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1、第五章薄板弯曲5.1 薄板的弯曲变形n如h以表示板厚，以l表示其他方向的尺寸，当h/l15时，可认为是薄板。n板内厚度中点构成的平面称中面。n板件一般常驻有垂直于中面的载荷（横向载荷），在载荷作用下，板面发生弯曲，中面由平面变为曲面，称为挠曲面。n以未变形的中面为xy坐标面，中面各点沿z轴的横向位移以w表示，称为挠度，如图5-1所示。n一般挠度为中面各点坐标的函数，即w=w(x,y)n称为挠曲面方程。薄板弯曲时，板内各点的应变为其中z为点到中面的距离为挠曲面沿方向的曲率为扭曲率当板弯曲挠度很小时，曲率、扭曲率与挠曲面的关系为板挠曲面的曲率、扭曲率表示出板弯曲变形的程度，这3个分量也可合称为曲率
2、。可用列阵表示为(5.1)因此，板内的应变可用列阵表示为(5.2)应力与应变的关系为其中Dp即平面应力问题的弹性系数矩阵板的中面处z=0，有即中曲面内没有面内应变，也没有面内应力。(5.3)n板内各点应变与其z坐标呈正比关系。n应力与z坐标也成正比，沿板厚度方向线性变化。n正应力x,y在板的横截面上将合成为弯矩，剪应力将合成为扭矩。分别表示如下：弯矩Mx、 My与扭矩Mxy 3项为薄板弯曲的内力，合在一起用列阵表示为将式(5.3)代入上式，并完成积分有其中D为薄板弯曲的弹性系数矩阵，它与平面应力问题弹性系数矩阵相似，只是多一个系数h3/12。薄板弯曲的弹性应变能为其中V为板的体积域。将式(5.
3、2)及(5.3)代入上式，并沿厚度方向积分，可得其中S为板中面的面积域，D为薄板弯曲的弹性系数矩阵。由上式可见，薄板弯曲变形时，单位面积中面的弹性应变能为其曲率的二次型。板弯曲的曲率是其挠度w的二阶导数，因而薄板弯曲的弹性应变能为包括w二阶导数的二次泛函数。(5.6)5.2 四节点的矩形薄板单元n对于薄板弯曲，可以只研究其中面的变形；n对于矩形板单元，可以只研究一个矩形平面，但是，此单元上一点实际上代表着一个长度为板厚的法线段。n按基本假设，此法线段长度不变，其位移应包括中心点的挠度w和法线绕x、y轴的转角x和y 。n因而板单元任一节点i应有3个位移分量。图5-3为矩形板单元，规定位移的正方向
4、：nw i沿z轴方向；n转角xi和yi绕x、y轴按右手螺旋规定正方向。节点位移按直法线假设，以小挠度变形下，法线的转角可由挠曲面的斜率表示。i节点的3项位移可用列阵表示为板单元的每个节点有3项独立位移，即有3个自由度，4个节点共有12个自由度。如e单元4个节点的编号为k、l、m、n，则此单元全部节点位移可以列阵表示为为分析方便，此顺序是按节点分组排列的。如按节点分块，上述节点位移应表示为形状函数取矩形单元的对称轴为x、y轴，可假定单元内挠度具有如下的多项式形式其中a1、 a2 a12为待定系数。(5.7a)n12个待定系数对应于单元的12个自由度。n前3项为常数项及线性项，反映出中面平板无弯曲
5、的刚体位移。n3个二次项经二阶微分后给出常曲率，反映出中面变形的3种常应变形式。n因此，前6项满足了单元的完备性要求。n含有完全的三次多项式，其四次项是不完全的，此种近似的挠度函数具有三次多项式的精度。n不完全四次项的两项是对称的，这使单元对x及y轴具有同等的变形能力；当坐标轴转90o时，单元不会表现出不同的弯曲挠度形式。n在x=常数及y=常数的单元边界上，其挠度都只含三次多项式。由后面的分析可见，这种假定的挠度函数可以保证单元间挠度的连续性。式(5.7a)可写成矩阵形式(5.7b)或简写为其中是M(x,y)一个1X12阶的函数矩阵，而a是由12个待定系数组成的列阵将(5.7b)对x、y分别求
6、导，可得到两个转角的矩阵表达式如下：(5.8)依次将单元的4个节点坐标代入式(5.7b)及(5.8)中，可得到4个节点的挠度w及转角x和y这里共有12个方程，联系着12个节点位移分量及12个a参数之间的关系，其矩阵表达式为上式的逆转换式为(5.9)将式(5.9)代入式(5.7b)，得(5.10)其中N(x,y)即为此矩形薄板单元弯曲的形状函数矩阵，是一个1X12阶的行向量，按节点分块表示为(5.11)n对于图5-4所示的矩形单元，其任一节点i的形状函数矩阵Ni是一个1X3的行阵，表达如(5.12)(p80)单元刚阵将式(5.10)代入式(5.1)，可得单元的曲率为式中的B也可称为单元的应变矩阵
7、，按节点分块表示，有而对任一节点i的应变矩阵，按图5-4所示的坐标轴，有(5.14)(p81)单元的内力n如已解出板结构的全部节点位移，则对任意的e单元都可以找出相应的单元节点位移 e ，再应用应变矩阵B和薄板弯曲的弹性矩阵D，即可得到单元的内力上式中D B= S为薄板弯曲应力矩阵，为3X12的长方矩阵。将板弯曲的曲率代入板弯曲的应变能表达式(5.6)，可得到单元的应变能简写为而其中即为板弯曲的单元刚度矩阵。(5.16)n板弯曲的单元刚度矩阵，其计算式与一般单元刚阵（如平面问题）完全一样，只是这里应代入板弯曲的弹性系数矩阵D式(5.5)和板弯曲的应变矩阵B式(5.13)。节点载荷n板结构上如受
8、有集中荷载，一般在划分单元时宜将此力作用点划分为网格中的一个节点，此集中力可直接加入结构的总载荷列阵Q中。n如板面承受有面分布的横向载荷p(x,y)，则应按式(3.10)逐个单元将分布力等效分配到各节点上。任一单元e形成的单元节点载荷为其中N为板弯曲的形状函数矩阵，由式(5.11)决定。当横向分布载荷为常值p时（均布载荷），对图5-5所示的矩形板单元，其分配得到的单元节点载荷为其中Zi和Mxi、Myi为i节点沿z向的力和绕x、y轴的力偶。(5.17)由上式可见，单元在均布的横向载荷p作用下，每个节点不但分配有全部单元横向力4pab的1/4，而且对各节点还分配有绕x、y轴的力偶。5.3 薄板弯曲
9、的相容性问题n薄板弯曲的总势能表达包含w的二阶导数。n完备性要求：所假定的单元位移模式应能实现任意的刚体位移和常曲率状态；n相容性要求：所假定的单元位移模式保证单元间挠度及其一阶导数都是连续的。n(5.7a)的假定位移模式满足完备性要求；n但该假定的位移模式不满足相容性要求，其在各单元边界上挠度的导数 或 是不连续的。例如：在单元ij边界y=b (常数) 上有 其中四个常数Ak,k=0,1,2,3 可以由四个条件wi,wj, 及 来确定，故此时变形的挠度和沿x方向的转角是连续的。而对边界上的转角 有 式中的Bk, k=0,1,2,3 也需要四个条件才能确定，但现在只有 二个条件，不足以确定Bk，故转角 不能唯一确定。此单元相容性条件并不满足。n我们知道相容性只是充分性条件；n不满足相容性条件的单元不保证收敛性；n但实践证明，这种单元的收敛性还是很好的。为什么？薄板问题总结n薄板问题的定义：几何构形和受力情况的特点；n描述此类问题的坐标系的定义；n广义应力的定义：n广义应变的定义：n广义应力应变关系（54）；n单元刚度阵的推导过程；n其形函数的特点：对所设位移模式挠度函数w的连续性的要求；n外载荷向节点的等价移置；n边界条件的定义；n收敛性要求的完备性，相容性满足情况（对所讲四节点矩形薄板单元）。
