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1、第二章第二章 随机信号概论随机信号概论l随机过程的基本概念及分类随机过程的基本概念及分类l随机过程的统计特性随机过程的统计特性数字特征数字特征 ： 均值函数均值函数 m mx(tx(t) ) 方差函数方差函数 D Dx(tx(t) ) 协方差函数协方差函数 C Cxy(t1, t2) xy(t1, t2) 相关函相关函 数数 R Rxy(t1, t2) xy(t1, t2) 特征函数特征函数 F Fx(ux(u) = E exp) = E exp( ( jux(tjux(t) ) ) ) 9/17/20242-1.随机过程的概念随机过程的概念随机事件随机事件A-A-事件之间的关系，事件的概率事
2、件之间的关系，事件的概率p pA A 及其关系。及其关系。 随随机机变变量量 X X- - f(x), f(x), F(xF(x）,f(x,y), ,f(x,y), f fX X (x), (x), f fY Y (y), (y), 随随机变量函数的概率密度机变量函数的概率密度/ EX, DX, CovX,Y / EX, DX, CovX,Y 随机过程（随机信号）随机过程（随机信号）。&随随机机函函数数-随随非非随随机机（确确定定性性）参参数数变变化化的的随随机机变变量。量。例如，例如，X(u,v). e.g. 时间, 空间等&随随机机过程过程-随时间参数随时间参数t变化的随机变量变化的随机变
3、量。记为，记为，X(t)。1.非随机参数对应的函数值是随机变量非随机参数对应的函数值是随机变量; ; 2. 2. 随机过程是随机函数的特例。随机过程是随机函数的特例。9/17/20241.1.具体的波形不能事先预知具体的波形不能事先预知2.2. 但必为可能波形之一但必为可能波形之一3.3.所有可能波形所有可能波形 x x 1 1 (t), x (t), x 2 2(t),. x (t),. x n n(t(t). ). 的集合构成了随机过程的集合构成了随机过程例：测量接收机的输出噪声电压例：测量接收机的输出噪声电压tv(t)9/17/2024随机过程的两种表达式随机过程的两种表达式 ： 1.x
4、i i(t(t) ) 是随机试验第是随机试验第i i次的实验结果，称为随机过程的样本函数；次的实验结果，称为随机过程的样本函数； 所有所有xi i(t(t) ) 的集合的集合 xj(t(t) ) 构成随机过程构成随机过程, , 记为记为 X(t(t) ) xj(t(t) ) 2.2.在在 titi 时刻的各种可能结果的取值时刻的各种可能结果的取值X(t(ti i) )，称为随机过程，称为随机过程 X(t(t) ) 在在titi 时刻的随机变量。所有随机变量时刻的随机变量。所有随机变量X(t(ti i) ) 集合集合 X(t(ti i) ) 构成随机过程的另一表达式。构成随机过程的另一表达式。
5、即：即：3.3. X(t(t) ) X(t(ti i ) ) 随机变量随机变量X(ti)9/17/2024随机过程的分类随机过程的分类 n按时间和状态分类按时间和状态分类类类别别 状状态态 时间时间 连连续续随随机机过过程程 连连续续 连续连续 离离散散随随机机过过程程 离离散散 连续连续 连连续续随随机机序序列列 连连续续 离散离散 离离散散随随机机序序列列 离离散散 离散离散 经过判别电路经过判别电路,大于门限大于门限电压为电压为“1”,小于门限电小于门限电压为压为“0”9/17/2024n按样本函数形式分类按样本函数形式分类类别类别 过去观测值与未来值的关系过去观测值与未来值的关系 不不
6、确确定定随随机机过过程程 结结果果不不可可预预测测（不不能能描描述述成成t t的的函函数）数） 确定随机过程确定随机过程 可预测可预测（可描述成（可描述成t t的函数）的函数）n按统计特性、分布函数、概率密度函数等分类：按统计特性、分布函数、概率密度函数等分类：平稳随机过程平稳随机过程;高斯过程高斯过程;白噪声白噪声;独立随机过程独立随机过程马可夫链马可夫链泊松过程泊松过程.9/17/2024随机过程的一维分布函数和密度函数随机过程的一维分布函数和密度函数 在在 ti ti 时刻，时刻， X(t(ti i) )是一个随机变量，其分布函数记为：是一个随机变量，其分布函数记为：其密度函数记为：其密
7、度函数记为：在任意在任意 t t1 1，t t2 2 时刻，时刻， X(t(t1 1), ), X(t(t2 2) ) 的联合密度函数表示为：的联合密度函数表示为：在任意在任意 t t1 1,tn ,tn 时刻，时刻， X(t(t1 1), .), .X(tn)(tn) 的联合密度函数表示为：的联合密度函数表示为：孤立时间点的孤立时间点的分布特性分布特性比一维分布信比一维分布信息多息多9/17/2024 (2) (2) 过程过程X(t)X(t)为：为： 式中式中a, a, w w0 0 为为常数，常数， F F (0,2p ) (0,2p )上均匀分布上均匀分布-随相正弦波随相正弦波例例(1)
8、 (1) 抛硬币试验，样本空间是抛硬币试验，样本空间是 S=H,T S=H,T， 现定现定义义 ， 9/17/2024例例3 (2.4 ) 3 (2.4 ) 抛硬币试验，样本空间是抛硬币试验，样本空间是 S=H,T S=H,T， 现定义现定义 假设出现正面和反面的概率相同，试确定假设出现正面和反面的概率相同，试确定X X（t)t)的一维分布函数的一维分布函数F FX X（x x；）；）, , FX（x；1）,以及以及FX（x1,x2;0.5,1）X(t=1/2）01X(t=1)2-19/17/20242.3 2.3 已知随机过程已知随机过程X(t)X(t)为为 w w0 0 是常数是常数,X,
9、X是标准高斯分布是标准高斯分布.,.,求求 X X（t t）的一维概率密度。）的一维概率密度。解解1 1（p233)p233)：解解2 发解解3,雅各比行列式的方法雅各比行列式的方法9/17/2024t1t27654321z1z1z2z2z z3z4z4X(t1)1263X(t2)5421例例3(2.5):3(2.5):一个随机过程由如图所示的四条样本函数组成一个随机过程由如图所示的四条样本函数组成, ,且每条样本函数出现且每条样本函数出现的概率分别为的概率分别为:1/8,1/4,3/8,1/4, :1/8,1/4,3/8,1/4, 求求: :(1)EX(t1),EX(t2)(2)EX(t1)
10、X(t2)及联合概率密度函数及联合概率密度函数解解:X(t1)X(t2)126351/8000401/4002003/8010001/49/17/20242. 2. 随机过程的研究方法随机过程的研究方法n随机过程的特征：随机过程的特征： n随机过程的研究方法：随机过程的研究方法：1.概概率率描描述述法法：利利用用多多维维联联合合概概率率密密度度与与分分布布函函数数的的描描述；述；2.统统计计平平均均描描述述法法：利利用用数数字字特特征征：均均值值 ，方方差差 ，相相关关 函数，高阶矩等描述。函数，高阶矩等描述。 随机性随机性 (不同时刻为不同的随机变量不同时刻为不同的随机变量) 关联性关联性
11、(不同时刻的随机变量之间有波及性不同时刻的随机变量之间有波及性)9/17/2024概率描述法（概率描述法（微观描述微观描述）：n概率描述是从随机过程概率描述是从随机过程X(t)X(t)在某一个时刻在某一个时刻t ti i 的随机变量的随机变量 的概率密度开始描述，逐的概率密度开始描述，逐步延伸到某二个时刻步延伸到某二个时刻t ti i，t tj j的随机变量的随机变量 X(tX(ti i) ) , X(t, X(tj j) ) 的联合概率密度的联合概率密度 , ,直至随机过程直至随机过程X(t)X(t)在在n n个时刻个时刻n n维随机变量的维随机变量的描述。描述。微观描述微观描述-利用多维随
12、机变量的联合概率密度和分利用多维随机变量的联合概率密度和分布函数布函数对随机过程细部特征的一种描述方法。对随机过程细部特征的一种描述方法。9/17/2024显然，随着维数显然，随着维数n n 的增加对随机过程的描述将渐逐地清晰。的增加对随机过程的描述将渐逐地清晰。理论上当理论上当nn，则描述完备。，则描述完备。 然而，随着描述的深入，其复杂度将越来越高。然而，随着描述的深入，其复杂度将越来越高。t2t3titj9/17/2024统计平均描述法：统计平均描述法：统计平均描述法所关心的是统计平均描述法所关心的是: :n随随机机过过程程在在某某时时刻刻或或不不同同时时刻刻的的平平均均特特征征均值均值
13、；n偏离均值的程度偏离均值的程度方差，方差，n不不同同时时刻刻随随机机变变量量之之间间的的相相关关程程度度相相关函数，等数字特征关函数，等数字特征。总总之之，统统计计平平均均描描述述法法是是从从统统计计平平均均的的意意义上研究随机过程的义上研究随机过程的宏观宏观特性。特性。9/17/2024随机过程的数字特征：随机过程的数字特征：v1. 1. 均值均值对于任意时刻对于任意时刻 t t ，随机过程，随机过程 X(tX(t) ) 为为一随机变量。故一随机变量。故, , 物物理理意意义义： 表表示示在在单单位位电电阻阻上上消消耗耗的的直流功率。直流功率。考虑与考虑与.的的均值的不同均值的不同9/17
14、/2024v2. 2. 均方值与方差均方值与方差原点矩：原点矩：方差：方差：n物理意义：物理意义：若若 X(t)为随机信号，则为随机信号，则F：在单位电阻上消耗的瞬时功率的统计平均值在单位电阻上消耗的瞬时功率的统计平均值F ：瞬时交流功率的统计平均值瞬时交流功率的统计平均值 瞬时瞬时平均功率平均功率 = =瞬时瞬时交流平均功率交流平均功率+ +瞬时瞬时直流功率。直流功率。mx(t)9/17/2024mx(t)mx(t)均值均值方差相似，但过程显然差异很大方差相似，但过程显然差异很大9/17/2024v3.自相关函数：自相关函数： 同同一一随随机机过过程程不不同同时时刻刻的的随随机机变变量量之之
15、间间的关联性的关联性。&设随机过程设随机过程X(t)，则定义则定义X(t)的的自相关函数自相关函数: :vt1=t2 t1=t2 时的自相关函数时的自相关函数 是是X(tX(t) )的平均功率的平均功率 , ,即即: :是t1,t2的函数9/17/2024自协方差函数自协方差函数: :t1=t2t1=t2 时的自协方差是时的自协方差是 X(t)X(t)的方差的方差, ,即即: :9/17/2024例例1 1 设设X(t) X(t) 是一个过程是一个过程, ,且且 X(t)=At (-X(t)=At (- t )A A 为为00，1 1 上均匀分布的上均匀分布的., ., 试求：试求：EX(t)
16、, EX(t), 及及R RX X（t t1 1,t,t2 2）解解(1) : P28(1) : P28(定义出发）定义出发）解（解（2 2）： 性质出发性质出发9/17/2024例例2 2 设设X(t) X(t) 是一个过程是一个过程, ,且且确定随机变量确定随机变量Z=X(5),W=X(8)Z=X(5),W=X(8)的均值的均值, ,方差和协方差方差和协方差解解: : 9/17/2024v4.互相关函数：互相关函数：不不同同的的随随机机过过程程不不同同时时刻刻的的随随机机变变量量之之间间的的关联性。关联性。&设随机过程设随机过程X(t)和和Y(t)，则定义，则定义互相关函数：互相关函数：
17、互协方差函数：互协方差函数：可证可证:9/17/2024v5. .统计独立，不相关和正交统计独立，不相关和正交&设设X(t)X(t)，Y(t)Y(t)为为两两个个随随机机过过程程，t1,t2 t1,t2 为为任任意意两两时时刻刻，两两者者之间的相互关系有：之间的相互关系有：u(3)若若 ，则称相互，则称相互正交正交。u(2)若若 ，则则称称随随机机过过程程X(t)X(t)与与Y(t)Y(t)互互不相关不相关。u若若则称则称X(tX(t) )与与Y(tY(t) ) 互相互相 统计独立统计独立；且有且有注注意意：上上述述结结论论同同样样可可以以描描述述两两个个随随机机过过程程在在同同一一时时刻刻的的关关系系；并且也可以描述同一随机过程在同一或不同时刻的关系。并且也可以描述同一随机过程在同一或不同时刻的关系。9/17/2024统计独立，不相关和正交三者间关系统计独立，不相关和正交三者间关系9/17/2024Homework:（ Oct.20)nChapter 2-1,2,6,7,8,9,10,119/17/2024
