《第二章信号检测与估计理论(2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章信号检测与估计理论(2)（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 2.3 随机过程及其统计描述随机过程及其统计描述 限于讨论：连续随机过程；实随机过程。限于讨论：连续随机过程；实随机过程。 2.3.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 设设 是一概率空间，是一概率空间，T 是一个实参数集，定义在是一个实参数集，定义在 T 和和 上的二元函数上的二元函数 ， 对于任意固定的对于任意固定的 , 是概率空间是概率空间上的随机变量，而对于任意的固定的上的随机变量，而对于任意的固定的 是概率空间上是概率空间上的随机函数的随机函数,则称则称 为一随机过程，为一随机过程， 和和 都是变都是变量。量。 由随机过程的定义可知：由随机过程的定义可知： ， 是一随机变量；是
2、一随机变量； ， 是一随机函数。是一随机函数。随机过程的定义域为实数随机过程的定义域为实数T和样本空间和样本空间 ,其值域为其值域为R.2.3.2 随机过程的统计描述随机过程的统计描述 下图出了连续随机过程的部分随机函数。下图出了连续随机过程的部分随机函数。 随机过程既可以看做是一个样本函随机过程既可以看做是一个样本函数的集合，也可以看做是依赖于时间数的集合，也可以看做是依赖于时间t的的一族随机变量的集合。一族随机变量的集合。 随机过程用其概率密度函数进行统计描述。随机过程用其概率密度函数进行统计描述。一维一维pdf：二维二维pdf：N维联合维联合pdf为：为：二维：二维： 随机过程随机过程
3、，简记为，简记为 ； 时时刻的随机变量刻的随机变量 简记为简记为 。 2.3.3 随机过程的统计平均量随机过程的统计平均量 随机过程的统计平均量用来表示随机过程的主要特随机过程的统计平均量用来表示随机过程的主要特性。性。 随机过程随机过程 的均值的均值: 可将其理解为可将其理解为 的直流分量。的直流分量。 随机过程随机过程 的均方值的均方值: 可将其理解为可将其理解为 的平均功率。的平均功率。 随机过程随机过程 的方差的方差: 可将其理解为可将其理解为 的交流功率。的交流功率。 随机过程随机过程 的自相关函数的自相关函数: 可将其理解为可将其理解为 与与 之间含有直流分量时的相之间含有直流分量
4、时的相关程度的度量。关程度的度量。 随机过程随机过程 的自协方差函数的自协方差函数: 可将其理解为可将其理解为 与与 之间相关程度的度量。之间相关程度的度量。随机过程的互相关函数：随机过程的互相关函数：随机过程随机过程 和和 ，其互相关函数为，其互相关函数为随机过程的互协方差函数：随机过程的互协方差函数：随机过程随机过程 和和 ，其互协方差函数为，其互协方差函数为随机过程的平均统计量之间的关系随机过程的平均统计量之间的关系: 2.3.4 随机过程的平稳性随机过程的平稳性 1. 为讨论方便为讨论方便，将随机过程分为：严格平稳随机将随机过程分为：严格平稳随机过程、广义平稳随机过程和非平稳随机过程三
5、类。过程、广义平稳随机过程和非平稳随机过程三类。 (1) 严格平稳随机过程严格平稳随机过程 若若 则则 是严格平稳的随机过程。是严格平稳的随机过程。 严格平稳随机过程的一维概率密度函数与起始时刻严格平稳随机过程的一维概率密度函数与起始时刻 无关。无关。 严格平稳随机过程的二维联合概率密度函数仅与时严格平稳随机过程的二维联合概率密度函数仅与时 间间隔间间隔 有关，而与起始时刻无关。有关，而与起始时刻无关。 ( 2) 广义平稳随机过程广义平稳随机过程 若随机过程若随机过程 的均值与时间的均值与时间t无关，即无关，即 自相关函数只取决与时间间隔，与起点无关自相关函数只取决与时间间隔，与起点无关则则
6、是广义平稳随机过程。是广义平稳随机过程。 (3) 非平稳随机过程非平稳随机过程 既不满足严格平稳、也不满足广义平稳的随机过程，既不满足严格平稳、也不满足广义平稳的随机过程，称为非平稳随机过程。称为非平稳随机过程。 2. 严格平稳与广义平稳随机过程的关系严格平稳与广义平稳随机过程的关系 严格平稳一定广义平稳；严格平稳一定广义平稳； 广义平稳不一定严格平稳，除非是高斯随机过程，广义平稳不一定严格平稳，除非是高斯随机过程， 这是高斯随机过程的重要特性之一。这是高斯随机过程的重要特性之一。 3. 联合平稳随机过程及其统计特性联合平稳随机过程及其统计特性 设设 和和 分别是两个平稳的随机过程，分别是两个
7、平稳的随机过程，如果对任意的如果对任意的 ，其互相关函数，其互相关函数 则称则称 与与 是联合平稳随机过程是联合平稳随机过程, 即互相即互相关函数仅与时间间隔有关。关函数仅与时间间隔有关。2.3.5 随机过程的随机过程的正交性、不相关性和统计独立性正交性、不相关性和统计独立性 设随机过程设随机过程 的任意不同时刻的随机变量为的任意不同时刻的随机变量为 1. 定义：定义： (1) 相互正交性相互正交性 (2) 互不相关性互不相关性 或者或者 (3) 相互统计独立性相互统计独立性 2. 关系关系： 结论结论1 ： 若若 ， 则则 结论结论2 ： 若若 与与 相互统计独立，则二者必互相互统计独立，则
8、二者必互 不相关。不相关。 结论结论3： 若若 与与 互不相关，不一定相互统计互不相关，不一定相互统计 独立，除非它们是独立，除非它们是联合高斯分布联合高斯分布的。的。 2.3.6 平稳随机过程的平稳随机过程的功率谱密度功率谱密度 1. 概念：平稳随机过程不满足绝对可积条件，因而概念：平稳随机过程不满足绝对可积条件，因而其频谱函数不存在；但其功率通常是有限的，从而引其频谱函数不存在；但其功率通常是有限的，从而引出功率谱密度函数出功率谱密度函数 的概念。的概念。 2. 均均方方连续的平稳随机过程的自相关函数可展开为连续的平稳随机过程的自相关函数可展开为 均方连续的平稳随机过程的谱展开式。式中，均方连续的平稳随机过程的谱展开式。式中， 是在是在 上的非负、有界、单调不减和右连续的函上的非负、有界、单调不减和右连续的函 数，称为数，称为 的谱函数。的谱函数。 3. 的功率谱密度的功率谱密度 若存在函数若存在函数 ，使，使 成立，则称成立，则称 为为 的功率谱密度。的功率谱密度。 4. 维纳维纳-辛钦定理辛钦定理 维纳维纳-辛钦定理给出了辛钦定理给出了 的的 与与 的关系：的关系： 即即 5. 的性质的性质 的平均功率的平均功率6. 互功率谱密度互功率谱密度
