性特性 结论结论2 2若若( (t t) )：均值
35、为：均值为0 0、方差为、方差为 2 2、窄带平稳高斯随机过程。、窄带平稳高斯随机过程。则：（则：（1 1）其包络）其包络a a( (t t) )的一维的一维pdf pdf 呈瑞利分布；呈瑞利分布； （2 2）其相位）其相位( (t t) )的一维的一维pdfpdf呈均匀分布；呈均匀分布； （3 3） a a( (t t) )与与( (t t) )统计独立。统计独立。40考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修3.6 3.6 正弦信号加窄带高斯噪声正弦信号加窄带高斯噪声3.6.1 3.6.1 合成信号表达式合成信号表达式正弦信号加窄带高斯噪声后的合成信号可表示为：正弦信号加窄带高斯
36、噪声后的合成信号可表示为：其中：其中：-正弦载波正弦载波: :假定假定A A、c c为常数为常数; ;为随机变量，其一维为随机变量，其一维pdf pdf 均匀分布，即：均匀分布，即：f f( ()=1/(2)=1/(2)， 0022-窄带随机过程窄带随机过程: : n nc c( (t t)-)-n n( (t t) )之同相分量；之同相分量； n ns s( (t t)-)-n n( (t t) )之正交分量。之正交分量。41考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修代入，整理：代入，整理：其中：其中：42考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修3.6.2 统计特性统计
37、特性（1 1）同相分量和正交分量的统计特性）同相分量和正交分量的统计特性结论结论1 1若：若：n n( (t t) ) 均值为均值为0 0、方差为、方差为2 2、窄带平稳高斯随机过程、窄带平稳高斯随机过程; ; 给定。给定。则：则：（1 1）z zc c( (t t) )、z zs s( (t t) )同样是窄带平稳高斯随机过程；同样是窄带平稳高斯随机过程；（2 2）且）且z zc c2 2= =zszs2 2= =n n2 2= =2 2方差相同，同于方差相同，同于n n(t)(t) ；（3 3）但：）但：E E z zc c( (t t)=)= E E z zs s( (t t)=)=（4
38、 4）在同一时刻（即）在同一时刻（即=0=0）上得到的）上得到的z zc c及及z zs s互相关函数为互相关函数为0 0，即，即z zc c与与z zs s互不相关，或说统计独立。互不相关，或说统计独立。43考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修（2 2）合成信号振幅）合成信号振幅z z( (t t) )和相位和相位( (t t) )的统计特性的统计特性可以证明：可以证明： 1 1）随机包络服从广义瑞利分布（也称莱斯（）随机包络服从广义瑞利分布（也称莱斯（RiceRice）分布）分布）图图3-5 3-5 正弦信正弦信号加窄带高斯号加窄带高斯噪声的包络和噪声的包络和相位分布相位分
39、布 讨论：2 2）随机相位分布与信道中的信噪比有关，不再是均匀分布了。）随机相位分布与信道中的信噪比有关，不再是均匀分布了。当信噪比很小时，它接近于均匀分布。当信噪比很小时，它接近于均匀分布。44考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修3.7 3.7 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声3.7.1 3.7.1 白噪声白噪声 1.1.定义：凡功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，定义：凡功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，称为白噪声。即：称为白噪声。即： 双边谱密度：双边谱密度： 单边谱密度：单边谱密度：其中：其中：n n0 0为常数，为常数，W/HzW/Hz。一般
40、默认白噪声为平稳的。一般默认白噪声为平稳的。45考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修2.2.自相关函数自相关函数据：功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对。据：功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对。白噪声的功率谱密度与自相关函数白噪声的功率谱密度与自相关函数 结论：对白噪声而言，只有当结论：对白噪声而言，只有当=0=0时（同一时刻）才相关，时（同一时刻）才相关，而在而在00的任何两个时刻上的随机变量，皆不相关。的任何两个时刻上的随机变量，皆不相关。问：高斯白噪声？问：高斯白噪声？46考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修3. 3. 白噪声的功
41、率白噪声的功率由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即或或讨论：讨论： 真正真正“白白”的噪声不存在，它只是构造的一种理想化的的噪声不存在，它只是构造的一种理想化的噪声形式。噪声形式。 实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远大于实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远大于通信系统的工作频带，就可视为白噪声。通信系统的工作频带，就可视为白噪声。 如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。斯白噪声。 高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不高斯白噪声在任意两个不同时刻上
42、的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还统计独立。仅是互不相关的，而且还统计独立。 47考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修3.7.2 3.7.2 带限白噪声带限白噪声1. 1. 低通白噪声低通白噪声定定义义：白白噪噪声声经经理理想想低低通通滤滤波波器器(-(-f f0 0，f f0 0) )后后而而形形成成的的噪噪声声，被称为带限白噪声。被称为带限白噪声。功率谱密度：功率谱密度：48考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修 自相关函数自相关函数N N-噪声平均功率，噪声平均功率，取决于取决于n n 0 0 f f0 0 - -P P()()的面积。的面积。 49考
43、研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修结结论论：按按抽抽样样定定理理对对带带限限白白噪噪声声抽抽样样的的话话，各各抽抽样样值值是是互互不相关的随机变量不相关的随机变量( (各抽样点处的随机变量是互不相关的各抽样点处的随机变量是互不相关的) )。问：窄带、高斯、白噪声的含义。问：窄带、高斯、白噪声的含义。50考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修2. 2. 带通白噪声带通白噪声定义：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信定义：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的噪声称为带通白噪声。道，则其输出的噪声称为带通白噪声。 功率谱密度：功率谱密度
44、：设理想带通滤波器的传输特性为设理想带通滤波器的传输特性为 式中：式中：f fc c 中心频率，中心频率，B B 通带宽度通带宽度则其输出噪声的功率谱密度为则其输出噪声的功率谱密度为51考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修自相关函数：自相关函数：52考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修3. 3. 窄带高斯白噪声窄带高斯白噪声通常，带通滤波器的通常，带通滤波器的 B B f fc c ，因此称窄带滤波器，相应，因此称窄带滤波器，相应地把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声。地把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声。窄带高斯白噪声的表达式和统计特性见窄带高斯白噪声的表达式和统计特性见3.53.5节。节。平均功率平均功率53考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修例例 功率谱密度功率谱密度n n0 0/2/2白噪声，经白噪声，经LPFLPF：求输出的：求输出的： P Po o()()、R Ro o( () )、噪声功率、噪声功率N N。解：解：54考研西北工业大学825通信原理强化精讲随机信号分析修
