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1、数学是好数学是好“ “玩玩” ”的的12长度长度长度长度转盘转盘转盘转盘游戏游戏游戏游戏情景情景1 1：（研究指针位置）（研究指针位置）（研究指针位置）（研究指针位置）面积面积面积面积情景情景2 2：一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30303030秒，黄灯亮的时间为秒，黄灯亮的时间为秒，黄灯亮的时间为秒，黄灯亮的时间为5 5 5 5秒，绿灯亮的秒，绿灯亮的秒，绿灯亮的秒，绿灯亮的时间为时间为时间为时间为40404040秒，当你到达路口时，遇到秒，当你到达路口时，遇到秒，当你到达路口时，遇到秒，当你到
2、达路口时，遇到红灯和绿灯的概率那个大？为什么？红灯和绿灯的概率那个大？为什么？红灯和绿灯的概率那个大？为什么？红灯和绿灯的概率那个大？为什么？3下图是卧室和书房地板的示意图，图中每下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，甲壳虫一块方砖除颜色外完全相同，甲壳虫 分别在卧室和书房中自由地飞来飞去，并分别在卧室和书房中自由地飞来飞去，并随意停留在某块方砖上，问随意停留在某块方砖上，问卧室卧室在哪个房间里，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？在哪个房间里，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？卧室卧室书房书房4提出问题提出问题n古典概型的两个基本特点古典概型的两个基本特点: :（1 1）所有的基本
3、事件只有有限个）所有的基本事件只有有限个; ;（2 2）每个基本事件发生都是等可能的。）每个基本事件发生都是等可能的。思考：上述问题的概率是古典概型问题吗？思考：上述问题的概率是古典概型问题吗？ 为什么？为什么？那么对于有无限多个试验结果那么对于有无限多个试验结果（不可数）的情况相应的概率应（不可数）的情况相应的概率应如何求呢如何求呢? ?56 1 1 1 1、几何概型是怎样定义的？、几何概型是怎样定义的？、几何概型是怎样定义的？、几何概型是怎样定义的？ 事件事件事件事件A A A A理解为理解为理解为理解为区域区域区域区域的某一的某一的某一的某一子区域子区域子区域子区域A A A A，A A
4、 A A的概率只与子区的概率只与子区的概率只与子区的概率只与子区域域域域A A A A的的的的几何度量几何度量几何度量几何度量（长度、面积、体积）成正比，而与（长度、面积、体积）成正比，而与（长度、面积、体积）成正比，而与（长度、面积、体积）成正比，而与A A A A的位的位的位的位置和形状置和形状置和形状置和形状无关无关无关无关. . . . 满足以上条件的试验称为几何概型满足以上条件的试验称为几何概型满足以上条件的试验称为几何概型满足以上条件的试验称为几何概型. . . .2 2 2 2、在几何概型中，、在几何概型中，、在几何概型中，、在几何概型中，事件事件事件事件A A A A的概率的概
5、率的概率的概率是怎么定义的？是怎么定义的？是怎么定义的？是怎么定义的？3 3 3 3、几何概型与古典概型有什么区别和联系？并举例、几何概型与古典概型有什么区别和联系？并举例、几何概型与古典概型有什么区别和联系？并举例、几何概型与古典概型有什么区别和联系？并举例说明说明说明说明. . . .A7（2 2）每个基本事件出现）每个基本事件出现）每个基本事件出现）每个基本事件出现 的可能性相等的可能性相等的可能性相等的可能性相等. .（1 1）试验中所有可能出）试验中所有可能出）试验中所有可能出）试验中所有可能出 现的基本事件有有限个；现的基本事件有有限个；现的基本事件有有限个；现的基本事件有有限个；
6、几何概型的特征几何概型的特征几何概型的特征几何概型的特征古典概型的特征古典概型的特征古典概型的特征古典概型的特征（1 1）试验中所有可能出）试验中所有可能出）试验中所有可能出）试验中所有可能出 现的基本事件有无限个；现的基本事件有无限个；现的基本事件有无限个；现的基本事件有无限个；（2 2）每个基本事件出现）每个基本事件出现）每个基本事件出现）每个基本事件出现 现的可能性相等现的可能性相等现的可能性相等现的可能性相等. .异异同同8两种概型、概率公式的联系两种概型、概率公式的联系 1.古典概型的概率公式古典概型的概率公式:2.几何概型的概率公式几何概型的概率公式:几何概型可以看作是古典概型的推
7、广几何概型可以看作是古典概型的推广求几何概型的概率时考虑试验的结果个数失去意义求几何概型的概率时考虑试验的结果个数失去意义9辨一辨辨一辨先判断是何种概率模型,再求相应概率.(1)在集合A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取一 个元素a,则P(a3)= .(2)已知点0(0,0)、M(60,0),在线段OM上任取一点P,则P(|PM|10)= . (2)(2)几何概率模型几何概率模型,P(|PM|10)=1/6,P(|PM|10)=1/6(1)(1)古典概率模型古典概率模型,P(,P(a3)=7/103)=7/1010(3) (3) 在在在在1000mL1000mL的水中有一个草履虫，
8、现从中任取出的水中有一个草履虫，现从中任取出的水中有一个草履虫，现从中任取出的水中有一个草履虫，现从中任取出2mL2mL水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率. . 0.002(2) (2) 在在在在1 1万平方千米的海域中有万平方千米的海域中有万平方千米的海域中有万平方千米的海域中有4040平方千米的大陆架储藏平方千米的大陆架储藏平方千米的大陆架储藏平方千米的大陆架储藏着石油着石油着石油着石油, ,如果在海域中任意点钻探如果在海域中任意点钻探如果在海域中任意点钻探如果在海域中任意
9、点钻探, ,钻到油层面的概率钻到油层面的概率钻到油层面的概率钻到油层面的概率 . .0.004与面积成比例与面积成比例练一练练一练(1)(1)在区间（在区间（在区间（在区间（0 0，1010）内的所有实数中随机取一个实数）内的所有实数中随机取一个实数）内的所有实数中随机取一个实数）内的所有实数中随机取一个实数a a， 则这个实数则这个实数则这个实数则这个实数a7a7的概率为的概率为的概率为的概率为 . .0.3与长度成比例与长度成比例与体积成比例与体积成比例若满足若满足2a5呢？呢？111.1.如右下图如右下图, ,假设在每个图形上随机撒一粒芝麻假设在每个图形上随机撒一粒芝麻, ,分别计算它落
10、到阴影部分的概率分别计算它落到阴影部分的概率. .2.2.取一根长度为取一根长度为3 3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不小于么剪得的两段长都不小于1 1米的概率有多大？米的概率有多大？3.3.在腰长为在腰长为2 2的等腰直角三角形内任取一点的等腰直角三角形内任取一点, ,求该点到此三角形的直角顶点的距离小于求该点到此三角形的直角顶点的距离小于1 1的概率的概率. .124 4：一一海海豚豚在在水水池池中中自自由由游游弋弋，水水池池为为长长30m，宽宽为为20m的的长长方方形形。求求此此海海豚豚嘴嘴尖尖离离岸岸边边不不超超过过 2m 的概率的
11、概率. 规规范范解解题题步步骤骤规规范范解解题题步步骤骤20m30m2mA解：设事件A=“海豚嘴尖 离岸边不超过2m”， 如右图，则事件A可用 图中的阴影的面积表示， 请同学们归纳求几何概型请同学们归纳求几何概型概率的规范步骤，概率的规范步骤，并与古典概型步骤作比较！并与古典概型步骤作比较！13典例分析典例分析 平平面面上上画画了了一一些些彼彼此此相相距距2a的的平平行行线线，把把一一枚枚半半径径ra, 你愿意玩这个游戏吗？你愿意玩这个游戏吗？18例例 某公共汽车站每某公共汽车站每隔隔1515分钟有一辆汽分钟有一辆汽车到达，乘客到达车到达，乘客到达车站的时刻是任意车站的时刻是任意的，求一个乘客
12、到的，求一个乘客到达车站后候车时间达车站后候车时间大于大于10 10 分钟的概率分钟的概率？19例例 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔1515分钟有一辆汽车到达，分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于车站后候车时间大于10 10 分钟的概率？分钟的概率？分析：把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可以用几何概型求解。解：设上辆车于时刻解：设上辆车于时刻T T1 1到达，而下一辆车于时刻到达，而下一辆车于时刻T T2 2到达，线段到达，线段T T1 1T T2 2的长度为的长度为1515，设，设T T是是T T1 1
13、T T2 2上的点，上的点，且且T T1 1T=5T=5，T T2 2T=10T=10，如图所示，如图所示: :答：侯车时间大于答：侯车时间大于10 分钟的概率是分钟的概率是1/3.T1T2T记候车时间大于记候车时间大于1010分钟为事件分钟为事件A A，则当乘客到达车，则当乘客到达车站的时刻落在线段站的时刻落在线段T T1 1T T上时，事件发生，区域上时，事件发生，区域D D的测的测度为度为1515，区域，区域d d的测度为的测度为5 5。 所以所以20变式：1.假设题设条件不变，求候车时间不超过10分钟的概率.T1T2T分析：212 2某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔1515分钟有一辆汽
14、车到达，并且出发前分钟有一辆汽车到达，并且出发前在车站停靠在车站停靠3 3分钟。乘客到达车站的时刻是任意的，求一分钟。乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于个乘客到达车站后候车时间大于10 10 分钟的概率？分钟的概率？分析：设上辆车于时刻分析：设上辆车于时刻T T1 1到达，而下一辆车于时到达，而下一辆车于时刻刻T T0 0到达，到达，T T2 2时刻出发。线段时刻出发。线段T T1 1T T2 2的长度为的长度为1515，设，设T T是是T T1 1T T2 2上的点，且上的点，且T T0 0T T2 2=3=3，TTTT0 0=10=10，如图所示，如图所示: :记
15、记候车时间大于候车时间大于1010分钟为事件分钟为事件A A，则当乘客到达车站的，则当乘客到达车站的时刻落在线段时刻落在线段T T1 1T T上时，事件上时，事件A A发生，区域发生，区域D D的测度为的测度为1515，区域，区域d d的测度为的测度为15-3-10=215-3-10=2。 所以所以 T1T2TT0221.某人一觉醒来某人一觉醒来,发现表停了发现表停了,他打开收音机他打开收音机,想听电想听电台整点报时台整点报时,求他等待的时间不多于求他等待的时间不多于10分钟的概率分钟的概率.解解: :设事件设事件A=A=等待的时间不多于等待的时间不多于1010分钟分钟 事件事件A A发生的区
16、域为时间段发生的区域为时间段50,6050,60 巩固练习巩固练习232.2.教室后面墙壁上的时钟掉下来教室后面墙壁上的时钟掉下来, ,面板摔坏了面板摔坏了, ,刻度刻度5 5至至7 7的部分没了的部分没了, ,如图如图: :但指针运行正常但指针运行正常, ,若指针都指向有刻度的地方视为能看到准确若指针都指向有刻度的地方视为能看到准确时间时间, ,求不能看到准确时间的概率求不能看到准确时间的概率. .1/61/6巩固练习巩固练习243 3 3 3 . .在直角坐标系内在直角坐标系内, ,射线射线OTOT落在落在6060o o 角的终边上角的终边上, ,任作一条射线任作一条射线OA,OA,求射线
17、求射线OAOA落在落在XOTXOT内的概率。内的概率。巩固练习巩固练习25甲、乙二人约定在甲、乙二人约定在1212点到点到5 5点之间在某地会面点之间在某地会面, ,先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的内的各时刻到达是等可能的, ,且二人互不影响且二人互不影响. .求二人能会面的概率求二人能会面的概率. .想一想想一想26解解:以以 X ,Y 分别表示甲乙二人到达的时刻分别表示甲乙二人到达的时刻,于是于是 即点即点 M 落在图中的阴影部分落在图中的阴影部分.所有的点构成一个正方形所有的点构成一个正方形,即即有无穷多个结果有无穷
18、多个结果.由于每人在由于每人在任一时刻到达都是等可能的任一时刻到达都是等可能的,所以落在正所以落在正 方方 形形 内内 各各 点是点是等可能的等可能的.0 1 2 3 4 5yx54321.M(X,Y)27二人会面的条件是：二人会面的条件是： 0 1 2 3 4 5yx54321y-x =1y-x = -128我的收获我的收获3.3.几何概型的概率计算公式几何概型的概率计算公式1.1.几何概型的几何概型的特征特征2.几何概型的几何概型的定义定义 每个基本事件出现的可能性每个基本事件出现的可能性 .几何概型中所有可能出现的基本事件有几何概型中所有可能出现的基本事件有 个；个；如果某个事件发生的概
19、率只与构成如果某个事件发生的概率只与构成如果某个事件发生的概率只与构成如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度量该事件区域的几何度量该事件区域的几何度量该事件区域的几何度量( (长度、面积长度、面积长度、面积长度、面积或或或或 体积体积体积体积) )成正比例成正比例成正比例成正比例, ,则称这样的概率则称这样的概率则称这样的概率则称这样的概率模型为几何概率模型。模型为几何概率模型。模型为几何概率模型。模型为几何概率模型。无限无限无限无限相等相等相等相等4 .解决几何概型的关键是解决几何概型的关键是构造随机事件对应的几何图形构造随机事件对应的几何图形.29解题步骤解题步骤记事件记事件记事
20、件记事件构造几何图形构造几何图形构造几何图形构造几何图形计算几何度量计算几何度量计算几何度量计算几何度量求概率求概率求概率求概率下结论下结论下结论下结论30思考题：思考题： 有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行，且它有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行，且它停在任意一点的可能性相等，已知圆形区域的半径为停在任意一点的可能性相等，已知圆形区域的半径为2，蚂蚁停在圆形内的概率为蚂蚁停在圆形内的概率为0.1，求图中五角星的面积，求图中五角星的面积.(计算结果保留计算结果保留）随堂练习，巩固提高随堂练习，巩固提高随堂练习，巩固提高随堂练习，巩固提高解：记解：记“蚂蚁最后停在五角星内蚂蚁最后停在五角
21、星内”为事件为事件A,31 解解: :以以x x，y y分别表示两人的到达时刻，分别表示两人的到达时刻，则两人能会面的充要条件为则两人能会面的充要条件为试一试试一试: 3.两人相约两人相约8点到点到9点在某地会面点在某地会面,先到者等候另一人先到者等候另一人20分钟分钟,过时就可离去过时就可离去,试求这两人能会面的概率试求这两人能会面的概率.32思考与讨论思考与讨论假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6 6：3030至至至至7 7：3030之间把报纸送到家，小明离开家去上
22、学的时间在早之间把报纸送到家，小明离开家去上学的时间在早之间把报纸送到家，小明离开家去上学的时间在早之间把报纸送到家，小明离开家去上学的时间在早上上上上7 7：0000至至至至8 8：0000之间，问小明在离开家之前能得到报纸之间，问小明在离开家之前能得到报纸之间，问小明在离开家之前能得到报纸之间，问小明在离开家之前能得到报纸（称为事件（称为事件（称为事件（称为事件A A）的概率是多少？）的概率是多少？）的概率是多少？）的概率是多少？（提示：可借助直角坐标系）（提示：可借助直角坐标系）（提示：可借助直角坐标系）（提示：可借助直角坐标系）33. .假设你家订了一份报纸假设你家订了一份报纸, ,送
23、报人可能在早上送报人可能在早上6:306:307:307:30之间把报纸送到你家之间把报纸送到你家, ,你父亲离开家去工作的时间你父亲离开家去工作的时间在早上在早上7:008:007:008:00之间之间, ,问你父亲在离开家前能得到报问你父亲在离开家前能得到报纸纸( (称为事件称为事件A)A)的概率是多少的概率是多少? ?34解解: :以横坐标以横坐标x表示报纸送到表示报纸送到时间时间, ,以纵坐标以纵坐标y表示父亲离表示父亲离家时间建立平面直角坐标系。家时间建立平面直角坐标系。(x,y)可以看成平面上的点，可以看成平面上的点，试验的全部结果所构成区域试验的全部结果所构成区域 即图中的阴影部
24、分，面积为：即图中的阴影部分，面积为：这是个几何概型，所以这是个几何概型，所以面积为面积为事件事件A：父亲在离开家前能拿：父亲在离开家前能拿到报纸到报纸所构成的区域所构成的区域35课堂小结v1.几何概型的特点几何概型的特点.v2.几何概型的概率公式几何概型的概率公式.v3.公式的运用公式的运用.本节本节核心内容核心内容是几何概型特点及概率是几何概型特点及概率 求法，求法，易错点易错点是容易找是容易找错、求错几何度量。要求在做解答题时要有错、求错几何度量。要求在做解答题时要有规范的规范的步骤和步骤和必要必要的文字说明，在平时的学习中养成良好的学习习惯！的文字说明，在平时的学习中养成良好的学习习惯
25、！36（一）与长度有关的几何概型（一）与长度有关的几何概型练习：取一根长为练习：取一根长为练习：取一根长为练习：取一根长为3 3 3 3米的绳子米的绳子米的绳子米的绳子, , , ,拉直后在任意位置剪断拉直后在任意位置剪断拉直后在任意位置剪断拉直后在任意位置剪断, , , ,那那那那么剪得两段的长都不少于么剪得两段的长都不少于么剪得两段的长都不少于么剪得两段的长都不少于1 1 1 1米的概率有多大米的概率有多大米的概率有多大米的概率有多大? ? ? ?37（二）与角度有关的几何概型（二）与角度有关的几何概型38（二）与角度有关的几何概型（二）与角度有关的几何概型3940（三）与面积有关的几何概
26、型（三）与面积有关的几何概型4142（四）几何概型的应用（四）几何概型的应用随机模拟随机模拟43441.1.一张方桌的图案如图所示一张方桌的图案如图所示. .将一颗豆子将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事件的概率：求下列事件的概率：（1 1）豆子落在红色区域；）豆子落在红色区域；（2 2）豆子落在黄色区域；）豆子落在黄色区域；（3 3）豆子落在绿色区域；）豆子落在绿色区域；（4 4）豆子落在红色或绿色区域；）豆子落在红色或绿色区域；（5 5）豆子落在黄色或绿色区域）豆子落在黄色或绿色区域. .练习：课本：练习：课本：P142 A组组 1
27、, 2，3 练习练习45 举例举例（五）与体积有关的几何概型（五）与体积有关的几何概型4647（五）与体积有关的几何概型（五）与体积有关的几何概型48（六）几何概型的应用（六）几何概型的应用495051（六）几何概型的应用（六）几何概型的应用5253例例3 3： 假设你家订了一份报纸假设你家订了一份报纸, ,送报人可能在早上送报人可能在早上6:307:306:307:30之间把报纸送到你家之间把报纸送到你家, ,你父亲离开家去工你父亲离开家去工作的时间在早上作的时间在早上7:008:007:008:00之间之间, ,问你父亲在离开家问你父亲在离开家前能得到报纸前能得到报纸( (称为事件称为事件
28、A)A)的概率是多少的概率是多少? ?（六）几何概型的应用（六）几何概型的应用54解解: :以横坐标以横坐标x表示报纸送到时间表示报纸送到时间,以纵坐标以纵坐标y表示父亲表示父亲离家时间建立平面直角坐标系离家时间建立平面直角坐标系,假设随机试验落在方形假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件所以符合几何概型的条件.根据题意根据题意,只要点落到阴影部分只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家就表示父亲在离开家前能得到报纸前能得到报纸,即时间即时间A发生发生,所以所以55v对于复杂的实际问题对于复杂的实际问题,解题的关键是要解题的关键是要建立模型建立模型,找出随机事件与所有基本事件相找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域对应的几何区域,把问题转化为几何概率问把问题转化为几何概率问题题,利用几何概率公式求解利用几何概率公式求解.（六）几何概型的应用（六）几何概型的应用56v甲乙两人约定在甲乙两人约定在6时到时到7时时之间在某处会面之间在某处会面,并约定先到者并约定先到者应等候另一个人一刻钟应等候另一个人一刻钟,到时即到时即可离去可离去,求两人能会面的概率求两人能会面的概率. 思考思考练习册练习册P84例例3575859（六）几何概型的应用（六）几何概型的应用6061
