《勾股定理章总结》由会员分享，可在线阅读，更多相关《勾股定理章总结（58页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、（背景介绍：背景介绍：我们知道，古我们知道，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了勾希腊数学家毕达哥拉斯发现了勾股定理在西方，勾股定理又称股定理在西方，勾股定理又称为为“毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理”人们为人们为了纪念这位伟大的科学家，在他了纪念这位伟大的科学家，在他的家乡建了这个雕像的家乡建了这个雕像）创设情境引出课题创设情境引出课题 问题问题1如图，这是矗立在萨摩斯岛上的雕像，这如图，这是矗立在萨摩斯岛上的雕像，这个雕像给你怎样的数学联想？个雕像给你怎样的数学联想？创设情境引出课题创设情境引出课题 问题问题1如图，这是矗立在萨摩斯岛上的雕像，这如图，这是矗立在萨摩斯岛上的雕像，这个雕像给你怎样的数学
2、联想？个雕像给你怎样的数学联想？追问追问1在本章我们学习了在本章我们学习了直角三角形一个重要的定理，你直角三角形一个重要的定理，你能叙述这个定理吗？能叙述这个定理吗？追问追问2我们知道任何一个我们知道任何一个命题都有逆命题，勾股定理的逆命题都有逆命题，勾股定理的逆命题成立吗？你能叙述这个逆命命题成立吗？你能叙述这个逆命题吗？题吗？理清脉络构建框架理清脉络构建框架勾股定理勾股定理直角三角形边直角三角形边长的数量关系长的数量关系勾股定理勾股定理的逆定理的逆定理直角三角直角三角形的判定形的判定互逆定理互逆定理2.在RtABC中，C=90. .（1）如果a=3，b=4，则c=；（2）如果a=6，c=1
3、0，则b=；（3）如果c=13，b=12，则a=；（4）已知b=3，A=30，求a，c.答案:（4）a=，c=.585第一组练习:勾股定理的直接应用（一）知两边或一边一角型二.基础知识运用2.在RtABC中，C=90. .（1）如果a=3，b=4，则c=；（2）如果a=6，c=10，则b=；（3）如果c=13，b=12，则a=；（4）已知b=3，A=30，求a，c.答案:（4）a=，c=.585第一组练习:勾股定理的直接应用（一）知两边或一边一角型1.如图，已知在ABC中，B=90，若BC4，ABx，AC=8- -x，则AB=, ,AC=.2.在RtABC C 中中, ,B=90，b=34,
4、,a:c=8:15, ,则a=, , c=.3.（选做题）在RtABC中，C=90，若a=12, ,c- -b=8, ,求b,c.答案：答案：3. 3. b=5=5，c=13.=13.351630第一组练习:勾股定理的直接应用（二）知一边及另两边关系型1.对三角形边的分类.已知一个直角三角形的两条边长是3cm和4cm，求第三条边的长注意：这里并没有指明已知的两条边就是直角边，所以4cm可以是直角边，也可以是斜边，即应分情况讨论答案：5cm或cm.第一组练习:勾股定理的直接应用（三）分类讨论的题型已知：在已知：在ABC中，中，AB15 15 cm，AC13 13 cm，高，高AD12 12 cm
5、，求，求SABC答案：答案：第第1 1种情况：如图种情况：如图1 1，在，在RtADB和和RtADC中，分别由勾股中，分别由勾股定理，得定理，得BD9 9，CD5 5，所以，所以BCBD+ + CD9+59+51414故故SABC8484（cmcm2 2）第第2 2种情况，如图种情况，如图2 2，可得：，可得：SABC=24=24（ cm cm2 2 ） 2. 2. 对三角形高的分类对三角形高的分类. .图图1图图2第一组练习:勾股定理的直接应用（三）分类讨论的题型【思考思考】本组题，利用勾股定理解决了哪本组题，利用勾股定理解决了哪些类型题目？注意事项是什么？些类型题目？注意事项是什么？ 利用
6、勾股定理能求三角形的边长和高等线利用勾股定理能求三角形的边长和高等线段的长度段的长度. .注意没有图形的题目，先画图，注意没有图形的题目，先画图，再考虑是否需分类讨论再考虑是否需分类讨论. .1.在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（）A一定不会B可能会C一定会D以上答案都不对A第二组练习:用勾股定理解决简单的实际问题思考：思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基利用勾股定理解题决实际问题时，基本步骤是什么？本步骤是什么？答案：答案：1.1.
7、把实际问题转化成数学问题，找出相把实际问题转化成数学问题，找出相应的直角三角形应的直角三角形.2.2.在直角三角形中找出直角边，斜边在直角三角形中找出直角边，斜边. .3.3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题根据已知和所求，利用勾股定理解决问题. .2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. .已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠，使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10,求求BE的长的长.第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题如图如图, ,折叠长方形折叠长方形（四个角都是直角，（四个角都是直角，对边相等）对边相等）的一边，
8、使点的一边，使点D D落在落在BCBC边边上的点上的点F F处，若处，若AB=8AB=8，AD=10.AD=10.（1 1）你能说出图中哪些线段的长）你能说出图中哪些线段的长? ?（2 2）求）求ECEC的长的长. .10104 46 68 81010x xEFDCBA8-x8-x8-x8-x例例4.如图沿如图沿AE折叠矩形，点折叠矩形，点D恰好落在恰好落在BC边边上的点上的点F处，已知处，已知AB=8cm，BC=10cm，求，求EC的长的长.ABFCDE解：点F、D关于AE对称 AFE AD E AF=AD ，EF =ED AFE = ADE 四边形ABCD是矩形 BC=AD AB =CD
9、C = ADE =900 又AB =8cm BC =10cm AF=10cm CD =8cm 在Rt ABF中 BF= FC =4cm 设EC =xcm 则DE=EF=（8-x）cm 在 CFE 中，EF2=EC2+FC2 （8-x）2 = x2+42 解得x=3 答：EC的长为3cm.方程思想方程思想直角三角形中，当无法已知两边求第三直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程。的等量关系，利用勾股定理列方程。3.做高线，构造直角三角形.已知：如图，在ABC中，B=45，C=60，AB=2. .求（1
10、）BC的长；（2）SABC. 分析分析：由于本题中的：由于本题中的ABC不是直角三角形，不是直角三角形，所以添加所以添加BC边上的高这条辅助线，就可以求得边上的高这条辅助线，就可以求得BC及及S ABC.第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题3.做高线，构造直角三角形.已知：如图，在ABC中，B=45，C=60，AB=2. .求（1）BC的长；（2）SABC. 答案：答案：过点过点A作作AD BC于于D,ADB= ADC=90.在在ABD中，中，ADB=90，B=45，AB=2，AD=BD=. 在在ABD中，中，ADC=90，C=60，AD=，CD=, BC=，S ABC=第三组练习:会用勾
11、股定理解决较综合的问题思考思考：在不是直角三角形中如何求线段长和面积？ 解一般三角形的问题常常通过作高转化成解一般三角形的问题常常通过作高转化成直角三角形，利用勾股定理解决问题直角三角形，利用勾股定理解决问题.思考：思考：利用勾股定理解决综合题的基本步骤是利用勾股定理解决综合题的基本步骤是什么？什么？1.画图与标图，根据题目要求添加辅助线，画图与标图，根据题目要求添加辅助线，构造直角三角形构造直角三角形.2.将已知量与未知量集中到同一个直角三角将已知量与未知量集中到同一个直角三角形中形中.3.利用勾股定理列出方程利用勾股定理列出方程.4.解方程，求线段长，最后完成解题解方程，求线段长，最后完成
12、解题.美丽的勾股树美丽的勾股树你你可可能能去去过过森森林林公公园园，看看到到过过许许许许多多多多千千姿姿百百态态的的植物植物.可是你是否见过如下的勾股树呢？可是你是否见过如下的勾股树呢？你你知知道道这这是是如如何何画画出出来来的的吗吗？仔仔细细看看看看，你你就就会会发发现现那那一一个个个个细细小小的的部部分分正正是是我我们们学学过过的的勾勾股股图图，一一个个一一个个连连接接在在一一起起，构构成成了了多多么么奇奇妙妙美美丽丽的的勾勾股股树树！动动手画画看，相信你也能画出其他形态的勾股树手画画看，相信你也能画出其他形态的勾股树.专题一：专题一：折叠三角形折叠三角形例例1、如图，一块直角三角形的纸片
13、，两如图，一块直角三角形的纸片，两直角边直角边AC=6，BC=8。现将直角边。现将直角边AC沿直线沿直线AD折叠，使它落在斜边折叠，使它落在斜边AB上，上，且与且与AE重合，求重合，求CD的长的长ACDBE第第8题图题图x6x8-x46练习练习:三角形三角形ABC是等腰三角形是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，将，将AB向向AC方向方向对折，再将对折，再将CD折叠到折叠到CA边上，折痕为边上，折痕为CE，求三角形，求三角形ACE的面积的面积ABCDADCDCAD1E13512512-x5xx8专题二专题二:折叠四边形折叠四边形例例1：折叠矩形折叠矩形ABCD的一边的一边AD,点点D落在落
14、在BC边上的点边上的点F处处,已知已知AB=8CM,BC=10CM,求求1.CF2.EC.ABCDEF810106X8-X48-X折叠长方形纸片，先折出折痕对角线折叠长方形纸片，先折出折痕对角线BD，在绕点，在绕点D折叠，折叠，使点使点A落在落在BD的的E处，折痕处，折痕DG，若，若AB=4，BC=3，求，求AG的长。的长。DAGBCE例例2：4x3434-xx3你还能用其他方法求你还能用其他方法求AG的长吗？的长吗？折叠长方形纸片，先折出折痕对角线折叠长方形纸片，先折出折痕对角线BD，在绕点，在绕点D折叠，折叠，使点使点A落在落在BD的的E处，折痕处，折痕DG，若，若AB=4，BC=3，求，
15、求AG的长。的长。DAGBCE4x3434-xx3你还能用其他方法求你还能用其他方法求AG的长吗？的长吗？长方形长方形ABCDABCD如图折叠，使点如图折叠，使点D D落在落在BCBC边上的点边上的点F F处，处，已知已知AB=8AB=8，BC=10BC=10，求折痕，求折痕AEAE的长。的长。ABCDFE810810106xx8-x4?训练训练1 1:训练训练:2:2、如图、如图, ,把长方形纸片把长方形纸片ABCDABCD折叠折叠, ,使顶点使顶点A A与顶点与顶点C C重合在一起重合在一起,EF,EF为折痕。为折痕。若若AB=9,BC=3,AB=9,BC=3,试求折痕试求折痕EFEF的长
16、。的长。ABCDGFEH93x9-x9-xx2 2+32 2=(9-x)2 2x=49-x=5解：解：554131.几何体的表面路径最短的问题，一般展几何体的表面路径最短的问题，一般展开表面成平面。开表面成平面。2.利用两点之间线段最短，及勾股定理利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。求解。专题四专题四展开思想展开思想例例2如图：正方体的棱长为如图：正方体的棱长为cm，一只，一只蚂蚁欲从正方体底面上的顶点蚂蚁欲从正方体底面上的顶点A沿正方沿正方体的表面到顶点体的表面到顶点C处吃食物，那么它需处吃食物，那么它需要爬行的最短路程的长是多少？要爬行的最短路程的长是多少？ABCDABCD16在长长30
17、cm30cm、宽、宽50 cm50 cm、高、高40 cm40 cm的木的木箱箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？ CDA.B.305040图305040CDA.B.ADCB305040CCDA.B.ACBD图304050304050CCDA.B.图50ADCB4030304050例例1:1:如如图图, ,一一圆圆柱柱高高8cm,8cm,底底面面半半径径2cm,2cm,一一只只蚂蚂蚁蚁从从点点A A爬爬到到点点B B处处吃吃食食, ,要要爬爬行行的的最最短短路路程程( ( 取取3 3）是是( ( ) ) A.20cm B.10cm C.14cm D.A.20
18、cm B.10cm C.14cm D.无法确定无法确定 BB8OA2蛋糕蛋糕ACB周长的一半周长的一半例例3,3,如如图是一个三是一个三级台台阶，它的每一，它的每一级的的长宽和高分和高分别为20dm20dm、3dm3dm、2dm，A和和B是这个台阶两个相对的端点，是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到着台阶面爬到B点最短路程是多少？点最短路程是多少？20203 32 2A AB B32323AB2=AC2+BC2=625, AB=25.例例4:.如如图图，长长方方体体的的长长为为15cm，宽宽为为10c
19、m，高高为为20cm，点点B离离点点C5cm,一一只只蚂蚂蚁蚁如如果果要要沿沿着着长长方方体体的的表表面面从从点点A爬爬到到点点B，需需要要爬爬行行的的最短距离是多少？最短距离是多少？1020BAC1551020B5B51020ACEFE1020ACFAECB2015105如图，将一根如图，将一根25cm25cm长的细木棍放入长，宽长的细木棍放入长，宽高分别为高分别为8cm8cm、6cm6cm、和、和 cmcm的长方体的长方体无盖盒子中，求细木棍露在外面的最短长无盖盒子中，求细木棍露在外面的最短长度是多少？度是多少？ABCDE E862510205小明家住在小明家住在18层的高楼，一天，他与妈
20、妈去买竹竿。层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。买最长买最长的吧！的吧！快点回家，快点回家，好用它凉衣好用它凉衣服。服。糟糕，糟糕，太长了，太长了，放不进放不进去。去。如果电梯的长、宽、高分别是如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、米、1.5米、米、2.2米，那么，米，那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？小明买的竹竿至少是多少米吗？1.5米1.5米2.2米1.5米1.5米xx2.2米ABCX2=1.52+1.52=4.5AB2=2.22+X2=9.34AB3米米关键是找出问题中隐关键是找出问题中隐
21、藏的直角三角形或自藏的直角三角形或自己构造合适的直角三己构造合适的直角三角形，尝试把立体图角形，尝试把立体图形转换为平面图形形转换为平面图形. 机场入口的铭牌上说明，飞机的机场入口的铭牌上说明，飞机的行李架是一个行李架是一个56cm56cm36cm36cm23cm23cm的的长方体空间长方体空间. .一位旅客携带一件一位旅客携带一件长长 的画卷，这件画卷能的画卷，这件画卷能平平放放入行李架吗？入行李架吗？ 5636ABCD65cm65cm365623HACEBDFG补充题：补充题：答案：答案：长长65cm65cm的画卷能的画卷能平平放入行李架放入行李架. .你做对了吗？你做对了吗？HACEBD
22、FG你能不能利用刚才所学的方法，你能不能利用刚才所学的方法，看看最多能把多长的画卷放入行李架？看看最多能把多长的画卷放入行李架？CAB直角三角形有哪些特殊的性质角角边边面积面积直角三角形的直角三角形的两锐角互余两锐角互余。直角三角形直角三角形两直角边两直角边的的平方和平方和等于等于斜边斜边的的平方平方。两种计算面积的方法。两种计算面积的方法。符号语言：符号语言： 在在Rt ABC中中a2 2+b2 2=c2 2abc如何判定一个三角形是直角三角形呢？(1)(2)有一个内角为直角的三角形是直角三角形有一个内角为直角的三角形是直角三角形两个内角互余的三角形是直角三角形两个内角互余的三角形是直角三角
23、形符号语言：符号语言：C=90或或ABC为为Rt ABC a2 2+b2 2=c2 2(3)如果三角形的三边长为如果三角形的三边长为a、b、c满足满足a2 2+b2 2=c2 2，那么这个三角形是直角三角形，那么这个三角形是直角三角形CABabc如果一个三角形如果一个三角形一边上的中线一边上的中线等于这条边这条边的一半的一半，那么这个三角形是，那么这个三角形是直角三角形直角三角形吗？吗？直角三角形判定CABDCAB如何判定一个三角形是直角三角形呢？(1)(2)(4)有一个内角为直角的三角形是直角三角形有一个内角为直角的三角形是直角三角形两个内角互余的三角形是直角三角形两个内角互余的三角形是直角
24、三角形符号语言：符号语言：在在Rt ABC中中a2 2+b2 2=c2 2(3)如果三角形的三边长为如果三角形的三边长为a、b、c满足满足a2 2+b2 2=c2 2，那么这个三角形是直角三角形，那么这个三角形是直角三角形如果一个三角形如果一个三角形一边上的中线一边上的中线等于这条边这条边的一半的一半，那么这个三角形是，那么这个三角形是直角三角形。直角三角形。有四个三角形，分别满足下列条件：有四个三角形，分别满足下列条件：一个内角等于另两个内角之和；一个内角等于另两个内角之和；三个角之比为三个角之比为:;三边长分别为、三边长分别为、三边之比为三边之比为5:12:13其中直角三角形有（其中直角三
25、角形有（）A、1个个B、2个个C、3个个D、4个个C54321观察下列图形，正方形观察下列图形，正方形1的边长为的边长为7，则，则正方形正方形2、3、4、5的的面积之和面积之和为多少？为多少？规律：规律：S2 2+S3 3+S4 4+S5 5= S1 1有一棵树有一棵树(如图中的如图中的CD)的的10m高处高处B有两只猴子有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到，其中一只猴子爬下树走到离树离树20m处的池塘处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶处，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘的后直接跃向池塘的A处处，如果两只猴子所经过的距离相等如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树，试问这棵树多高。多高。DBCA
26、1020x30-x解：设解：设BD=xm由题意可知，由题意可知，BC+CA=BD+DA DA=30-x在在Rt ADC中，中，解得解得x=5 树高树高CD=BC+BD=10+5=15(m)已知已知Rt ABC中中, C=90,若若a+b=14cm,c=10cm，则，则Rt ABC的面积是（的面积是（）A.24cm22B.36cm2 2C.48cm2 2D.60cm2 2CABabca+b=14c=10a2 2+b2 2=102 2=100(a+b)2 2=142 2=1962ab=(a+b)2 2-(a2 2+b2 2)=196-100=96A等腰三角形底边上的高为等腰三角形底边上的高为8，周
27、长为，周长为32，则，则三角形的面积为（三角形的面积为（）A、56B、48C、40D、32ABCD8xx16-xx2 2+82 2=(16-x)2 2x=6BC=2x=12B正方形面积与勾股定理中的正方形面积与勾股定理中的a2 2、b2 2、c2 2的相互转化的相互转化在直线在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正放置的四个的正方形的面积依次是的正方形的面积依次是S1 1、S2 2、S3 3、S4 4，则，则S1 1+S2 2+S3 3+S4 4=。S1 1S2 2S3 3S4 412
28、34如图，如图，B= C= D= E=90，且，且AB=CD=3，BC=4，DE=EF=2，则求，则求AF的长。的长。ABCDEF33422324210为了筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形为了筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色泊纸，如图灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色泊纸，如图已知圆筒高已知圆筒高108cm，其截面周长为，其截面周长为36cm，如果，如果在表面缠绕油纸在表面缠绕油纸4圈，应截剪多长油纸。圈，应截剪多长油纸。2736108ABC45454=180直角三角形两直角边长为直角三角形两直角边长为a、b，斜边上的高为，斜边上的高为h，则下列各式总能成立的是（则下列各式总能成立的是（）A、ab=h22B、a2 2+b2 2=2h2 2C、D、D
