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1、矩阵位移法习题课单元分析义务：建立单元两端位移与两端力之间的解析关系。单元分析义务：建立单元两端位移与两端力之间的解析关系。 目的：生成部分坐标系下的单元刚度矩阵。目的：生成部分坐标系下的单元刚度矩阵。整体分析义务：建立构造体系结点位移与结点力之间的解析关系。整体分析义务：建立构造体系结点位移与结点力之间的解析关系。 步骤：步骤：1. 经过坐标转换矩阵，构成整体坐标系下的单元刚度矩阵；经过坐标转换矩阵，构成整体坐标系下的单元刚度矩阵； 2. 根据单元定位向量，集成整体刚度矩阵；根据单元定位向量，集成整体刚度矩阵； 3. 建立整体坐标系下的构造体系的静力平衡方程。建立整体坐标系下的构造体系的静力
2、平衡方程。 目的：计算外部作用下构造体系各结点位移值，进一步可计算各目的：计算外部作用下构造体系各结点位移值，进一步可计算各 杆端力，然后根据各杆件所受荷载特点计算整个构造体系杆端力，然后根据各杆件所受荷载特点计算整个构造体系 各截面的内力。各截面的内力。EA l6EI l2 6EI l2 EA l12EI l3 12EI l34EI l2EI l部分坐标系下的单元刚度矩阵部分坐标系下的单元刚度矩阵e 矩阵元素物理意义：单元杆端单位位移下所产生的杆端力。矩阵元素物理意义：单元杆端单位位移下所产生的杆端力。 e=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)000000
3、6EI l206EI l20EA l6EI l2 6EI l2 EA l12EI l3 12EI l34EI l2EI l0000006EI l206EI l20 只与杆件本身性质只与杆件本身性质有关而与外荷载无关有关而与外荷载无关exyX1Y1X2Y2eeeee座标转换矩阵座标转换矩阵单元座标转换矩阵单元座标转换矩阵目的：将部分坐标系中的杆端力目的：将部分坐标系中的杆端力 和杆端位移一致在整体坐和杆端位移一致在整体坐 标系中。标系中。正交矩阵正交矩阵T-1 =TT或或 TTT=TT T =I存在：存在：eeee在部分座标系中杆端力与杆端位移的关系式：在部分座标系中杆端力与杆端位移的关系式：在
4、整体座标系中杆端力与杆端位移的关系式：在整体座标系中杆端力与杆端位移的关系式：整体坐标系下的单元刚度矩阵整体坐标系下的单元刚度矩阵单元定位向量单元定位向量由单元结点位移总码组成的向量。由单元结点位移总码组成的向量。是单元刚度矩阵各元素在整体刚度矩阵中的位置指针向量。是单元刚度矩阵各元素在整体刚度矩阵中的位置指针向量。留意：对结点编号时，应尽量使每一个单元的两端结点编号差值最小。留意：对结点编号时，应尽量使每一个单元的两端结点编号差值最小。 目的是使构造体系的整体刚度矩阵的带宽到达最小。目的是使构造体系的整体刚度矩阵的带宽到达最小。整体刚度矩阵整体刚度矩阵 K 的性质的性质(1)整体刚度系数的物
5、理意义：整体刚度系数的物理意义： Kij： j=1 (其他其他 =0)时产生的结点力时产生的结点力Fi；(2)K是对称矩阵；是对称矩阵；(3)对几何不变体系，对几何不变体系，K是可逆矩阵，即存在：是可逆矩阵，即存在：F=K=K-1F(4)K是稀疏矩阵和带状矩阵，如延续梁：是稀疏矩阵和带状矩阵，如延续梁：123F1F2F3123nnFnn+1Fn+10000000000000000000000000000000000004i12i12i12i22i24i2+4i34i1+4i24in2i32in例例1 如下图延续梁构造，试求在图示荷载作用下的各单元杆端力和支座反力。如下图延续梁构造，试求在图示荷
6、载作用下的各单元杆端力和支座反力。 知知 1. 未知量编号未知量编号 延续梁可动结点自左向右延续编号，被约束的位移编号为延续梁可动结点自左向右延续编号，被约束的位移编号为0。2. 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 对单元对单元1、单元、单元2有：有：(1)(1)(2)(2)(0)(0)(1)(1)xy1231243ABCD2. 单元定位向量单元定位向量 单元单元1：(2)(3)(4)(2)(3)(4)单元单元2：单元单元3： 3. 集成总体刚度矩阵集成总体刚度矩阵112233444. 等效荷载向量等效荷载向量 单元单元2：单元单元3 3：荷载向量：荷载向量：5. 解方程：解方程：求结点位移求结点位移例
7、例2 试求图示门式刚架的总体刚度矩阵。知各杆件截面特征如下图，且不试求图示门式刚架的总体刚度矩阵。知各杆件截面特征如下图，且不 思索轴向变形的影响。思索轴向变形的影响。1. 体系根本未知量分析体系根本未知量分析2. 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 整体坐标系下的单刚矩阵整体坐标系下的单刚矩阵单元单元1：单刚单刚元素元素简记简记(1)(1)(2)(2)(0)(0) (0)(0)00000000(3)(3)(1)(1)(0)(0)(0)(0)单元单元2：123321x1234y1单元单元3：(1)(1)(2)(2)(3)(1) (3)(1)00000000单元单元1：单元单元2：(1)(1)(2)(2)(0)(0) (0)(0)00000000(3)(3)(1)(1)(0)(0)(0)(0)3. 集成总体刚度矩阵集成总体刚度矩阵未知量未知量编编 号号112233留意：集成总刚时必需将一切单元刚度矩阵相应位置上的元素全留意：集成总刚时必需将一切单元刚度矩阵相应位置上的元素全部按单元定位向量的指向装配到总刚矩阵中。部按单元定位向量的指向装配到总刚矩阵中。
