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1、2.12导数的应用导数的应用 2.12导导数数的的应应用用考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考考点探究考点探究挑战高考挑战高考考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考双基研习双基研习面对高考面对高考双基研习双基研习面对高考面对高考基础梳理基础梳理基础梳理基础梳理1导数与函数的单调性导数与函数的单调性导数导数单调性单调性如果在某个如果在某个区间内，区间内，函数函数yf(x)导数导数_则在这个区间上，则在这个区间上，函数函数yf(x)单调递单调递增增导数导数_则在这个区间上，则在这个区间上，函数函数yf(x)单调递单调递减减f(x)0f(x)0思思考考感感悟悟 1若若函函数数f(x)在在(a，b)上上单单调调
2、递递增增，那那么么一一定定有有f(x)0吗吗？f(x)0是是否否是是f(x)在在(a，b)上单调递增的充要条件？上单调递增的充要条件？提示：提示：函数函数f(x)在在(a，b)上是增函数，则上是增函数，则f(x)0，f(x)0是是f(x)在在(a，b)上单调递增的充分不必要条上单调递增的充分不必要条件件2函数的极值函数的极值(1)设设函函数数f(x)在在点点x0及及其其附附近近有有定定义义，如如果果对对x0附附近近的的所所有有点点，都都有有f(x)f(x0)， 就就 说说 f(x0)是是 f(x)的的 一一 个个_，记记作作_极极大大值与极小值统称为值与极小值统称为_极大值极大值y极大值极大值
3、f(x0)极小值极小值y极小值极小值f(x0)极值极值(2)判别判别f(x0)是极值的方法是极值的方法一般地，当函数一般地，当函数f(x)在点在点x0处连续时：处连续时：如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧f(x)0，右侧，右侧f(x)0，那么，那么f(x0)是是_如果在如果在x0附近附近的左侧的左侧f(x)0，那么，那么f(x0)是是_极大值极大值极小值极小值思考感悟思考感悟 2导数为零的点一定是极值点吗？导数为零的点一定是极值点吗？提示：提示：对于可导函数来说，函数在某点对于可导函数来说，函数在某点x0的导数的导数为为0是函数在该点处取得极值的必要不充分条件，是函数在该点处取得极值的必要不
4、充分条件，即即yf(x)在在x0处取得极值必有处取得极值必有f(x0)0，但反过，但反过来不成立如来不成立如f(x)x3，则，则f(x)3x2， f(0)0，但，但x0不是不是f(x)x3的极值点，事实上的极值点，事实上f(x)x3在在R上单调递增，另一方面对于可导函数上单调递增，另一方面对于可导函数f(x)，若，若f(x)在在x0的两侧异号，则的两侧异号，则xx0必是必是f(x)的一个极的一个极值点值点3函数的最值函数的最值函数函数f(x)在在a，b上必有最值的条件：上必有最值的条件：如果在区间如果在区间a，b上函数上函数yf(x)的图像是一的图像是一条条_的曲线，那么它必有最大值的曲线，那
5、么它必有最大值和最小值和最小值连续不断连续不断思考感悟思考感悟 3极值与最值有何区别与联系？极值与最值有何区别与联系？提示：提示：极值与最值的区别和联系：极值与最值的区别和联系：(1)函函数数的的极极值值表表示示函函数数在在一一点点附附近近的的情情况况，是是在在局局部部范范围围对对函函数数值值的的比比较较；函函数数的的最最值值是是表表示示函函数数在在一一个个区区间间上上的的情情况况，是是对对函函数数在在整整个个区区间间上上的函数值的比较的函数值的比较(2)函函数数的的极极值值不不一一定定是是最最值值，需需对对极极值值和和区区间间端端点点的的函函数数值值进进行行比比较较，或或者者考考查查函函数数
6、在在区区间间内内的的单调性单调性(3)如如果果连连续续函函数数在在区区间间(a，b)内内只只有有一一个个极极值值，那那么么极极大大值值就就是是最最大大值值，极极小小值值就就是是最最小值小值(4)可导函数的极值点导数为零，但是导数为可导函数的极值点导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点，如函数零的点不一定是极值点，如函数yx3在在x0处导数为零，但处导数为零，但x0不是极值点不是极值点课前热身课前热身课前热身课前热身1(教教材材习习题题改改编编)函函数数f(x)x3axb在在区区间间(1,1)上上为为减减函函数数，在在(1，)上上为为增增函函数，则数，则()Aa1，b1Ba1，bRCa3，b3
7、 Da3，bR答案：答案：D2设设f(x)是是函函数数f(x)的的导导函函数数，将将yf(x)和和yf(x)的的图图像像画画在在同同一一个个直直角角坐坐标标系系中中，不不可可能正确的是能正确的是()答案：答案：D3若若函函数数yex mx有有极极值值，则则实实数数m的的取取值范围是值范围是()Am0 B m 0C m 1 D m 1解解析析：选选B.yex m ，函函数数yex mx有有极极值值，则则函函数数yex mx在在定定义义域域内内不不单单调调， m 0.4(原原创创题题)函函数数f(x)xlnx的的单单调调递递增增区区间间是是_5(教材习题改编题教材习题改编题)已知函数已知函数f(x
8、)x312x8在区间在区间3,3上的最大值与最小值分别为上的最大值与最小值分别为M，m，则，则Mm_.答案：答案：32考点探究考点探究挑战高考挑战高考考点突破考点突破考点突破考点突破考点一考点一利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性此此类类题题主主要要考考查查求求函函数数的的导导数数、单单调调性性的的判判定定以以及及单单调调性性的的应应用用，是是高高考考考考查查的的重重点点，考考题题可可能能以以小小题题形形式式出出现现，也也可可以以以以中中档档大大题题形形式式出出现现应应注注意意函函数数yf(x)在在区区间间(a，b)上上可可导导，则则f(x)0是是函函数数yf(x)在在(a，b)上
9、上递递增增的的充充分分条条件件，并并非充要条件非充要条件例例例例1 1【思路点拨思路点拨】对对(1)，先求导，再将导函数转，先求导，再将导函数转化为二次函数问题，最后通过对二次函数的讨化为二次函数问题，最后通过对二次函数的讨论解决问题；对论解决问题；对(2)，由，由(1)作为基础，作为基础，(2)的求的求解就变成了增函数、减函数在定区间上的最值解就变成了增函数、减函数在定区间上的最值问题，求解即得问题，求解即得(2)当当a3时时，方方程程g(x)0有有两两个个不不同同的的实实根根x11，x22.由由(1)知，在知，在1，e2内，当内，当x2时时f(x)取得极值，取得极值，f(1)0，f(2)2
10、3ln2，f(e2)e22e25.因为因为f(2)f(1)0(或或f(x)0)是是函函数数f(x)在在该区间上为增该区间上为增(或减或减)函数的充分不必要条件函数的充分不必要条件2研研究究函函数数f(x)的的极极值值是是通通过过检检验验f(x)在在方方程程f(x)0的的根根的的左左、右右函函数数值值的的符符号号来来判判定定的的，因因此此难难点点是是如如何何判判定定这这个个根根左左、右右函函数数f(x)值值的的符符号号，并并与与函函数数f(x)的的极极大大值值、极极小小值值对对应应化化解解的的方方法法是是列列出出x、f(x)、f(x)变变化化的的图图表表，得得到到f(x)在在每每个个区区间间上上
11、的的符符号号，即即可可得得到到函函数数对对应应的的极极大大值值、极极小小值值函函数数极极值值的的另另一一个个难难以以理理解解的的问问题题是是极极大大值值、极极小小值值的的大大小小关关系系，即即函函数数的的极极大大值值不不一一定定比比极极小小值值大大，极极小小值值也也不不一一定定比比极极大大值值小小突突破破这这一一难难点点的的方方法法是是正正确确理理解解极极值值是是一一个个局局部部的的概概念念，可可以以通通过过画画出出函函数数在在整整个个定定义义域域上上的的图图像像，对对比比图图像像进进行行分分析析判判断断3求求函函数数最最值值时时，不不可可想想当当然然地地认认为为极极值值点点就就是是最最值点，
12、要通过认真比较才能下结论值点，要通过认真比较才能下结论4要要强强化化自自己己用用导导数数知知识识处处理理函函数数最最值值、单单调调性性、方程的根、不等式的证明等数学问题的意识方程的根、不等式的证明等数学问题的意识考情分析考情分析考情分析考情分析考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考从从近近两两年年的的高高考考试试题题来来看看，利利用用导导数数来来研研究究函函数数的的单单调调性性、极极值值、最最值值以以及及生生活活中中的的优优化化问问题题已已成成为为炙炙手手可可热热的的考考点点，既既有有小小题题，也也有有解解答答题题，小小题题主主要要考考查查利利用用导导数数研研究究函函数数的的单单调调性性和和极极值值
13、，解解答答题题主主要要考考查查导导数数与与函函数数单单调调性性或或方方程程、不不等等式的综合应用式的综合应用预测预测2012年高考仍将以利用导数研究函数的单调年高考仍将以利用导数研究函数的单调性、极值、最值为主要考向，同时也应注意利用性、极值、最值为主要考向，同时也应注意利用导数解答生活中的优化问题导数解答生活中的优化问题规范解答规范解答规范解答规范解答例例例例当当a0时，时，g(x)x1，x (0，)，所以当所以当x (0,1)时，时，g(x)0，此时此时f(x)0，函数，函数f(x)单调递减；单调递减；当当x (1，)时，时，g(x)0，此时此时f(x)0，函数，函数f(x)单调递增单调递
14、增.7分分当当a0时，由时，由f(x)0，【名名师师点点评评】(1)本本题题易易失失误误的的是是：忽忽视视定定义义域域的的限限制制；分分类类依依据据不不明明确确，分分类类讨讨论论时时“重重”或或“漏漏”；不不能能合合理理运运用用导导数数知知识识解解题题，思思路受阻路受阻(2)函函数数的的导导数数与与其其单单调调性性之之间间的的关关系系可可以以从从以以下下三个方面理解：三个方面理解：在在某某个个区区间间(a，b)上上，若若f(x)0，则则f(x)在在这这个个区区间间上上单单调调递递增增；若若f(x)0，则则f(x)在在这这个个区区间间上上单单调调递递减减；若若f(x)0恒恒成成立立，则则f(x)
15、在在这这个个区区间间上上为为常常数数函函数数；若若f(x)的的符符号号不不确确定定，则则f(x)不是单调函数不是单调函数若若函函数数yf(x)在在区区间间(a，b)上上单单调调递递增增，则则f(x)0，其其逆逆命命题题不不成成立立，因因为为f(x)0包包括括f(x)0或或f(x)0，当当f(x)0时时，函函数数yf(x)在在区区间间(a，b)上上单单调调递递增增，当当f(x)0时时，f(x)在在这这个个区区间间内内为为常常数数函函数数；同同理理，若若函函数数yf(x)在在区区间间(a，b)上上单单调调递递减减，则则f(x)0，其其逆逆命命题题不不成成立立使使f(x)0的离散的点不影响函数的单调性的离散的点不影响函数的单调性名师预测名师预测名师预测名师预测当当x变化时，变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：
