《概率论与数理统计：4随机变量函数的分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计：4随机变量函数的分布（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 随机变量函数的分布（第二章的重点和难点） 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 在许多实际问题中在许多实际问题中,常常需要研究随机变量的函数常常需要研究随机变量的函数, 例例:测量圆轴截面的直径测量圆轴截面的直径d,而关心的却是截面积：而关心的却是截面积： 在统计物理中在统计物理中,已知分子的运动速度已知分子的运动速度x的分布的分布,求其求其动能动能： n背景背景 一般地，设一般地，设y=g(x)是一元实函数，是一元实函数，X是一个随机变量，是一个随机变量，若若X的取值在函数的取值在函数y=g(x)的的定义域内，则定义域内，则Y=g(X)也为一随也为一随机变量。机变量。随机变量的函数随机变量
2、的函数随机变量随机变量密度函数密度函数分布函数分布函数设设X为离散型为离散型 RV, 其分布律为其分布律为X x1 x2 x3 xn pk p1 p2 p3 pn随机变量随机变量X的函数的函数 Y= g (X) 的分布律为的分布律为Y g( x1) g( x2) g( x3) g (xn) pk p1 p2 p3 pn有可能有可能g( x i )与与g( x j )相同，此时将两项合并，对应概率相加相同，此时将两项合并，对应概率相加 离散随机变量的函数的分布离散随机变量的函数的分布设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为求求Y=2X2 +1的分布律的分布律解解例例由题设可得如下表格由题设可得
3、如下表格 X1 0 1 2pk 0.2 0.3 0.4 0.1x-1012Y=2x2+13139概率概率0.20.30.40.1所以，所以，y=2x2+1的分布律为的分布律为 y 1 3 9 pk 0.3 0.6 0.1 设设 X 为一个连续型为一个连续型R.V，其概率密度函数为其概率密度函数为 f (x)。y = g(x)为一个连续函数，求随机变量为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密的概率密度函数度函数 fY(y) 。(1) 求求Y的分布函数的分布函数 FY(y)(2) 对对FY(y) 求导，得到求导，得到 fY(y) 连续型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布n一般方法
4、一般方法解不等式转化解不等式转化为求关于为求关于X X的概率的概率根据分布函数的定义设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为求随机变量求随机变量Y=2X+8的概率密度。的概率密度。 先求先求Y=2X+8的分布函数的分布函数 FY (y).解解（1 1）（2） 求求Y=2X+8的概率密度的概率密度例例2 设圆面积设圆面积 求圆半径求圆半径 Y 的概率密度的概率密度. 解：由题设，解：由题设，别处别处所以所以（1）当）当 时，时，别处别处别处别处（2）当）当 时，时，例例3 若若 证明证明所以所以 Y 的分布密度为：的分布密度为：解：解：若若则则若若则则即即服从正态分布的随机变量的服从正态分
5、布的随机变量的线性函数仍服从正态分布。线性函数仍服从正态分布。方法二：方法二：若随机变量若随机变量X和和随机变量随机变量Y=g(X)的的密度函数分别为密度函数分别为 f X (x) 、 fY (y), 当当 g(x) 是严格单调是严格单调函数，则函数，则即即 Y Y 服从服从1919，2121上的均匀分布上的均匀分布Y=0.1X+10Y=0.1X+10的密度函数的密度函数为X的密度函数的密度函数为 设随机变量设随机变量服从服从90，110上的均匀分布上的均匀分布,求求 Y=0.1X+10Y=0.1X+10的密度函数。的密度函数。例例4 4解解设正方形边长设正方形边长 X 的分布密度如下，求它的
6、面积的分布密度如下，求它的面积 Y 的分布密度。的分布密度。别处别处解：解：（1）当）当 时，时，别处别处别处别处（2）当）当 时，时，练一练练一练例例5 设正方形边长设正方形边长 X 的分布密度如下，求它的面积的分布密度如下，求它的面积 Y 的的 分布密度。分布密度。别处别处解：解：综上所述，综上所述，别处别处（1）当）当 时，时，（2）当）当 时，时，别处别处练一练练一练1、设、设 与与 分别为随机变量分别为随机变量X1和和X2的的 分布分布函数，为使函数，为使是某一随机变量的分布函数，在下给定的各组数值是某一随机变量的分布函数，在下给定的各组数值中应取（中应取（ ） A、 B、C、 D、A习题习题2 20, 21, 22，23，24，25
