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1、第二章 连续时间系统的时域分析2.1 2.1 引言引言2.2 2.2 微分方程的建立与算子表示法微分方程的建立与算子表示法2.6 2.6 卷积卷积2.7 2.7 卷积的性质卷积的性质2.3 2.3 微分方程的经典解法微分方程的经典解法 难点：起始点的跳变难点：起始点的跳变( (从从0-0-到到0+0+状态的转换状态的转换) )2.4 2.4 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应2.5 2.5 单位冲激响应单位冲激响应 的求解的求解2021/8/141 线性时不变线性时不变连续时间系统的激励连续时间系统的激励 e(t) 与响应与响应 r(t) 之间的关之间的关系，可用以下系，可用以下线性
2、常系数线性常系数微分方程描述。微分方程描述。系统分析的任务就是求解这个系统分析的任务就是求解这个n 阶非齐次线性常微分方程。阶非齐次线性常微分方程。2.1 2.1 引言引言2021/8/142时域分析法变换域法（LT法）微分方程求解全响应= 零输入响应+零状态响应（卷积积分法）全响应= 齐次解 + 特解 （自由响应）（强迫响应）2021/8/1431. R、L、C 元件端口电压与流经电流的约束关系（一）微分方程的建立2.2 2.2 微分方程的建立与算子表示法微分方程的建立与算子表示法2. 电路的电流、电压约束关系（KVL、KCL）C2021/8/14411F1H1例：例：右图所示电路，激励为电
3、流源右图所示电路，激励为电流源 ， 响应取响应取 ，列写微分方程。，列写微分方程。解：解：消去中间变量消去中间变量 ，得，得方程阶数等于电路阶数（方程阶数等于电路阶数（独立独立储能元件的个数）。储能元件的个数）。2021/8/145（二）微分方程的算子表示法参考参考P692.8P692.8节节微分算子微分算子积分算子积分算子称为系统的传输算子称为系统的传输算子传输算子是系统数学模传输算子是系统数学模型的另一种形式。型的另一种形式。2021/8/146例：例：2021/8/1471. 1. 算子符号的运算规则算子符号的运算规则（1 1） 算子多项式可进行因式分解或由因式相乘展开。算子多项式可进行
4、因式分解或由因式相乘展开。例：例：（2 2） 等式两端的公共因子不能随意消去。等式两端的公共因子不能随意消去。例：例：不等价于不等价于（3 3）2021/8/1482. 2. 借助算子符号建立微分方程借助算子符号建立微分方程广义阻抗广义阻抗11F1H1例例1：2021/8/149例例2：P81习题2-1（a）e(t)+vo(t)1HR12L1R21C1FL22H+-i2(t)i1(t)多余的共公多余的共公因子可消去因子可消去2021/8/1410总结：总结：（1 1）引入算子符号后，）引入算子符号后，RLC RLC 电路可借助纯电阻电路的分析方法；电路可借助纯电阻电路的分析方法；（2 2）是否
5、可消去公共因子的原则：）是否可消去公共因子的原则：微分方程的阶数应等于电路微分方程的阶数应等于电路 阶数（独立储能元件的个数）。阶数（独立储能元件的个数）。2021/8/14112.3 2.3 微分方程的经典解法微分方程的经典解法 ，求完全响，求完全响应。例：例：系系统微分方程、微分方程、 起始起始状态及激励信号如下：状态及激励信号如下：、（1）求齐次解）求齐次解 特征方程特征方程 特征根特征根、 齐次解齐次解 （2）求特解）求特解在响应求解区间在响应求解区间 t 0 内，内，设设2021/8/1412完全解完全解（3）从）从 到到 状态的转换状态的转换将将 代入方程右端，得代入方程右端，得则
6、在在 内，内，设设则则自由项自由项2021/8/1413 冲激函数冲激函数匹配法匹配法（4）由）由 状态确定待定系数状态确定待定系数全响应全响应代入代入2021/8/14141、齐次解：齐次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解的形式。写出齐次解的形式。（一）经典法求解微分方程步骤：特征根特征根对应的齐次解部分项对应的齐次解部分项单根单根二重根二重根例：例：对特征根对特征根（二重根二重根），），齐次解齐次解2021/8/1415激励函数激励函数e(t)特解特解（ 不是系统的特征根）不是系统的特征根）（ 是系统的特征根（非重根）是系统的特征根（非重根）3、全全 解解=齐次解齐次解
7、+特解，由特解，由 状态状态定出齐次解系数。定出齐次解系数。2、特特 解：解：根据激励函数式形式，设含待定系数的特解函数根据激励函数式形式，设含待定系数的特解函数 式式代入原方程，比较系数定出特解。代入原方程，比较系数定出特解。2021/8/1416（1）系统的完全响应= =自由响应+ +强迫响应；（2）微分方程的齐次解称为系统的自由响应，它由系统本身的特 性决定； 特征方程的根称为系统的固有频率，它决定了系统自由响应 的全部形式；（3）特解称为系统的强迫响应，它只与激励函数的形式有关。2021/8/1417（二）起始点的跳变从0-到0+状态的转换 1. 实际电路实际电路条件：没有冲激电流（或
8、阶跃电压）强迫作用于C； 没有冲激电压（或阶跃电流）强迫作用于L。 当系统用微分方程表示时，系统的0-到0+的状态有没有跳变取决于微分方程右端有无冲激函数 及其各阶导数项。2. 用微分方程描述的系统用微分方程描述的系统冲激函数匹配法冲激函数匹配法2021/8/1418P48 例例2-5：如右图所示电路，如右图所示电路，t0开关开关S处于处于1的位置且电路的位置且电路已经达到稳态；当已经达到稳态；当t=0转向转向2。建立建立i(t)的微分方程，并求的微分方程，并求i(t)在在 时的变化。时的变化。 解：解：（1）列写微分方程）列写微分方程2021/8/1419（2）求系统的完全响应）求系统的完全
9、响应齐次解：齐次解：特征方程特征方程特征根特征根齐次解齐次解设设 ，将其代入微分方程，得，将其代入微分方程，得系统的全响应为：系统的全响应为： （3）确定换路后的）确定换路后的方法一：由电路原理图求方法二：冲激函数匹配法特解：特解：2021/8/1420换路后换路后换路前换路前 方法一：由电路原理图求2021/8/1421方法二：冲激函数匹配法2V4Vt0自由项自由项则在在 内，内，设设则则2021/8/1422 全响应全响应（4）确定系统）确定系统t0+的全响应的全响应2021/8/1423零输入响应零输入响应：零状态响应零状态响应：2.4 2.4 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响
10、应LTI系统响应的另一种分解形式系统响应的另一种分解形式满足：满足：（一）（一）零输入响应的求解（a）（b）系数系数Azik可直接由可直接由 来确定。来确定。没有外加激励信号的作用，仅由没有外加激励信号的作用，仅由起始状态起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。（起始时刻系统储能）所产生的响应。系统的起始状态为零，仅由系统的起始状态为零，仅由外加激励信号外加激励信号所产生的响应。所产生的响应。2021/8/1424例例：已知描述某二阶：已知描述某二阶LTI连续时间系统的动态方程连续时间系统的动态方程起始状态起始状态 ，激励信号，激励信号求系统的零输入响应。求系统的零输入响应。特征方程特征方程
11、特征根特征根零输入响应零输入响应将起始状态代入，得将起始状态代入，得零输入响应为解：解：时间起点：时间起点：t=0时刻时刻2021/8/1425（二）（二）零状态响应的求解满足：满足：（a）（b）例例 ：如右图所示电路，求如右图所示电路，求零状态零状态 响应响应 。 解：，2021/8/1426其待定系数其待定系数 需由需由 来确定。来确定。 冲激函数匹配法求冲激函数匹配法求 :自由项自由项将将 代入微分方程右端，得代入微分方程右端，得则在在 内，内，设设则则2021/8/1427 2021/8/1428自由响应瞬态响应 稳态响应强迫响应零输入响应零状态响应全响应全响应回到教材回到教材 P48
12、 例例 2-52021/8/1429（三）（三）零状态响应的卷积法求解作用于系统产生的零状态响应线性线性线性线性时不变时不变性性激励 分解为冲激函数之和 单位冲激信号单位冲激信号 作用于系统产生作用于系统产生的的零状态响应零状态响应，称为，称为单位冲激响应单位冲激响应，以，以表示。表示。 记为记为LTI系统的零状态响应 分解为冲激响应之和2021/8/1430（四）（四）对系统线性的进一步讨论常系数线性微分方程描述的系统的线性包含以下三层含义：常系数线性微分方程描述的系统的线性包含以下三层含义：（a）响应的可分解性 完全响应完全响应 =零输入响应零输入响应 +零状态响应零状态响应（b）零输入线
13、性 当系统有多个初始状态时，零输入响应当系统有多个初始状态时，零输入响应 对各个初始状对各个初始状态呈线性关系。态呈线性关系。（c）零状态线性 当系统有多个激励时，零状态响应当系统有多个激励时，零状态响应 对各个激励呈线性关对各个激励呈线性关系。系。2021/8/14312.5 2.5 单位冲激响应单位冲激响应 的求解的求解单位冲激响应：单位冲激响应：单位冲激信号单位冲激信号 作用于系统产生的作用于系统产生的零状态零状态 响应响应，以，以 表示。表示。（a）满足：满足：（b）内，内，冲激函数匹配冲激函数匹配2021/8/1432解：解：例例1: 描述某描述某LTI系统的微分方程为系统的微分方程
14、为求系统的单位冲激响应求系统的单位冲激响应 。满足：满足：内，内，冲激函数匹配法确定冲激函数匹配法确定2021/8/1433解：例例2：求求 。内，内，利用冲激函数匹配法求利用冲激函数匹配法求 。设则2021/8/14342021/8/1435总结：总结：对对次次次次内，内，（1）（2）当当 时，时， 中无冲激函数项；中无冲激函数项；当当 时，时， 中将含有中将含有 及其各阶导数项及其各阶导数项和和 的关系：的关系：单位阶跃响应：单位阶跃响应：单位阶跃信号单位阶跃信号 作用于系统产生的作用于系统产生的零状态零状态 响应响应，以，以 表示。表示。2021/8/1436LTI系统：系统：（一）卷积
15、积分的定义（一）卷积积分的定义一般地，两函数的卷积积分定义为一般地，两函数的卷积积分定义为 卷积的基本计算方法：图解法。2.6 2.6 卷积卷积固定固定函数函数滑动滑动函数函数2021/8/1437（二）卷积的（二）卷积的图解法图解法计算计算（1）先将先将e(t)和和h(t)的自变量的自变量t 改成改成 ，即：，即：（2）将其中的一个信号）将其中的一个信号反褶反褶，（3）时移时移：步骤：步骤：（4）相乘相乘：（5）对乘积后的图形）对乘积后的图形积分积分：难点：积分上、下限的确定难点：积分上、下限的确定右移右移t2021/8/14380t12h(t)e(t)-1/210t1 例例1：已知信号已知
16、信号e(t)与与h(t)如下图所示，求如下图所示，求解：解： -1/211tt-201201-22021/8/1439 （1）当当 时时，（2）当当 时，时，重合区间重合区间（3）当当重合区间重合区间即即 时，时，11tt-211tt-211tt-22021/8/1440（4）当当 ，即当，即当 时时,重合区间重合区间（5）当当 ，即，即 时，时，11tt-211tt-22021/8/144113t00t12h(t)e(t)10t1 若参与卷积的两个信号若参与卷积的两个信号不不含有含有 等，则卷积的结果等，则卷积的结果必定为一个必定为一个连续函数连续函数；且；且左边界左边界等于等于左边界之和，
17、右边界左边界之和，右边界等于等于右右边界之和边界之和。2021/8/1442解：解： 例例2 ：已知已知 求求 。 （1）当当 t 0 时，时，2021/8/1443需要记忆的几个卷积：需要记忆的几个卷积：2021/8/1444（一）卷积代数（1）交换律）交换律（2）分配律）分配律e(t)h2(t)h1(t)2.7 2.7 卷积的性质卷积的性质 分配律用于系统分析：并联系统的冲激响应等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。2021/8/1445（3）结合律）结合律 结合律用于系统分析：串联系统的冲激响应等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。e(t)h2(t)h1(t)可逆系统可逆系统逆系统
18、逆系统2021/8/1446（2）积分特性（3）微分、积分特性）微分、积分特性条件：条件：（二）卷积的微分与积分（1）微分特性2021/8/1447若若（三）卷积的延时特性则则需要记忆的卷积：需要记忆的卷积：例：例：（1）（2）2021/8/1448例例1：已知：已知 f1(t)、 f2(t)如图所示，求如图所示，求s(t)=f1(t)*f2(t) ，并画出，并画出 s(t) 的波形。的波形。解：解：2021/8/14490t12h(t)-1/210t1e(t)例例2：-1/210t(1)(-1)0t122021/8/145030t12-1/21 3/2-10-1/21 3/22t30t12当当 时，时，2021/8/1451计算以下函数的卷积积分，并画出卷积结果的波形。计算以下函数的卷积积分，并画出卷积结果的波形。0t0t0t0t0t0t2021/8/1452部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
