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1、出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页第第6 6章章 共形映射共形映射出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页我们已知道，复变函数w=f(z)在几何上可以看成是z平面上一个点集到w平面上一个点集的映射，自然地，单叶解析函数也是两个平面点集之间的映射，被称之为共形映射.理论上或实际中，往往可通过建立恰当的共性映射，把复杂区域上的问题转化到简单区域上去讨论，这种思想方法在数学本身以及在流体力学、弹性力学、电学和地球物理学等学科中都有着非常重要的应用.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页 6.1共形映射的概念6.1.1导数的几何意义在实分析中，f(x0)表示曲线C=(x,y):y=f(x),x
2、I上过点 处的切线斜率.人们自然会问，在复分析中f(z)表示什么？设函数w=f(z)在区域D内解析，点 D且 0.在D内通过z0任意引一条有向光滑曲线C：出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页函数w=f(z)把z平面上的曲线C变为w平面上过点w0=f(z0)的曲线：因为 故曲线在点w0也有切线，切向量为w(t0)，它与w平面上u（实）轴的夹角为于是 出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页如果把z平面与w平面叠放在一起，使点z0与点w0重合，使两实轴同向平行，则C在点z0的切线与在点w0的切线之间的夹角就是 （图6.1）.换句话说，就是在点w0的切线可由C在点z0的切线转动一个角 后得到.显
3、然 仅与z0有关，而与过z0的曲线C的形状和方向无关，这种性质称为转动角的不变性.而导数辐角 称为映射w=f(z)在z0处的转动角.这也就是导数辐角的几何意义. 图6.1出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页下面讨论区域D内过点z0的两条有向光滑曲线C及C的情形：设C及C在w平面的像曲线分别为及，以及分别记C及C在z0点的切线与x轴正方向的夹角，而用及分别表示及在w0点的切线与u轴正方向的夹角.于是有故 出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页其中是C和C在点z0的夹角（经过z0的两条有向曲线C与C的切线方向所构成的角，称为两曲线在该点的夹角）（反时针方向为正），是和在点w0=f(z0)的夹
4、角（反时针方向为正）式(6.2)表明映射w=f(z)在点z0既保持了夹角的大小，又保持夹角的方向（图6.2）. 这种性质称为映射的保角性. 图6.2出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页其次，我们讨论导数的模|f(z0)|的几何意义.由于|z|和|w|分别是向量z和w的长度，故 这说明像点间的无穷小距离与原像点间的无穷小距离之比的极限是|f(z0)|，这可以看成是曲线C经w=f(z)映射后在z0点的伸缩系数或伸缩率.它仅与z0有关，而与曲线C的形状和方向无关，这个性质称为映射w=f(z)在z0点的伸缩率的不变性.当|f(z0)|1时，从z0点出发的任意无穷小距离经w=f(z)映射后都被伸长了
5、；当 时，从z0点出发的任意无穷小距离经w=f(z)映射后都被压缩了.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页综上所述，我们得出定理6.1.定理6.1设函数w=f(z)在区域D内解析，点z0D且f(z0)0，则映射w=f(z)在z0点具有以下两个性质：保角性：过z0的任意两条曲线间的夹角在映射w=f(z)下，既保持大小，又保持方向.伸缩率不变性由此可见，若w=f(z)在区域D内解析，z0D且f(z0)0，w0=f(z0)，则w=f(z)把某N(z0)内的无穷小曲边三角形映射为某N(w0)内的一个无穷小曲边三角形，由于保持了曲线间的夹角大小和方向，故这两个小三角形近似地“相似”.此外，由于近似地
6、有 则w=f(z)把某N(z0)内的一个半径充分小的圆周|zz0|=近似地映射为w平面上某N(w0)内的圆周|ww0|=|f(z0)|.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页例6.1试求映射f(z)=ln(z1)在点z0=1+2i处的旋转角，并说明映射将z平面的哪一部分放大了，哪一部分缩小了.解 在 处有当|f(z)|1内时图形缩小，当|f(z)|1时，即在区域 内时图形放大. 出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页6.1.2共形映射的概念定义6.1设w=f(z)在N(z0)内是一一对应的，且在z0具有保角性和伸缩率不变性，则称映射w=f(z)在z0点是共形的，或称w=f(z)在z0点是共
7、形映射.如果映射w=f(z)在区域D内的每一点都是共形的，则称w=f(z)是区域D内的共形映射.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页于是结合6.1.1节的讨论，可得到定理6.2.定理6.2如果函数w=f(z)在z0点解析，且f(z0)0，则映射w=f(z)在z0点是共形的；如果函数w=f(z)在D内解析且处处有f(z)0，则映射w=f(z)是D内的共形映射. 定理6.3如果w=f(z)在D内单叶解析，则w=f(z)是D内的共形映射.证若f(z)在区域D内单叶解析，由定理5.13，对 zD有 f(z)0，则由定理6.2知，w=f(z)在区域D内是共形的.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出
8、页由定理6.1及复合函数的求导公式立即可得：定理6.4（保复合性）两个共形映射的复合仍然是一个共形映射.定理6.4说明，如果=g(z)把z平面上的区域D共形映射成平面上的区域E，而w=f()把区域E共形映射成w平面上的区域G，则复合函数w=f g(z)是一个把D映射为G的共形映射.这一事实在求具体的共形映射时将经常用到.解析函数所确定的映射还具有保域性，即下面的定理（证明从略）.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页定理6.5（保域性）设w=f(z)在区域D内解析，且不恒为常数，则D的像G=f(D)也是一个区域.定义6.2具有伸缩率不变性与保角性的共形映射称为第一类共形映射；如果映射w=f(
9、z)具有伸缩率不变性，但只保持夹角的大小不变而方向相反，则称映射为第二类共形映射.例6.2函数f(z)=z2+2z在z平面处处解析，f(z)=2z+2，显然当z1时，f(z)0，因此，映射f(z)=z2+2z在z平面上除z=1外处处是共形的.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页例6.3证明：映射 把圆周|z|=R映为椭圆：证设z=r(cos +i sin )，w=u+iv，由于|z|=R，所以r=R.又因为故 出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页不少实际问题要求将一个指定的区域共形映射成另一个区域予以处理，由定理6.3和定理6.5可知，一个单叶解析函数能够将其单叶性区域共形映射成另一个
10、区域.相反地，在扩充复平面上任意给定两个单连通区域D与G，是否存在一个单叶解析函数，使D共形映射成G？下述的黎曼存在与唯一性定理和边界对应定理（证明从略）肯定地回答了此问题.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页定理6.6（黎曼存在与唯一性定理）如果扩充复平面上的单连通区域D，其边界点不止一点，则存在一个在D内的单叶解析函数w=f(z)，它将D共形映射成单位圆|w|0，(aD)时，f(z)是唯一的.定理6.7（边界对应定理）设w=f(z)在单连通区域D内解析，在D上连续，且把区域D的边界C保持相同绕行方向、一一对应地映射为单连通区域G的边界，则w=f(z)将D共形映射为G.出版社 理工分社复
11、变函数与积分变换退出页应用定理6.7我们可以求已给区域D在映射w=f(z)下的像域G=f(D).首先，将已知区域D的边界C的表达式代入w=f(z)，可得到像曲线；其次，在C上按一定绕向取三点abc，它们的像在上依次为abc，如果区域D位于abc绕向的左侧（或右侧），则由所围成的象区域G应落在abc绕向的左侧（或右侧），如图6.3所示，这样我们就确定了像域G=f(D).通常把这种确定映射区域的方法称为绕向确定法.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页图6.3出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页例6.4试求区域D： 在映射w=z2下的像.解D的边界为 由于arg w=arg z2=2 arg
12、 z，故C的像 如图6.4所示. 此时在w平面上区域G及区域G都以为边界，那么，所求像域是G还是G？为此，应用边界对应定理，在C上依次取z1z2z3，比如， z2=0,z3=1，则它们的像在上依次为： w2=0,w3=1.由于区域D落在z1z2z3绕向的左侧，因而像区域应落在w1w2w3绕向的左侧，故所求像区域为G： 出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页 图6.4出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页由于区域D和G的多样性与复杂性，要直接找出D和G之间的映射是比较困难的，但由定理6.6可先将D共形映射成单位圆，然后再将此单位圆共形映射成G，两者复合起来即可将D共形映射成G.一般而言，是利
13、用共形映射的保复合性，可复合若干基本的共形映射而得到D和G之间的共形映射，其基本方法如下述框图所示.为此，这里介绍分式线性映射及一些初等函数所构成的映射.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页 6.2分式线性映射6.2.1分式线性映射的概念定义6.3由所确定的函数称为分式线性映射.此外，还规定 条件adbc0是必要的.否则，若adbc=0，则w常数.易知分式线性映射式(6.3)的逆映射 也是一个分式线性映射.两个分式线性映射的复合仍是一个分式线性映射.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页分式线性映射式(6.3)是由下述3种简单映射复合而成：事实上，当c=0时，式(6.3)即为 它是由、复
14、合而成；当c0时，式(6.3)可改写为它即为下述形如，的映射的复合.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页下面我们来考察上述3种映射的几何意义.为叙述方便起见，把w平面与z平面的实轴、虚轴分别重合，用同一平面上的点表示w和z.w=z+h.由于复数相加可以化为向量相加，所以w=z+h就是将z沿向量h的方向平行移动|h|个单位（图6.5）.因此把映射w=z+h称为平移.w=kz.设 那么 ，这说明只要将z先旋转一个角度，再将|z|伸缩t倍，所得向量的终点就是w（图6.6）.因此把映射w=kz称为旋转与伸缩. 称作反演变换，它可以看作是由 复合而成.为了从几何上方便的作出像点w，我们先给出关于单位
15、圆周对称点的定义. 出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页 图6.5 图6.6出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页定义6.4 设单位圆周C:|z|=1，如果p与p同时位于以圆心为起点的射线上，且满足：|op|op|=12，则称p与p为关于单位圆周的对称点.规定：无穷远点与圆心O是关于单位圆周的对称点.设p在圆周C内，则过点p作Op的垂线交圆周C于A，再过A作圆周C的切线交射线Op于p，那么p与p即互为对称点（图6.7(a)）.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页设 则 即有argz=argw1，|w1|z|=12，argw=arg w1，|w|=|w1|.表明z与w1是关于单位圆周|
16、z|=1的对称点，w1与w是关于实轴的对称点.这样我们就可以很容易地从z出发作出 来(图6.7（b）).通常我们将 称为关于单位圆周的对称变换，而把w=z称为关于实轴的对称变换. 图6.7出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页6.2.2分式线性映射的性质(1)保角性首先讨论映射 由于 因此映射在z0与z的各处是共形的，从而具有保角性。至于在z=0与z=处映射是否保角就需要先对两曲线在无穷远点处的夹角进行定义.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页定义6.5两曲线在无穷远点处的夹角，就是指它们在反演变换下的像曲线在原点处的夹角.按照这样的定义，由于映射 在=0处解析，且 10，所以映射w=在
17、=0处，即映射 在z=处是共形的.再由 知，映射 在w=处是共形的，即映射 在z=0处也是共形的.所以映射 在 上处处共形.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页下面讨论复合映射w=kz+h（k0），由于 0，所以当z时，映射是共形的，从而具有保角性.为了证明映射在z=（像点w=）处保角，引入两个反演变换： 将映射w=kz+h转化为映射 显然它在=0处解析，且有 因此，映射在=0处是共形的，即映射w=kz+h（k0）在z=处是共形的. 所以映射w=kz+h在 上处处共形.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页由上面的讨论可得到下面的结论.定理6.8分式线性映射式(6.3)在C上处处具有保角
18、性，且为共形映射.(2)保圆性由于映射w=kz+h（k0）是将扩充z平面上的点z经过平移、旋转与伸缩而得到像点w的.因此，扩充z平面上的一个圆周或一条直线经过映射w=kz+h所得的像曲线仍然是一个圆周或一条直线.如果在扩充z平面上，将直线视为经过无穷远点的圆周，这说明映射w=kz+h在扩充z平面上把圆周映射成圆周.此时也称映射w=kz+h具有保圆性.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页下面我们讨论反演变换 的保圆性.设圆周方程的复数形式为在映射 下，圆周式（6.4）的像为与式（6.4）相比，方程式（6.5）当D0时表示一个圆周；当D=0时表示一条直线.从而映射 具有保圆性.所以可得到定理6
19、.9.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页定理6.9分式线性映射式(6.3)将扩充z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周.如果给定的圆周（包括直线）上没有点映射成无穷远点，那么它的像就是半径为有限的圆周；如果有一个点映射成无穷远点，那么它的像就是直线.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页(3)保对称点性类似于定义6.4，可定义z1,z2关于圆周C:|za|=R对称，是指z1,z2都在过圆心a的同一条射线上，且|z1a|z2a|=R2.此外，规定圆心a与点关于圆周C对称.由此可知，z1,z2关于圆周C:|za|=R对称，当且仅当 .出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页下面的定理从几何
20、的角度说明了对称点的重要特性.定理6.10C上两点z1 ,z2 关于圆周C对称的充要条件是：通过z1 ,z2 的任何圆周都与圆周C正交（图6.8(a)）.该定理由平面几何知识及对称点的定义不难证明，故证明从略.定理6.11如果C上两点z1与z2关于圆周C对称，那么在分式线性映射(6.3)下，z1与z2的像w1与w2关于C的像C也对称（图6.8（b）. 出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页证设过w1与w2的任一圆周是过z1与z2的圆周在分式线性映射下的像，由于z1与z2关于圆周C对称，由定理6.10知与C正交，而分式线性映射具有保角性，所以与C也必正交，因此由定理6.10，w1与w2关于C的
21、像曲线C也对称. 图6.8出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页(4)保交比性定义6.6 上有顺序的4个相异点z1 ,z2 ,z3 ,z4 构成下面的量，称为它们的交比，记为(z1,z2,z3,z4)当4点中有一点为时，应将包含此点的项用1代替.例如z1=时，即有亦即可先视z1为有限，再令z1取极限而得.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页定理6.12在分式线性映射式(6.3)下，4点的交比不变.证设 (k=1,2,3,4) ，则因此有出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页在分式线性映射式(6.3)中含有4个复参数a,b,c,d.由于adbc0，可知这些参数中至少有一个不为零，如果我们
22、用它去除分子和分母，就可将分式中的4个参数化为3个参数.所以分式线性映射式(6.3)中实质上只有3个独立的复参数.因此，只需给定3个条件，就能唯一确定一个分式线性映射.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页事实上，假设在z平面上任意给定3个相异的点z1,z2,z3，并指定变为w平面上的点w1,w2,w3，由定理6.12易知：就是将zk(k=1,2,3)依次映射成wk(k=1,2,3)的唯一分式线性映射.即3对对应点唯一确定一个分式线性映射.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页例6.5求把 分别映射为 的分式线性映射.解由公式(6.6)有 由此得 化简得 出版社 理工分社复变函数与积分变换
23、退出页综上所述，分式线性映射式(6.3)有如下重要映射性质：设z0是简单闭曲线C内部任意一点z0，如果点z0的像w0在C的内部，那么C的内部就映射成C的内部；如果z0的像w0在C的外部，那么C的内部就映射成C的外部.通常把这种确定映射区域的方法称为内点确定法.如果C为圆周，C为直线，那么C的内部映射成C的某一侧的半平面.至于是哪一侧，可由绕向确定.当两圆周上没有点映射成无穷远点时，则两圆周的弧所围成的区域映射成两圆弧所围成的区域.当两圆周上有一个点（非交点）映射成无穷远点时，则两圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所围成的区域.当两圆周交点中的一个点映射成无穷远点时，则两圆周的弧所围成的区
24、域映射成角形区域.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页6.2.3分式线性映射的应用在处理边界为圆周、圆弧、直线及直线段的区域的共形映射中，分式线性映射起着极为重要的作用. 例6.6设映射分式线性映射 将圆周z=1映射为直线，那么它的参数应满足什么条件？解首先，分式线性映射应满足adbc0.由于映射把圆周|z|=1映为直线，因此圆周上必有某点被映为，即 ，从而cz+d=0，所以应有 因此参数应满足adbc0且|c|=|d|.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页例6.7若a,b,c,d都是实数，且adbc0，则 将下半平面Im z0共形映射成下半平面Im w0，故z0的像点w0位于下半平面
25、Im w0内.又对下半z平面内的任一点z，都有 因此 确将下半平面lm z0共形映射成下半平面Im w0.注：满足例6.7条件的 也是将上半z平面映射成上半w平面的共形映射.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页例6.8试求将下半平面Im z0映射成下半平面Im w0. 由于w(0)=0，故b=0,a0，用a除分子分母，有 ，其中 都是常数. 又因为w(i)=1i, 所以1i= 即 (nm)(n+m)i=i，从而 nm=0,n+m=1，解之得 n=m= ，故所求映射为出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页例6.9求将上半平面Im z0映射为单位圆|w|0)变为w=0（图6.10）. 图6.
26、10出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页解根据边界对应定理，只要寻求到将区域边界映为另一区域边界的共形映射即可，为此，就应考虑将实轴Im z=0映为单位圆周|w|=1的映射，而这正是从分式线性映射中可以寻求到的.题中要求将点z=a(Im a0)变为w=0.由于关于实轴Im z=0与a对称的点是a，关于单位圆周|w|=1与0对称的点是.根据分式线性映射的保对称点性，点z=a应映为w=.因此所求映射应具有形式： 其中k为待定常数.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页因为z=0的像点 必在单位圆周|w|=1上，故|k|=1.如果令k=ei，则所求分式线性映射为 注： 由于式(6.7)中的实参
27、数并不确定，所以映射不唯一.为使映射唯一，尚需附加条件，或者指出映射在实轴上一点与单位圆周上某点的对应关系，或者指出映射在z=a处的转动角arg w(a).对于映射式(6.7)，易知出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页例6.10求将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线性映射，且使一点z=a（|a|1）映射为w=0（图6.11）. 图6.11出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页解根据分式线性映射保对称点的性质，点z=a（不妨假设a0）关于单位圆周|z|=1的对称点 ，应该映射成w=0关于单位圆周|w|=1的对称点w=，因此，所求映射应具有形式为了确定k1，取z=1，它的像点必在单位
28、圆周|w|=1上，于是， 又|1a|=|1a|，所以|k|=1.故所求分式线性映射为 同样，要确定还需要给出某些附加条件，其与例9中的注释类似.而对于映射式(6.8)，易知arg w(a)=.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页例6.11求将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线性映射，且满足解由式（6.8）式及 有，由此得 ， 所以故所求映射为 出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页例6.12求将圆|z|r映射成圆|w|R的分式线性映射，且满足w(z0)=w0，arg w(z0)=.解这个映射不能直接求得，而需要分几步来完成.作映射 将圆|z|r映为单位圆|w1|1，将点z0映射为
29、 作映射 把单位圆|w1|1映为单位圆|1，并将点 映射为=0；作映射 将圆|w|R映为单位圆|w2|1，将点w0映射为 作映射 把单位圆|w2|1映为单圆|1为整数，由于 在z0,z的任何点处具有不为零的导数，所以映射w=zn在这些点处是共形的.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页令 ，则由式(6.9)得 由此可见，在映射 下，z平面上的圆周|z|=r(r0)、正实轴=0及射线=0分别被映射成w平面上的圆周 、 ,正实轴=0及射线=n0.由解析函数的保域性及边界对应定理可知， 把角形区域D: 映射成角形区域G: （图6.13）. 图6.13出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页特别地，
30、w=zn把角形区域D: 映射成w平面上除去原点及正实轴的区域，它的一边=0映射成正实轴的上岸=0，而另一边 映射成正实轴的下岸=2（图6.14）. 图6.14出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页作为w=zn的逆映射 将w平面上的角形区域G:0argwn 映射成z平面上角形区域D:0argz，其中 是G内的一个单值解析分支，其值完全由区域D确定.从上面的讨论可知，幂函数w=zn及根式函数 把以原点为顶点的角形区域映射成以原点为顶点的角形区域，前者将角形区域的“顶角”扩大，后者将角形区域的“顶角”缩小.因此，如果要在给定的角形区域与角形区域之间建立共形映射，就可以考虑运用幂函数与根式函数.出版
31、社 理工分社复变函数与积分变换退出页例6.13试求一个把角形区域 映射成单位圆|w|1的共形映射.解分式线性映射式(6.7)将上半平面共形映射成单位圆，而幂函数可以把角形区域映射成特殊的角形区域半平面，复合起来就有可能得到所求的映射.幂函数=z4把角形区域 映射成右半平面.旋转映射 把右半平面映射成上半平面.分式线性映射 （此时相当于在式（6.7）中取 把上半平面映射成单位圆|w|1（图6.15）. 将，复合起来即得所求的一个共形映射为出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页 图6.15出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页例6.14求一个把具有割痕Rez=0,0Im zh的上半平面映射成上
32、半平面的共形映射.解用=z2将所给区域映射为一个具有割痕 ,Im =0的平面；用 把平面上的区域映射为平面上去掉了正实轴的区域；w=（取单值分支）把沿正实轴有割痕的角形区域映射成上平面（图6.16）.将上述映射复合即得所求的一个共形映射为 .出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页 图6.16出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页6.3.2指数函数与对数函数由于 在z平面内处处解析，且 因而由指数函数 所确定的映射是一个z平面上的共形映射.如果令则 由此可见， 把z平面上的直线x=x0映射成w平面上的圆周 ；把直线y=y0映射成射线=y0.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页指数函数 的
33、单叶性区域是平行于实轴宽不超过2的带形区域，如D:0Imza（0a2）是单叶的.因此，w=ez把带形区域D:0Imza（0a2）映射成w平面上的角形区域G:0argwa.特别地，它将0Im z2映射成w平面除去原点及正实轴的区域（图6.17）. 出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页 图6.17出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页作为 的逆映射z=In w，则将w平面上的角形区域G:0arg wa（0a2）映射成z平面上的带形区域D:0Im za，其中In w是G内的一个单值解析分支，它的值完全由区域D确定.于是，如果要在给定的带形区域与角形区域之间建立共形映射，就可以考虑运用指数函数和
34、对数函数.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页例6.15求一个把带形区域0Im z2映射成单位圆|w|1的共形映射.解作映射= ，将0Im z2映射成平面上除去原点及正实轴的区域；作映射= ，将区域映射成上半平面；作分式线性映射 将上半平面映射成单位圆|w|1.（图6.18）复合，即得所求映射为出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页 图6.18出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页下面介绍两个有关二角形区域的映射问题.把过a,b两点（两个顶点）的两圆弧（其中一个可以是直线段）围成的区域称为二角形区域.二角形的“内角”自然理解为过二角形顶点处两圆弧切线的夹角（图6.19(a)）.由分式线
35、性映射的结论易知，将二角形区域映射成角形区域的分式线性映射为 出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页它将z=a映为w=0，而将z=b映为w=.由于 0(ab,k0).所以式（6.11）在z=a点是共形的，从而它将内角为的二角形区域映射成以原点为顶角张角为的角形区域（图6.19(b)）. 图6.19出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页特别地，当两圆周内切于点a时，两圆周所围的月牙形区域也是一个二角形区域（两顶点合二为一）.取分式线性映射便可将切点a变成，而把月牙形区域变成一个带形区域（图6.20），如果适当地选取p,q，就可得到标准的带形区域0Imz. 图6.20出版社 理工分社复变函数与
36、积分变换退出页例6.16求将区域|z|0映射成上半平面Im w0的一个共形映射.解区域|z|0是由圆弧与直线段构成的二角形区域，两顶点为1和1，因此，作分式线性映射 它将二角形区域映射成顶点在原点的角形区域，直线段映成负实轴，圆弧映成负虚轴.故二角形的像为平面的第三象限； 用旋转映射 把平面的第三象限映射成平面的第一象限；后用幂函数 将平面的第一象限映射成w平面的上半平面Im w0（图6.21）.复合上述3个映射，即得所求映射为出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页 图6.21出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页例6.17求把区域D:|z|1映射成上半平面的共形映射.解区域D是两圆周|z
37、|=2,|z1|=1相切于z=2的月牙形区域.在式(6.12)中取p=1,q=0，得 它将圆周|z1|=1上的点0,1i,2分别映射为平面上的点0,i,，因此，把圆周|z1|=1映为虚轴，把|z1|1映为右半平面.另外，它将圆周|z|=2上的点2,2i,2分别映射为平面上的点1 ，从而把圆周|z|=2映为直线 ，把|z|2映为左半平面 所以映射 将区域D映为带形区域出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页作旋转映射 将带形区域 变为带形区域作伸缩映射=2，把带形区域 变为带形区域0Im i.指数映射w=e，将带形区域0Im 0.复合上述映射得（图6.22）出版社 理工分社复变函数与积分变换退出
38、页 图6.22出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页6.3.3儒可夫斯基函数函数称为儒可夫斯基函数.这种函数首先被儒可夫斯基用来解决将机翼剖面的绕流问题转化为圆柱面的绕流问题.由于直接按机翼剖面形状计算飞机飞行时所受的阻力、上升力，难度非常大，但如果通过共形映射将其变到圆周外部，则可使问题大为简化.因此，式(6.13)也称为机翼剖面函数.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页显然，在除点z=0和z=外的任何点处儒可夫斯基函数解析.由于因此，在除z=0和z=1外，它是处处共形的.由式(6.13)得 2zw=z2+1，从而 (z+1)2=2z(w+1),(z1)2=2z(w1).所以式(6.1
39、3)变形为出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页我们知道分式线性映射把单位圆周|z|=1上的点1,i,1分别映射成0,i,，因此，它把|z|=1映射成平面的虚轴.由绕向确定法，可见它把z平面上单位圆的外部|z|1映射成平面的右半平面.显然，幂函数把平面的右半平面映射成平面上除去负实轴（包括原点）的区域.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页另一方面，分式线性映射把平面上的点0,1,分别一映射为w平面上的点1,0,1，因此，它把平面上的负实轴（包括原点）映射为w平面上的线段1Rew1,Im w=0.把平面上除去负实轴（包括原点）的区域映射为w平面上除去割痕1Rew1,Im w=0的区域.复合
40、式(6.15)、式(6.16)、式(6.17)即得式(6.14).由此可见，映射式(6.13)把单位圆的外部|z|1共形映射成具有割痕1Rew1,Im w=0的扩充平面（图6.23）. 出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页 图6.23出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页容易验证，式(6.15)、式(6.16)、及式(6.17)把z平面上过z=1两点的圆（圆心在上半虚轴上），映射为平面上的直线及平面上的射线，最后映射成w平面上过w=1的圆弧 （圆心在下半虚轴上）.于是z平面上围绕圆C、且与其相切于1的圆，被映射成w平面上围绕圆弧 、且在B点处有一尖点的闭曲线.曲线的形状就像一机翼剖面的轮
41、廓线（图6.24）.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页 图6.24出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页 习题61求 在z=i处的伸缩率和旋转角，问 将经过点z=i且平行于实轴正向的曲线的切线方向映射成w平面上哪一个方向？并作图.2求映射w=iz下，下列图形映射成什么图形？（1）以z1=i，z2=1，z3=1为顶点的三角形.（2）闭圆域：|z1|1.3证明映射 把圆周|z|=c(0)映射成椭圆： .4证明在映射 下，互相正交的直线簇Rez=c1 与Im z=c2依次映射成互相正交的直线簇 与圆簇5.映射 把上半个圆域：|z|0,映射成什么？出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页6.求
42、下列区域在指定的映射下的像域.7求把上半平面Im z0映射为单位圆|w|1的分式线性映射w=f(z),并满足条件：（1）f(i)=0,f(1)=1（2）f(i)=0,arg f(i)=08求把单位圆映射成单位圆的分式线性映射，并满足条件：9.把点z=1,i,i分别映射成点w=1,0,1的分式线性映射把单位圆|z|0映射成单位圆|w|2映射成的区域.15.求把z平面上的区域 映射成w平面上的区域Imw0,且把点z1=2i，z2=0，z3=1依次映射成w1=0，w2=，w3=1的保形映射.出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页16试将Im z0保形映射成等腰直角三角形，而且使z=0,1,分别于w=0,a,a+ai(a0)相对应.17求把上半z平面映射成w平面中如图6.26所示的阴影部分的保形映射，并使x=0对应于A点，x=1对应于B点。 图6.26出版社 理工分社复变函数与积分变换退出页18试证明函数 将上半平面Im z0映射成为一个边长等于 的正方形内部.19试将Im z0保形映射成具有锐角/6，/3，的直角三角形，而且使z=0，1，分别与w=0,a, ，对应(a0).
