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1、第三节第三节 函数的极限函数的极限一、函数极限的定义一、函数极限的定义二、函数极限的性质二、函数极限的性质三、小结与思考判断题三、小结与思考判断题一、函数极限的定义 本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数，程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数，那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极限限. .函数的极限与自变量的变化过程有关函数的极限与自变量的变化过程有关. .自变量自变量的变化过程
2、不同，函数极限的形式就不同的变化过程不同，函数极限的形式就不同. .主要研主要研究两种情形：究两种情形：1.自变量趋于有限值时函数的极限 考虑自变量考虑自变量 趋近于有限值趋近于有限值 ，记这一变，记这一变化过程为化过程为 仿照数列极限的定义，给出仿照数列极限的定义，给出 时函数时函数的极限的定义的极限的定义. . 定义1 设函数 在点 的某一去心邻域内有定义.如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数 ，使得对于适合不等式 的一切 ，对应的函数值 都满足不等式 ，那么常数 就叫函数 当 时的极限，记作或当3.(3.(几何解释几何解释) )注:例1 证明 证证 因为为使对于任意给定的正
3、数 ，有只要 ,所以对任意 ，可取 ，则当 适合不等式 时，对应的函数值 就满足不等式所以证例4讨论单侧极限2函数值无限接近于函数值无限接近于2.2.函数值无限接近于函数值无限接近于2.2.左极限右极限左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例6证结论：2.自变量趋于无穷大时函数的极限 自变量自变量 表示表示 及及 ，对正数对正数 ， 表示表示 及及 . .定义4 如果对于任意给定的正数（不论它多么小）总存在着正数 ，使得对于适合不等式 的一切 ，所对应的函数值 都满足不等式那么常数 就叫函数 当 时的极限，记作 另两种情形:结论：结论：几何解释:例4证例5证明也即二、函数极限的性质 1.局
4、部有界性定理若在某个过程下 , ,)(xf有极限, ,则存在过程的一个时刻, ,在此时刻以后)(xf有界. . 定理,2.唯一性 若)(limxf存在 则极限唯一.定理定理( (保号性保号性) )推论推论3.局部保号性4.4.子列收敛性子列收敛性( (函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系) )定义定义定理定理 证证 设 ，则对任意的 ，总存在 ，当 时，有又因为 ，则对上述的 ，存在 ，当 时，有 .由假设 ， .故当 时， .从而有 即也即函数的子列 收敛.例如例如,函数极限与数列极限的关系 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.例6证二者不相等二者不相等, ,三、小结函数极限的统一定义(见下表见下表)过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 思考题思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.
