2.3二次函数的性质

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1、函数函数开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标y yaxax2 2(a0)(a0)y=axy=ax2 2+k (a0+k (a0) )y yaxax2 2 ( (a0)a0)y=axy=ax2 2+k (a0+k (a0(a0) )y=a(x+h)y=a(x+h)2 2 +t(a0+t(a0) )y ya a（x+hx+h）2 2(a0(a0) )y=a(x+h)y=a(x+h)2 2 +t(a0+t(a0) )向上向上直线直线x=-hx=-h（-h-h、0 0）向下向下直线直线x=-hx=-h（-h-h、0 0）向上向上向下向下直线直线x=-hx=-h （-h-h、t t）直线直线x=

2、-hx=-h （-h-h、t t）对于二次函数对于二次函数y=axy=ax2 2 + +bxbx + c + c (a (a 0)0)图象图象: :一条抛物线一条抛物线抛物线的形状抛物线的形状, ,大小大小, ,开口方向完全由开口方向完全由_来决定来决定. . 当当a的绝对值相等时的绝对值相等时,其形状完其形状完全相同全相同,当当a的绝对值越大的绝对值越大,则开则开口越小口越小,反之成立反之成立.0y=0.5xy=0.5x2 2y= - xy= - x2 2y= - 0.5xy= - 0.5x2 2a a根据函数图象填空根据函数图象填空：抛物线抛物线y= -2xy= -2x2 2的顶点坐标是的

3、顶点坐标是 , ,对称轴是对称轴是 ，在，在 侧，侧，即即x_0x_0时时, , y y随着随着x x的增大而增大；的增大而增大；在在 侧，即侧，即x_0x_0时时,y,y随着随着x x的增大而减小的增大而减小. .当当x=x= 时，时，函数函数y y最大值是最大值是_._.当当x_0x_0时时,y0,y0 (0,0)直线直线x=0y y轴右轴右y轴左轴左0 00 0 0 0y= -2xy= -2x2 2y yx x(0,0)直线直线x=0Y Y轴右轴右Y轴左轴左00 0y= 2x2y yx x根据函数图象填空根据函数图象填空：抛物线抛物线y= -2xy= -2x2 2的顶点坐标是的顶点坐标是

4、 , ,对称轴是对称轴是 ，在，在 侧，侧，即即x_0x_0时时, , y y随着随着x x的增大而增大；的增大而增大；在在 侧，即侧，即x_0x_0时时,y,y随着随着x x的增大而减小的增大而减小. .当当x=x= 时，时，函数函数y y最大值是最大值是_._.当当x_0x_0时时,y0,y0 函数函数 y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c 基本性质回顾基本性质回顾二次函数二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图像是一条抛物线的图像是一条抛物线y=x +2xy=x +2x2 2合作学习合作学习(1)(1)当自变量增大时当自变量增大时, ,函数的值将怎样变化函数的值将怎样变化? ?顶

5、点在图顶点在图象的位置有什么特点象的位置有什么特点? ?(2)(2)判别这个函数有没有最小值或最大值判别这个函数有没有最小值或最大值. .你能发现这你能发现这是由解析式中的哪一系数决定的吗是由解析式中的哪一系数决定的吗? ?(3)(3)这个函数值的增减性是怎样变化的这个函数值的增减性是怎样变化的? ?xy02-2-22-4yx0246-22-44y=2x24x6y=0.75x2+3xy=0.5x22x1.5观察下列二次函数图像：观察下列二次函数图像：顶点在图像的位置有什么特点？顶点是抛物线上的最高点（或最低点） 条件条件 图像图像增减性最大（小）值 xyox2x1xyox1x2二次函数二次函数

6、y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的性质：的性质：a0a 0w(1).(1).每个图象与每个图象与x x轴有轴有几个交点？几个交点？w(2).(2).一元二次方程一元二次方程x x2 2+2x=0,x+2x=0,x2 2-2x+1=0-2x+1=0有几个根有几个根? ?验证一下一元二次方程验证一下一元二次方程x x2 2-2x+2=0-2x+2=0有根有根吗吗? ?w(3).(3).二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点的坐轴交点的坐标标与一元二次方程与一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根有什么关系的

7、根有什么关系? ?观察二次函数观察二次函数y=xy=x2 2+2x,y=x+2x,y=x2 2-2x+1,y=x-2x+1,y=x2 2-2x+2-2x+2的图象的图象y=xy=x2 2+2x+2xy=xy=x2 2-2x+1-2x+1y=xy=x2 2-2x+2-2x+2求二次函数图象求二次函数图象y=xy=x2 2-3x+2-3x+2与与x x轴的交点轴的交点A A、B B的坐标。的坐标。解：解：A A、B B在在x x轴上，轴上， 它们的它们的纵坐标为纵坐标为0 0， 令令y=0y=0，则，则x x2 2-3x+2=0-3x+2=0 解得：解得：x x1 1=1=1，x x2 2=2=2

8、； A A（1 1，0 0） ， B B（2 2，0 0）你发现方程你发现方程 的解的解x x1 1、x x2 2与与A A、B B的坐的坐标有什么联系？标有什么联系？x x2 2-3x+2=0-3x+2=0举例举例: :结论结论：方程：方程x x2 2-3x+2=0-3x+2=0的解就是抛物线的解就是抛物线y=y=x x2 2-3x+2-3x+2与与x x轴的两个交点的轴的两个交点的横坐标横坐标。因此，抛物线与一元二。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。次方程是有密切联系的。 如果二次函数如果二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与的图像与x轴的两轴的两个交点的个交点的 坐标坐标

9、为为 （ x1，0 ）和和（ x2 ，0）方程方程ax2+bx+c0 (a0)的解与二次函数的解与二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与的图像与x轴交点的坐标有什么关系？轴交点的坐标有什么关系？那么那么x1和和 x2 恰好是方程恰好是方程ax2+bx+c0 (a0)的两个的两个根根方程方程axax2 2+bx+c+bx+c0 0 ( (a a0)0)的的解解就是就是 函数函数y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c ( (a a0)0)的图像与的图像与x x轴交点的轴交点的 坐标坐标。横横可以发现：二次函数可以发现：二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与的图像与x轴交点的轴

10、交点的 存存在性在性与与 方程方程ax2+bx+c0 (a0)的的解解是否存在是否存在有关。有关。合作探究合作探究 那么，进一步推想方程那么，进一步推想方程axax2 2+bx+c+bx+c0 (a0)0 (a0)解解的的存在性存在性又与什么有关呢？又与什么有关呢？b2 4ac的正负性有关。的正负性有关。故而：故而：当当b b2 2 4ac4ac 时，抛物线与时，抛物线与x x轴轴 交点；交点；当当b2 4ac 时，抛物线与时，抛物线与x轴只有轴只有 交点；交点；当当b2 4ac 时，抛物线与时，抛物线与x轴轴 交点。交点。0 0 两个两个0 0 一个一个0 0 没有没有例例1 1、已知函数已

11、知函数y=y=0.50.5x x2 27 7x x7.57.5(1)(1)求函数的顶点坐标、对称轴，以及图像与坐标求函数的顶点坐标、对称轴，以及图像与坐标轴的交点轴的交点 坐标，并画出函数的大致图像；坐标，并画出函数的大致图像；解解：（：（1 1）a a= =0.5,0.5,b b= =7,7,c c=7.5;=7.5;所以函数所以函数y=y=0.50.5x x2 27 7x x7.57.5的大致图像如图：的大致图像如图：x x= =7 720xy10O10103051020 155( (7 7，32)32)(0(0，7.5)7.5)( (1515，0)0)(1(1，0)0)自变量自变量x x

12、在什么范围内时，在什么范围内时，y y随随x x 的增大而增大？何时的增大而增大？何时y y 随随x x的增大的增大而减小？并求出函数的最大值或最而减小？并求出函数的最大值或最小值。小值。解：解： 由右图可知，当由右图可知，当x7 时时 ， y随随x 的增大而增大；的增大而增大；当当x7 时，时，y 随随x的增大的增大而减小；而减小；当当x7时，函数有最大值时，函数有最大值32。(-15,0)(1,0)(0,7.5)(-7,32)(-14,7.5).0xy(3(3）根据第（）题的图象草图，说）根据第（）题的图象草图，说 出出 x x 取哪些值取哪些值时，时， y=0; y=0; y0; y0.

13、y0.x=-x=-1515或或x=1x=1x-x1x1-15x1-15x1ABCS SABCABC=0.5=0.5ABABOC=0.5OC=0.516167.5=607.5=60(4)(4)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：xoy(0,c) 函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与y y轴的交点关于图象对称轴的对称点。轴的交点关于图象对称轴的对称点。xoy(0,c)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+cX=-b/2a练一练练一练1、求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值：、求下列函数的最

14、大值（或最小值）和对应的自变量的值： y=2x28x1； y=3x25x1解：解： y=2x28x12(x2)27当当x=2时时,y有最小值有最小值,为为7 a=30且且b=5,c=1;故故:当当x= 时，时，y有最有最 值，为值，为大配方法配方法公式法公式法2、已知函数已知函数y=x23x4.求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对称轴，并画出函数的对称轴，并画出函数的大致大致图像；图像；解：解： y=xy=x2 23x3x4 4 (x(x1.5)1.5)2 26.25,6.25,图象顶点坐标为图象顶点坐标为(1.5, (1.5, 6.25);6

15、.25);又当又当y=0y=0时，时，得得x x2 23 3x x4 40 0的解为：的解为： x x1 11 1，x x2 24 4。则与则与x x轴的交点为轴的交点为( (1,0)1,0)和和(4,0) (4,0) 与与y y轴的交点为轴的交点为(0, (0, 4)4)(1,0)(1.5, 6.25)(0, 4)(4,0)x=1.5Oyx(1,0)(1.5, 6.25)(0, 4)(4,0)x=1.5Oyx记当记当x x1 1=1.5, x=1.5, x2 2= = , x, x3 3= = 时对应的函数时对应的函数值分别为值分别为y y1 1,y,y2 2,y,y3 3, ,试比较试比较

16、y y1 1,y,y2 2,y,y3 3的大小的大小? ?( ,y2)( ,y3)(3.5,y1)x=x=x=3.5(2)(2)在二次函数在二次函数y=xy=x2 2-3x-4-3x-4中中, ,自变量自变量x_x_时时,y,y随随x x 的增大而增大的增大而增大, ,x x_时时,y,y随随x x的增大而的增大而减小减小. .1.51.51.51.5 1.5即即x x2 2xx3 3xx1 1y y1 1yy3 3yy2 2例例2 2、二次函数、二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象如图所的图象如图所示，则示，则a a、b b、c c的符号分别怎样？的符号分

17、别怎样？yxo1 1、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：a+b+ca+b+c0 0 a-b+ca-b+c0 0 abcabc 0 0 b=2ab=2a其中正确的结论的个数是（其中正确的结论的个数是（ ） A A、1 1个个 B B、2 2个个 C C、3 3个个 D D、4 4个个2 2、下列函数何时有最大值或最小值，并求出最大值或最小值、下列函数何时有最大值或最小值，并求出最大值或最小值 y=2x2-8x-3 y=-5xx- 43 3、二次函数、二次函数y=xy=x2 2bx+8bx+8的图像顶点在的图像顶点在x x轴的负半轴上，轴的负半轴上，那么

18、那么b b等于多少？等于多少？D D-110xy做一做做一做例例3 3、如图，在、如图，在ABCABC中，中，AB=8cmAB=8cm，BC=6cmBC=6cm，B B9090，点点P P从点从点A A开始沿开始沿ABAB边向点边向点B B以以2 2厘米秒的速度移动，点厘米秒的速度移动，点Q Q从点从点B B开始沿开始沿BCBC边向点边向点C C以以1 1厘米秒的速度移动，如果厘米秒的速度移动，如果P,QP,Q分别从分别从A,BA,B同时出发，几秒后同时出发，几秒后PBQPBQ的面积最大？最大面积是多少？的面积最大？最大面积是多少？ABCPQ解：根据题意，设经过解：根据题意，设经过x x秒秒后

19、后PBQPBQ的面积的面积y y最大最大, ,则：则：AP=2x cm PB=AP=2x cm PB=（8-2x8-2x ） cm cm QB=x cmQB=x cm则：则： y=1/2 xy=1/2 x（8-2x8-2x）=-x=-x2 2 +4x +4x=-=-（x x2 2 - -4x 4x + +4 4 - -4 4）= -= -（x - 2x - 2）2 2 + + 4 4所以，当所以，当P P、Q Q同时运动同时运动2 2秒后秒后PBQPBQ的面积的面积y y最大最大最大面积是最大面积是 4 cm4 cm2 2（0 0x4xxx2 20,0,试比较试比较y y1 1与与y y2 2

20、的大小的大小. .2 2、如图直线、如图直线l l经过点经过点A(4,0)A(4,0)和和B(0,4)B(0,4)两点两点, ,它与二次它与二次函数函数y=axy=ax2 2的图像在第一象限内相交于的图像在第一象限内相交于P P点点, ,若若AOPAOP的的面积为面积为4.5,4.5,求二次函数的解析式求二次函数的解析式. .ABPOxy3 3、将抛物线、将抛物线y=xy=x2 2向下平移后向下平移后, ,使它的顶点使它的顶点C C与它在与它在x x轴上轴上的两个交点的两个交点A,BA,B组成等边三角形组成等边三角形ABC,ABC,求此抛物线的解析求此抛物线的解析式。式。谈谈你的收获、感受？！

21、谈谈你的收获、感受？！1 1、如图，等腰、如图，等腰RtABCRtABC的直角边的直角边ABAB，点，点P P、Q Q分别从分别从A A、C C两点两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P P沿射线沿射线ABAB运运动，点动，点Q Q沿边沿边BCBC的延长线运动，的延长线运动，PQPQ与直线相交于点与直线相交于点D D。(1)(1)设设 APAP的长为的长为x x，PCQPCQ的面积为的面积为S S，求出求出S S关于关于x x的函数关系式的函数关系式(2)(2)当当APAP的长为何值时，的长为何值时，S SPCQPCQ= S= SABCABC 解

22、：）解：）P P、Q Q分别从分别从A A、C C两点同时出发，速度相等两点同时出发，速度相等AP=CQ=xAP=CQ=x当当P P在线段在线段ABAB上时上时 S SPCQPCQ CQCQ PBPB= =APAPPBPB即即S S ( (0x20x2） (2)(2)当当S SPCQPCQS SABCABC时，有时，有 此方程无实数根此方程无实数根 x1=1+ , x2=1 (舍去舍去) 当当AP长为长为1+ 时，时，SPCQSABC 3.05米米4米米?2.25米米oxy球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围球在运动中离地面的最大高度。球在运动中离地

23、面的最大高度。解解: 设函数解析式为设函数解析式为:y=a(x2.5)2+k,根据题意，得：根据题意，得：2.52a+k=2.25(42.5)2a+k=3.05则：则：a a= =0.2,0.2,k k=3.5=3.5解析式为解析式为:y=:y=0.20.2x x2 2+ +x x+2.25,+2.25,自变量自变量x x的取值范围为：的取值范围为：00x x4.4.球在运动中离地面的最大高度为球在运动中离地面的最大高度为3.53.5米米。2 2、篮球运动员投篮时，球运动的路线为抛物线的一、篮球运动员投篮时，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为部分（如图），抛物线的对称轴为x x=2.5=2.5。求：。求：