投影的形成及常用的投影方法ppt课件

2.1 投影的构成及常用的投影方法投影的构成及常用的投影方法2.2点、线、面的投影点、线、面的投影 2.3 几何元素的相对位置几何元素的相对位置2.4 换面法换面法2.5 体的投影及三视图体的投影及三视图2.6 平面体与回转体的截切平面体与回转体的截切2.7 两立体相交两立体相交前往前往2.2.1 点的投影点的投影2.2.2 直线的投影直线的投影2.2.3 平面的投影平面的投影点线点线面面前往前往2.6.1 平面立体的截切平面立体的截切2.6.2 回转体体的截切回转体体的截切截截切切前往前往2·1 投影的构成及常用的投影方法投影的构成及常用的投影方法投影方法投影方法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法直角投影法〔正投影法〕直角投影法〔正投影法〕斜角投影法斜角投影法画透视图画透视图画斜轴测图画斜轴测图画工程图样画工程图样及正轴测图及正轴测图前往前往下下页页中心投影法中心投影法 投射中心、物体、投影面三者之投射中心、物体、投影面三者之间的的相相对间隔隔对投影的大小有影响投影的大小有影响度量性度量性较差差投影特性投影特性投射线投射线投射中心投射中心物体物体投影面投影面投影投影物体位置改物体位置改动，投影大动，投影大小也改动小也改动前往前往下下页页上上页页平行投影法平行投影法斜角投斜角投影法影法投投 影影 特特 性性投影大小与物体和投影面之投影大小与物体和投影面之间的的间隔无关。

隔无关度量性度量性较好好工程工程图样多数采用正投影法多数采用正投影法绘制投投射射线相相互互平平行行且且垂垂直直于于投投影影面面投投射射线相相互互平平行行且且倾斜斜于于投投影影面面直角〔正〕投影法直角〔正〕投影法前往前往下下页页上上页页 Pb ●●AP采用多面投影采用多面投影 过空空间点点A的投射的投射线与投影面与投影面P的交点即的交点即为点点A在在P面上的投影面上的投影B1●B2●B3● 点在一个投影面上点在一个投影面上的投影不能确定点的空的投影不能确定点的空间位置一、点在一个投影面上的投影一、点在一个投影面上的投影a●2.2.1 2.2.1 点的投影点的投影处理方法？处理方法？前往前往下下页页上上页页HWV二、点的三面投影二、点的三面投影投影面投影面◆◆正面投影面〔正面投影面〔简称正称正 面或面或V面〕面〕◆◆程度投影面〔程度投影面〔简称水称水 平面或平面或H面〕面〕◆◆侧面投影面〔面投影面〔简称称侧 面或面或W面〕面〕投影投影轴oXZOX轴 V面与面与H面的交面的交线OZ轴 V面与面与W面的交面的交线OY轴 H面与面与W面的交面的交线Y三个投三个投影面相影面相互垂直互垂直前往前往下下页页上上页页WHVoX空间点空间点A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影a 点点A的正面投影的正面投影a点点A的程度投影的程度投影a 点点A的侧面投影的侧面投影空间点用大空间点用大写字母表示，写字母表示，点的投影用点的投影用小写字母表小写字母表示。

示a ●a●a●A●ZY前往前往下下页页上上页页WVH●●●●XYZOVHWAaa axaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动投影面展开投影面展开aaZaayayaXYYO ●●az●x前往前往下下页页上上页页●●●●XYZOVHWAaa a点的投影规律点的投影规律:①① aa⊥⊥OX轴轴②② aax= aaz=y=A到到V面的面的间间隔隔aax= aay=z=A到到H面的面的间间隔隔aay= aaz=x=A到到W面的面的间间隔隔xaazay●●YZaza XYayOaaxaya● aa⊥⊥OZ轴前往前往下下页页上上页页●●aaax例：知点的两个投影，求第三投影例：知点的两个投影，求第三投影●a ●●aaaxazaz解法一解法一:经过作作45°线使使aaz=aax解法二解法二:用圆规直用圆规直接量取接量取a az=aaxa ●前往前往下下页页上上页页三、两点的相对位置三、两点的相对位置 两点的相两点的相对位置指两位置指两点在空点在空间的上下、前后、的上下、前后、左右位置关系。

左右位置关系判判别方法：方法：▲ x 坐坐标大的在左大的在左 ▲ y 坐坐标大的在前大的在前▲ z 坐坐标大的在上大的在上baa a b b●●●●●●B点在点在A点之前、点之前、之右、之之右、之下XYHYWZ前往前往下下页页上上页页四、重影点：四、重影点： 空空间两点在某一投两点在某一投影面上的投影重合影面上的投影重合为一一点点时，那么称此两点，那么称此两点为该投影面的重影点投影面的重影点A、、C为为H面的重影点面的重影点●●●●●aa c c被挡住的投被挡住的投影加影加( )( )A、、C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？a c前往前往下下页页上上页页aaa b b b●●●●●●2.2.22.2.2直直线的投影的投影 两点确定一条直两点确定一条直线，将两，将两点的同名投影用直点的同名投影用直线衔接，接，就得到直就得到直线的同名投影的同名投影⒈⒈ 直直线对一个投影面的投影特性一个投影面的投影特性一、直一、直线的投影特性的投影特性AB●●●●ab直直线垂直于投影面垂直于投影面投影重合投影重合为一点一点 积　聚　性　聚　性直直线平行于投影面平行于投影面投影反映投影反映线段段实长 ab=AB直直线倾斜于投影面斜于投影面投影比空投影比空间线段短段短 ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●前往前往下下页页上上页页⒉ ⒉ 直直线在三个投影面中的投影特性在三个投影面中的投影特性投影面平行投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其他两投影面倾斜与其他两投影面倾斜投影面垂直投影面垂直线正平正平线〔平行于Ｖ面〕〔平行于Ｖ面〕侧平平线〔平行于Ｗ面〕〔平行于Ｗ面〕程度程度线〔平行于Ｈ面〔平行于Ｈ面〕〕正垂正垂线〔垂直于Ｖ面〕〔垂直于Ｖ面〕侧垂垂线〔垂直于Ｗ面〕〔垂直于Ｗ面〕铅垂垂线〔垂直于Ｈ面〔垂直于Ｈ面〕〕普通位置直普通位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面前往前往下下页页上上页页b a abab b aa b ba⑴⑴ 投影面平行投影面平行线①① 在其平行的那个投影面上的投影反映在其平行的那个投影面上的投影反映实长，， 并反映直并反映直线与另两投影面与另两投影面倾角的角的实大。

大②② 另两个投影面上的投影平行于相另两个投影面上的投影平行于相应的投影的投影 轴程度程度线侧平平线正平正平线γ投投 影影 特特 性：性：与与H面的面的夹角角:α 与与V面的角面的角:β与与W面的面的夹角角: γ实长实长实长实长实长实长βγααβba aab b 前往前往下下页页上上页页 反映反映线段段实长且垂直于相于相应的投影的投影轴⑵ ⑵ 投影面垂直投影面垂直线铅垂垂线正垂正垂线侧垂垂线②② 另外两个投影，另外两个投影，①① 在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有投影有积聚性投影特性投影特性: :●c (d )cdd c ●a b a(b)a b ●e f efe (f )前往前往下下页页上上页页⑶ ⑶ 普通位置直普通位置直线投影特性：投影特性： 三个投影都三个投影都缩短即即: 都不反映空都不反映空间线段段的的实长及与三个投影面及与三个投影面夹角的角的实大，且与三根大，且与三根投影投影轴都都倾斜abb a b a 前往前往下下页页上上页页二、直线与点的相对位置二、直线与点的相对位置 ◆◆ 假假设点在直点在直线上上, 那么点的投影必在直那么点的投影必在直线的同名投影上。

并将的同名投影上并将线段的同名投影分割成与段的同名投影分割成与空空间一一样的比例即：　的比例即：　 ◆◆假假设点的投影有一个点的投影有一个不在直不在直线的同名投影上，的同名投影上， 那么那么该点必不在此直点必不在此直线上判判别方法：方法：AC/CB=ac/cb= ac / cbABCVHbccbaa定比定理定比定理前往前往下下页页上上页页点点C不不在直线在直线AB上上例例1：判别点：判别点C能否段能否段AB上abcab c①①c②②abcab ●点点C在直在直线线AB上上前往前往下下页页上上页页例例2：判别点：判别点K能否段能否段AB上ab●k 因因k不在不在a b上，上， 故点故点K不在不在AB上运用定比定理运用定比定理abkab k ●●另一判别法另一判别法?前往前往下下页页上上页页三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置空空间两直两直线的相的相对位置分位置分为：：平行、相交、交叉平行、相交、交叉⒈⒈ 两直两直线平行平行投影特性：投影特性： 空空间两直两直线平平行，那么其各同名行，那么其各同名投影必相互平行，投影必相互平行，反之亦然。

反之亦然aVHcbcdABCDb da前往前往下下页页上上页页abcdcab d例例1：判别图中两条直线能否平行判别图中两条直线能否平行 对于普通位置直于普通位置直线，只需有两个同名，只需有两个同名投影相互平行，空投影相互平行，空间两直两直线就平行AB//CD①①前往前往下下页页上上页页bdcacbaddb ac 对于特殊位置直于特殊位置直线，，只需两个同名投影相互只需两个同名投影相互平行，空平行，空间直直线不一定不一定平行求出求出侧面投影后可知：面投影后可知：AB与与CD不平行例例2：判别图中两条直线能否平行判别图中两条直线能否平行②②求出求出侧面投影面投影如何判别？如何判别？前往前往下下页页上上页页HVABCDKabcdkab ckdabcdb acdkk⒉ ⒉ 两直两直线相交相交判判别方法：方法： 假假设空空间两直两直线相交，那么其同名投相交，那么其同名投影必相交，且交点的投影必符合空影必相交，且交点的投影必符合空间一点一点的投影的投影规律。

律交点是交点是两直两直线的共有的共有点点前往前往下下页页上上页页●●cabbacd kkd例：过例：过C点作程度线点作程度线CD与与AB相交先作正面先作正面投影投影前往前往下下页页上上页页dbaabcdc1(2 )3(4 )⒊ ⒊ 两直两直线交叉交叉投影特性：投影特性：★★ 同名投影能同名投影能够相交，相交，但但 “交点〞不符合空交点〞不符合空间一个点的投影一个点的投影规律★★ “交点〞是两直交点〞是两直线上上的一的一 对重影点的投影，重影点的投影，用其可用其可协助判助判别两直两直线的空的空间位置●●Ⅰ、、Ⅱ是Ｖ面的重影点，是Ｖ面的重影点，Ⅲ、、Ⅳ是是H面的重影点面的重影点为什么？什么？12●●3  4●●两直两直线相交相交吗？？前往前往下下页页上上页页⒋ ⒋ 两直两直线垂直相交〔或垂直交叉〕垂直相交〔或垂直交叉〕直角的投影特性：直角的投影特性： 假假设直角有一直角有一边平行于投影面，那么它在平行于投影面，那么它在该投投影面上的投影仍影面上的投影仍为直角设设 直角直角边边BC//H面面因因 BC⊥⊥AB, 同同时时BC⊥⊥Bb所以所以 BC⊥⊥ABba平面平面直线在直线在H面面上的投影相上的投影相互垂直互垂直即即 ∠∠abc为为直角直角因此因此 bc⊥⊥ab故故 bc ⊥⊥ABba平面平面又因又因 BC∥∥bcABCabcHacbabc.证明：明：前往前往下下页页上上页页dabcabc● ●d例：过例：过C点作直线与点作直线与AB垂直相交。

垂直相交AB为正平线为正平线, 正面投影反映直正面投影反映直角前往前往下下页页上上页页 小小 结结  ★★点与直点与直线的投影特性，尤其是特殊位置的投影特性，尤其是特殊位置 直直线的投影特性的投影特性 ★★点与直点与直线及两直及两直线的相的相对位置的判位置的判别方方 法及投影特性法及投影特性 ★★定比定理定比定理 ★★直角定理，即两直直角定理，即两直线垂直垂直时的投影特性的投影特性重点掌握：重点掌握：前往前往下下页页上上页页一、点的投影规律一、点的投影规律aaZayayaXYYO ●●●xaza①① aa⊥⊥OX轴轴②② aax= aaz=y=A到到V面的面的间间隔隔aax= aay=z=A到到H面的面的间间隔隔aay= aaz=x=A到到W面的面的间间隔隔 aa⊥⊥OZ轴前往前往下下页页上上页页二、各种位置直线的投影特性二、各种位置直线的投影特性⒈⒈ 普通位置直普通位置直线三个投影与各投影三个投影与各投影轴都都倾斜⒉⒉ 投影面平行投影面平行线 在其平行的投影面上的投影反映在其平行的投影面上的投影反映线段段实长及与相及与相应投影面的投影面的夹角。

另两个投影平行于相角另两个投影平行于相应的投影的投影轴⒊⒊ 投影面垂直投影面垂直线 在其垂直的投影面上的投影在其垂直的投影面上的投影积聚聚为一点另两个投影反映另两个投影反映实长且垂直于相且垂直于相应的投影的投影轴前往前往下下页页上上页页三、直线上的点三、直线上的点⒈⒈ 点的投影在直点的投影在直线的同名投影上的同名投影上⒉⒉ 点分点分线段成定比，点的投影必分段成定比，点的投影必分线段的投影段的投影 成定比成定比——定比定理定比定理四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置⒈⒈ 平行平行⒉⒉ 相交相交⒊⒊ 交叉〔异面〕交叉〔异面〕 同名投影相互平行同名投影相互平行 同名投影相交，交点是两直同名投影相交，交点是两直线的共有点，的共有点，且符合空且符合空间一个点的投影一个点的投影规律 同名投影能同名投影能够相交，但相交，但“交点〞不符合空交点〞不符合空间一个点的投影一个点的投影规律交点〞是两直交点〞是两直线上一上一对重影点的投影重影点的投影前往前往下下页页上上页页五、相互垂直的两直线的投影特性五、相互垂直的两直线的投影特性⒈⒈ 两直两直线同同时平行于某一投影面平行于某一投影面时，在，在该 投影面上的投影反映直角。

投影面上的投影反映直角⒉⒉ 两直两直线中有一条平行于某一投影面中有一条平行于某一投影面时，， 在在该投影面上的投影反映直角投影面上的投影反映直角⒊⒊ 两直两直线均均为普通位置直普通位置直线时，， 在三个投影面上的投影都不在三个投影面上的投影都不 反映直角反映直角直角定理直角定理前往前往下下页页上上页页2.2.3 2.2.3 平面的投影平面的投影一、平面的表示法一、平面的表示法●●●●●●abca b c 不在同不不在同不断断线上的上的三个点三个点●●●●●●abca b c 直直线及及线外一外一点点abca b c ●●●●●●d●d ●两平行直两平行直线abca b c ●●●●●●两相交两相交直直线●●●●●●abca b c 平面平面图形形前往前往下下页页上上页页二、平面的投影特性二、平面的投影特性平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性★★ 平面平行投影面平面平行投影面-----投影就把投影就把实形形现★★ 平面垂直投影面平面垂直投影面-----投影投影积聚成直聚成直线　　★★ 平面平面倾斜投影面斜投影面-----投影投影类似原平面似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性⒈⒈ 平面平面对一个投影面的投影特性一个投影面的投影特性前往前往下下页页上上页页⒉ ⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面平面对于三投影面的位置可分于三投影面的位置可分为三三类：：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面普通位置平面普通位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都与三个投影面都倾斜斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 程度面程度面前往前往下下页页上上页页abca c b c b a ⒈ ⒈ 投影面垂直面投影面垂直面类似性似性类似性似性积聚性积聚性铅垂面铅垂面投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影在它垂直的投影面上的投影积聚成直聚成直线。

该直直线与投影与投影轴的的夹角反映空角反映空间平面平面与另外两投影面与另外两投影面夹角的大小角的大小 另外两个投影面上的投影有另外两个投影面上的投影有类似性为什么？什么？γβ是什么位置是什么位置的平面？的平面？前往前往下下页页上上页页a b c  a b c abc⒉ ⒉ 投影面平行面投影面平行面积聚性聚性积聚性聚性实形性实形性程度面程度面投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映在它所平行的投影面上的投影反映实形 另两个投影面上的投影分另两个投影面上的投影分别积聚成与相聚成与相应的投影的投影轴平行的直平行的直线前往前往下下页页上上页页a b c a c b abc⒊ ⒊ 普通位置平面普通位置平面三个投影都三个投影都类似投影特性：投影特性：前往前往下下页页上上页页三、平面上的直线和点三、平面上的直线和点判别直线在平面判别直线在平面内的方法内的方法 定定 理理 一一假设不断线过平假设不断线过平面上的两点，那面上的两点，那么此直线必在该么此直线必在该平面内定定 理理 二二假设不断线过平面上假设不断线过平面上的一点，且平行于该的一点，且平行于该平面上的另不断线，平面上的另不断线，那么此直线在该平面那么此直线在该平面内。

内⒈⒈ 平面上取恣意直平面上取恣意直线前往前往下下页页上上页页abcb c a abcb c a dmnnmd例例1：知平面由直线：知平面由直线AB、、AC所确定，试所确定，试 在平面内任作一条直线在平面内任作一条直线解法一解法一解法二解法二根据定理二根据定理二根据定理一根据定理一有多少解？有多少解？有无数解有无数解前往前往下下页页上上页页例例2：在平面：在平面ABC内作一条程度线，使其到内作一条程度线，使其到 H面的距面的距 离为离为10mmnmnm10c a b cab 独一解！独一解！有多少解？有多少解？前往前往下下页页上上页页⒉⒉ 平面上取点平面上取点 先找出先找出过此点而又在平面内的一条直此点而又在平面内的一条直线作作为辅助助线，然后再在，然后再在该直直线上确定点的位置上确定点的位置例例1：知：知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的程度投影点的程度投影b①①acc a k b ●k● 面上取点的方法：面上取点的方法：首先面上取线首先面上取线②②●abca b k c d k●d利用平面的利用平面的积聚性求解聚性求解经过在面内作在面内作辅助助线求解求解前往前往下下页页上上页页bckada d b c ada d b c kbc例例2：知：知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCD的程度投影。

的程度投影解法一解法一解法二解法二前往前往下下页页上上页页2.3 几何元素的相对位置几何元素的相对位置相相对位置包括平行、相交和垂直位置包括平行、相交和垂直一、平行一、平行问题 直直线与平面平行与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行包包括括⒈⒈ 直直线与平面平行与平面平行定理：定理： 假设不断线平行于平面上的某不假设不断线平行于平面上的某不断线，那么该直线与此平面必相互平断线，那么该直线与此平面必相互平行前往前往下下页页上上页页n ●●a c b m abcmn例例1：过：过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC有无有无数解数解有多少解？有多少解？前往前往下下页页上上页页正平正平线线例例2：过：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面 ABCc ●●b a m abcmn独一独一解解n 前往前往下下页页上上页页⒉⒉ 两平面平行两平面平行①① 假假设一平面上的两一平面上的两相交直相交直线对应平行于平行于另一平面上的两相交另一平面上的两相交直直线，那么，那么这两平面两平面相互平行。

相互平行②② 假假设两投影面垂直两投影面垂直面相互平行，那么它面相互平行，那么它们具有具有积聚性的那聚性的那组投影必相互平行投影必相互平行f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef前往前往下下页页上上页页二、相交问题二、相交问题直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交⒈⒈ 直直线与平面相交与平面相交 直直线与平面相交，其交点是直与平面相交，其交点是直线与平与平面的共有点面的共有点要要讨论的的问题：：● 求直求直线与平面的交点与平面的交点 ● 判判别两者之两者之间的相互遮的相互遮挡关系，即判关系，即判别可可 见性 我我们只只讨论直直线与平面中至少有一个与平面中至少有一个处于特殊位置的情况于特殊位置的情况前往前往下下页页上上页页abcmnc n b a m ⑴⑴ 平面平面为特殊位置特殊位置例：求直线例：求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性并判别可见性空空间及投影分析及投影分析 平面平面ABC是一是一铅垂面，垂面，其程度投影其程度投影积聚成一条直聚成一条直线，，该直直线与与mn的交点即的交点即为K点的程度投影。

点的程度投影①① 求交点求交点②② 判判别可可见性性由程度投影可知，由程度投影可知，KN段在平面前，故正面投段在平面前，故正面投影上影上kn为可可见还可可经过重影点判重影点判别可可见性k ●1(2)作作 图k●●2●1●前往前往下下页页上上页页km(n)b●m n c b a ac⑵⑵ 直直线为特殊位置特殊位置空空间及投影分析及投影分析 直直线MN为铅垂垂线，其，其程度投影程度投影积聚成一个点，聚成一个点，故交点故交点K的程度投影也的程度投影也积聚聚在在该点上①① 求交点求交点②② 判判别可可见性性 点点Ⅰ位于平面上，在位于平面上，在前；点前；点Ⅱ位于位于MN上，在上，在后故k 2为不可不可见1(2)k ●2●1●●作作图用面上取点法用面上取点法前往前往下下页页上上页页⒉⒉ 两平面相交两平面相交 两平面相交其交两平面相交其交线为直直线，交，交线是两平是两平面的共有面的共有线，同，同时交交线上的点都是两平面的上的点都是两平面的共有点要要讨论的的问题：：①① 求两平面的交求两平面的交线方法：方法： ⑴⑴ 确定两平面的两个共有点。

确定两平面的两个共有点⑵⑵ 确定一个共有点及交确定一个共有点及交线的方向 只只讨论两平面中至少有一个两平面中至少有一个处于特于特殊位置的情况殊位置的情况②② 判判别两平面之两平面之间的相互遮的相互遮挡关系，即：关系，即： 判判别可可见性前往前往下下页页上上页页可可经过正面投影正面投影直直观地地进展判展判别abcdefc f d b e a m(n)空空间及投影分析及投影分析 平面平面ABC与与DEF都都为正垂面，它正垂面，它们的正面投的正面投影都影都积聚成直聚成直线交线必必为一条正垂一条正垂线，只需求得，只需求得交交线上的一个点便可作出上的一个点便可作出交交线的投影①① 求交求交线②② 判判别可可见性性作作 图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交在交线左左侧，平面，平面ABC在上，其程度投影可在上，其程度投影可见n●m●●能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？能能!如何判如何判别？？例：求两平面的交线例：求两平面的交线MN并判别可见性并判别可见性⑴⑴前往前往下下页页上上页页b c f h a e abcefh1(2)空空间及投影分析及投影分析 平面平面EFH是一程度面，它的是一程度面，它的正面投影有正面投影有积积聚性。

聚性ab与与ef的交点的交点m 、、 b c与与f h的交点的交点n即即为为两个共有两个共有点的正面投影，故点的正面投影，故mn即即MN的正面投影的正面投影①① 求交求交线②② 判判别可可见性性点点Ⅰ在在FH上，点上，点Ⅱ在在BC上，上，点点Ⅰ在上，点在上，点Ⅱ在下，故在下，故fh可可见，，n2不可不可见作作 图m●●n ●2 ●n●m ●1 ●⑵⑵前往前往下下页页上上页页c d e f a b abcdef⑶⑶投影分析投影分析 N点的程度投影点的程度投影n位于位于Δdef的外面，的外面，阐明点明点N位于位于ΔDEF所确所确定的平面内，但不位定的平面内，但不位于于ΔDEF这个个图形内 所以所以ΔABC和和ΔDEF的交的交线应为MKn●n ●m ●k●m●k ●互互交交前往前往下下页页上上页页 小小 结结重点掌握：重点掌握：二、如何在平面上确定直二、如何在平面上确定直线和点三、两平面平行的条件一定是分三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面位于两平面 内的两内的两组相交直相交直线对应平行。

平行四、直四、直线与平面的交点及平面与平面的交与平面的交点及平面与平面的交线是是 两者的共有点或共有两者的共有点或共有线解解题思思绪：：★★空空间及投影分析及投影分析 目的是找出交点或交目的是找出交点或交线的知投影的知投影★★判判别可可见性性 尤其是如何利用重影点判尤其是如何利用重影点判别一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的 投影特性投影特性前往前往下下页页上上页页要要 点点一、各种位置平面的投影特性一、各种位置平面的投影特性⒈⒈ 普通位置平面普通位置平面⒉⒉ 投影面垂直面投影面垂直面⒊⒊ 投影面平行面投影面平行面三个投影三个投影为边数相等的数相等的类似多似多边形形——类似性在其垂直的投影面上的投影在其垂直的投影面上的投影积聚成直聚成直线 ——积聚性另外两个投影另外两个投影类似 在其平行的投影面上的投影反映在其平行的投影面上的投影反映实形形 ——实形性。

形性 另外两个投影另外两个投影积聚聚为直直线 前往前往下下页页上上页页二、平面上的点与直线二、平面上的点与直线⒈⒈ 平面上的点平面上的点一定位于平面内的某条直线上一定位于平面内的某条直线上⒉⒉ 平面上的直平面上的直线⑴⑴ 过平面上的两个点平面上的两个点 ⑵⑵ 过平面上的一点并平行于平面上的一点并平行于该平面上的某条直平面上的某条直线三、平行三、平行问题⒈⒈ 直直线与平面平行与平面平行 直直线平行于平面内的一条直平行于平面内的一条直线⒉⒉ 两平面平行两平面平行 必需是一个平面上的一必需是一个平面上的一对相交直相交直线对应平行平行 于另一个平面上的一于另一个平面上的一对相交直相交直线前往前往下下页页上上页页四、相交问题四、相交问题⒈⒈ 求直求直线与平面的交点的方法与平面的交点的方法⑴⑴ 普通位置直普通位置直线与特殊位置平面求交点，利用与特殊位置平面求交点，利用 交点的共有性和平面的交点的共有性和平面的积聚性直接求解聚性直接求解⑵⑵ 投影面垂直投影面垂直线与普通位置平面求交点，利用与普通位置平面求交点，利用 交点的共有性和直交点的共有性和直线的的积聚性，采取平面上聚性，采取平面上 取点的方法求解。

取点的方法求解⒉⒉ 求两平面的交求两平面的交线的方法的方法⑴⑴ 两特殊位置平面相交，分析交两特殊位置平面相交，分析交线的空的空间位置，位置， 有有时可找出两平面的一个共有点，根据交可找出两平面的一个共有点，根据交线 的投影特性画出交的投影特性画出交线的投影⑵⑵ 普通位置平面与特殊位置平面相交，可利用普通位置平面与特殊位置平面相交，可利用 特殊位置平面的特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共聚性找出两平面的两个共 有点，求出交有点，求出交线前往前往下下页页上上页页2.4 2.4 换面法面法一、一、问题的提出的提出★★ 如何求普通位置直如何求普通位置直线的的实长？？★★ 如何求普通位置平面的真如何求普通位置平面的真实大小？大小？ 换换 面面 法：法： 物体本身在空间的位置不动，而用某物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面〔辅助投影面〕替代原有投影一新投影面〔辅助投影面〕替代原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需面，使物体相对新的投影面处于解题所需求的有利位置，然后将物体向新投影面进求的有利位置，然后将物体向新投影面进展投射。

展投射处理方法：改理方法：改换投影面前往前往下下页页上上页页VHAB a  b ab二、新投影面的选择原那么二、新投影面的选择原那么1. 新投影面必需新投影面必需对空空间物体物体处于最有利的解于最有利的解 题位置  平行于新的投影面平行于新的投影面  垂直于新的投影面垂直于新的投影面2. 新投影面必需垂直于某一保管的原投影面，新投影面必需垂直于某一保管的原投影面， 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系以构成一个相互垂直的两投影面的新体系Pa'1b'1前往前往下下页页上上页页VHA a a   axX⒈⒈ 改改换一次投影面一次投影面  旧投影体系旧投影体系 X —VH  新投影体系新投影体系P1HX1 —A点的两个投影：点的两个投影：a，， aA点的两个投影：点的两个投影：a，，a'1⑴ ⑴ 新投影体系的建立新投影体系的建立三、点的投影变换规律三、点的投影变换规律X1P1a'1ax1    VHXP1HX1 a aa'1axax1.前往前往下下页页上上页页ax1   VHXP1HX1 a aa'1VHA a   axXX1P1a'1ax1 ⑵ ⑵ 新旧投影之新旧投影之间的关系的关系  aa'1  X1 a'1ax1 = aax 点的新投影到新投影点的新投影到新投影轴的的间隔等于被替代的投影隔等于被替代的投影 到原投影到原投影轴的的间隔。

隔axa 普通普通规律：律： 点的新投影和与它有关的原投影的点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直，必垂直 于新投影于新投影轴前往前往下下页页上上页页  XVHaa ax改改换H面面⑶ ⑶ 求新投影的作求新投影的作图方法方法  VHXP1HX1 由点的不由点的不变投影向新投影投影向新投影轴作垂作垂线，，并在垂并在垂线上量取一段上量取一段间隔，使隔，使这段段间隔等隔等于被替代的投影到原投影于被替代的投影到原投影轴的的间隔aa X1P1V a1axax1ax1改改换V面面●a'1作作图规律：律：..前往前往下下页页上上页页⒉⒉ 改改换两次投影面两次投影面先把先把V面换成平面面换成平面P1，， P1 H，得到中间新投影体系，得到中间新投影体系:P1HX1 —再把再把H面换成平面面换成平面P2，， P2  P1，得到新投影体系，得到新投影体系: X2 —P1 P2⑴⑴ 新投影体系的建立新投影体系的建立按次序改按次序改换AaVH a axXX1P1a'1ax1P2X2ax2a2   前往前往下下页页上上页页ax2 a aXVH⑵⑵ 求新投影的作求新投影的作图方法方法a2X1HP1X2P1P2 作作图规图规律律 a2a'1  X2 轴轴 a2ax2 = aax1a'1 axax1  ..前往前往下下页页上上页页VHAB a  b ab四、换面法的四个根本问题四、换面法的四个根本问题1. 把普通位置直把普通位置直线变换成投影面平行成投影面平行线用用P1面替代面替代V面，在面，在P1/H投影体系中，投影体系中，AB//P1。

X1HP1P1a'1b'1空空间分析：分析： 换换H面行吗？面行吗？不行！不行！作作图：：例：求直线例：求直线AB的实长及与的实长及与H面的夹角面的夹角 a  b abXVH新投影新投影轴的位置？的位置？a'1●b'1●与与ab平行 .前往前往下下页页上上页页a'1●b'1●VH a aXB b bA2. 把普通位置直线变换成投影面垂直线把普通位置直线变换成投影面垂直线空空间分析：分析：a  b abXVHX1H1P1P1 P2X2作作图：：X1P1a'1b'1X2P2二次二次换面把投影面平行面把投影面平行线变成投影面垂直成投影面垂直线X2轴的位置？的位置？a2 b2ax2a2 b2 .与与a'1b'1垂直垂直一次一次换面把直面把直线变成投影面平行成投影面平行线；；前往前往下下页页上上页页 普通位置直普通位置直线变换成投影面垂直成投影面垂直线，需，需经几次几次变换？？ a  b  c abcdVHABCDX d 3. 把普通位置平面变换成投影面垂直面把普通位置平面变换成投影面垂直面 假假设把平面内的一条直把平面内的一条直线变换成新投影面的垂成新投影面的垂直直线，那么，那么该平面那么平面那么变换成新投影面的垂直面。

成新投影面的垂直面 P1X1c'1b'1 a'1 d'1空空间分析：分析： 在平面内取一条在平面内取一条投影面平行投影面平行线，，经一一次次换面后面后变换成新投成新投影面的垂直影面的垂直线，那么，那么该平面平面变成新投影面成新投影面的垂直面的垂直面作作图方法：方法：两平面垂直需满足什么条件？两平面垂直需满足什么条件？能否只能否只进展一次展一次变换？？ 思索：思索：假假设变换H面，需在面面，需在面内取什么位置直内取什么位置直线？？正平正平线！！前往前往下下页页上上页页α a  b  c acbXVH例：把三角形例：把三角形ABC变换成投影面垂直面变换成投影面垂直面HP1X1作作 图 过 程：程：★★ 在平面内取一条程度在平面内取一条程度 线AD　d d★★ 将将AD变换成新投影成新投影 面的垂直面的垂直线d'1●a'1 d'1●c'1● 反映平面反映平面对哪哪个投影面的个投影面的夹角？角？.前往前往下下页页上上页页a'1 b'1●需经几次变换？需经几次变换？一次一次换面面, 把普通位置平面把普通位置平面变换成新投影面的垂直面；成新投影面的垂直面；二次二次换面，再面，再变换成新投影面的平行面。

成新投影面的平行面X2P1P24. 把普通位置平面变换成投影面平行面把普通位置平面变换成投影面平行面ab a  c  b XVHc作作 图：：AB是是程度程度线线空空间分析：分析：a2●c2●b2●c'1●X2轴轴的位置？的位置？平面的实形平面的实形.X1HP1.与其平行与其平行前往前往下下页页上上页页b'1 间隔间隔dd'1X1HP1X2P1P2c2  d 例例1：求点：求点C到直线到直线AB的间隔，并求垂足的间隔，并求垂足Dc c  b  a abXVH  五、换面法的运用五、换面法的运用 如以下如以下图：当直：当直线AB垂直于投影面垂直于投影面时，，CD平行于投影面，其投影反平行于投影面，其投影反映映实长APBDCca b d作作图: 求求C点到直点到直线AB的的间隔，隔，就是求垂就是求垂线CD的的实长空空间及投影分析：及投影分析：c'1 a'1 a2 b2 d2 过c'1作作线平行于平行于x2轴如何确定如何确定d1点的位置点的位置？？前往前往下下页页上上页页baabcd●c例例2：知两交叉直线：知两交叉直线AB和和CD的公垂线的长度的公垂线的长度 为为MN，， 且且AB为程度线，求为程度线，求CD及及MN的投影。

的投影MN●m●d●a'1≡b'1≡m'1●n'1●c'1●d'1●n空空间及投影分析：及投影分析：VHXHP1X1圆半径圆半径=MN●n●m 当直当直线线AB垂直于投影垂直于投影面面时时，，MN平行于投影面，平行于投影面，这时这时它的投影它的投影m1n1=MN,且且m1n1⊥⊥c1d1P1ACDNMc1d1a1m1b1n1B作作图：：请留意各点的投留意各点的投影如何前往？影如何前往？求求m点是点是难点前往前往下下页页上上页页空空间及投影分析：及投影分析：AB与与CD都平行于投影面都平行于投影面时，其，其投影的投影的夹角才反映角才反映实大〔大〔60°〕，因此需将〕，因此需将AB与与C点所确定的平面点所确定的平面变换成投影面平行面成投影面平行面例例3: 过C点作直点作直线CD与与AB相交成相交成60º角 d X1HP1X1P1P2ab a  c  b XVHc作作 图：：c2●●●c'1●a'1 b'1●a2●d2●d●b2● 几个解？几个解？两个解！两个解！ 知点知点C是等是等边三角形的三角形的顶点，另两个点，另两个顶点在直点在直线AB上，求上，求等等边三角形的投影。

三角形的投影思索：思索：如何解？如何解？解法一解法一样！！60°D点的投影点的投影如何前往？如何前往？..前往前往下下页页上上页页P2P1X2HP1X1c d b a dacb●d'1●c'1●a'1●d2●b'1c2●●a2≡ b2θVHXθ例例4：求平面：求平面ABC和和ABD的两面角的两面角空空间及投影分析：及投影分析： 由几何定理知：两面角由几何定理知：两面角为两平面同两平面同时与第三平面垂直相交与第三平面垂直相交时所得两交所得两交线之之间的的夹角 在投影在投影图中中, 两平面的交两平面的交线垂直于投影面垂直于投影面时，那么两平，那么两平面垂直于面垂直于该投影面，它投影面，它们的投影的投影积聚成直聚成直线，直，直线间的的夹角角为所求前往前往下下页页上上页页 小小 结结  本章主要引本章主要引见了投影了投影变换的一种常用方法的一种常用方法 ——换面法一、一、 换面法就是改面法就是改动投影面的位置，使它与所投影面的位置，使它与所给物物 体或其几何元素体或其几何元素处于解于解题所需的特殊位置。

所需的特殊位置二、二、 换面法的关面法的关键是要留意新投影面的是要留意新投影面的选择条件，条件， 即必需使新投影面与某一原投面即必需使新投影面与某一原投面坚持垂直关系，持垂直关系， 同同时又有利于解又有利于解题需求，需求，这样才干使正投影才干使正投影规 律律继续有效三、点的三、点的变换规律是律是换面法的作面法的作图根底，四个根本根底，四个根本 问题是解是解题的根本作的根本作图方法，必需熟方法，必需熟练掌握前往前往下下页页上上页页换面法的四个根本问题：换面法的四个根本问题： 2. 把普通位置直把普通位置直线变成投影面垂直成投影面垂直线1. 把普通位置直把普通位置直线变成投影面平行成投影面平行线3. 把普通位置平面把普通位置平面变成投影面垂直面成投影面垂直面4. 把普通位置平面把普通位置平面变成投影面平行面成投影面平行面变换一次投影面一次投影面变换一次投影面一次投影面变换两次投影面两次投影面变换两次投影面两次投影面需先在面内作一条投影面平行需先在面内作一条投影面平行线前往前往下下页页上上页页四、解题时普通要留意下面几个问题：四、解题时普通要留意下面几个问题：⒈⒈ 分析已分析已给条件的空条件的空间情况，弄清原始条件中情况，弄清原始条件中 物体与原投影面的相物体与原投影面的相对位置，并把位置，并把这些条件些条件 笼统成几何元素〔点、成几何元素〔点、线、面等〕。

面等〕⒉⒉ 根据要求得到的根据要求得到的结果，确定出有关几何元果，确定出有关几何元 素素对新投影面新投影面应处于什么于什么样的特殊位置〔垂的特殊位置〔垂 直或平行〕，据此直或平行〕，据此选择正确的解正确的解题思思绪与方与方 法⒊⒊ 在在详细作作图过程中，要留意新投影与原投影程中，要留意新投影与原投影 在在变换前后的关系，前后的关系， 既要在新投影体系中正既要在新投影体系中正 确无确无误地求得地求得结果，又能将果，又能将结果前往到原投果前往到原投 影体系中去影体系中去前往前往下下页页上上页页VWH2.5.1 2.5.1 体的投影及三视图体的投影及三视图一、体的投影一、体的投影 体的投影，本体的投影，本质上是构成上是构成该体的一体的一切外表的投影切外表的投影总和前往前往下下页页上上页页二、三面投影与三视图二、三面投影与三视图1.1.视图的概念的概念主主视图(front view) 体的正面投体的正面投影影俯俯视图(vertical view) 体的程度体的程度投影投影左左视图(left view) 体的体的侧面投影面投影2.2.三三视图之之间的度量的度量对应关系关系三等关系三等关系主视俯视长相等且对正主视俯视长相等且对正主主视左左视高相等且平高相等且平齐俯俯视左左视宽相等且相等且对应长长高高宽宽宽宽长对正长对正宽相等宽相等高平齐高平齐 视图就是将物体向投就是将物体向投影面投射所得的影面投射所得的图形。

形前往前往下下页页上上页页3.3.三视图之间的方位对应关系三视图之间的方位对应关系  主主视图反映：上、下反映：上、下 、左、右、左、右  俯俯视图反映：前、后反映：前、后 、左、右、左、右  左左视图反映：上、下反映：上、下 、前、后、前、后上上下下左左右右后后前前上上下下前前后后左左右右前往前往下下页页上上页页2.5.22.5.2根本体的构成及其三视图根本体的构成及其三视图 常常见的根本几何体的根本几何体平面根本体平面根本体曲面根本体曲面根本体前往前往下下页页上上页页点的可点的可见性性规定：定： 假假设点所在的平面的投点所在的平面的投影可影可见，点的投影也可，点的投影也可见；；假假设平面的投影平面的投影积聚成直聚成直线，，点的投影也可点的投影也可见 由于棱柱的外表都是平由于棱柱的外表都是平面，所以在棱柱的外表上取面，所以在棱柱的外表上取点与在平面上取点的方法一点与在平面上取点的方法一样一、平面根本体一、平面根本体1.1.棱柱棱柱⑵⑵ 棱柱的三棱柱的三视图⑶⑶ 棱柱面上取点棱柱面上取点  a  a  a   (b ) b⑴⑴ 棱柱的棱柱的组成成  b  由两个底面和几个由两个底面和几个侧棱面棱面组成。

成侧棱面与棱面与侧棱面的交棱面的交线叫叫侧棱棱线，，侧棱棱线相互平行相互平行 在在图示位置示位置时，六棱柱的两，六棱柱的两底面底面为程度面，在俯程度面，在俯视图中反映中反映实形前后两形前后两侧棱面是正平面，棱面是正平面，其他四个其他四个侧棱面是棱面是铅垂面，它垂面，它们的程度投影都的程度投影都积聚成直聚成直线，与六，与六边形的形的边重合前往前往下下页页上上页页( ) s   s  2.2.棱锥棱锥⑵⑵ 棱棱锥的三的三视图⑶⑶ 在棱在棱锥面上取点面上取点  k  k  k  b a  c abc a(c)bs  n  n ⑴⑴ 棱棱锥的的组成成  n  由一个底面和几个由一个底面和几个侧棱面棱面组成侧棱棱线交交于有限于有限远的一点的一点——锥顶同同样采用平面上取点法采用平面上取点法 棱棱锥处于于图示位置示位置时，，其底面其底面ABC是程度面，在是程度面，在俯俯视图上反映上反映实形侧棱棱面面SAC为侧垂面，另两个垂面，另两个侧棱面棱面为普通位置平普通位置平。

前往前往下下页页上上页页 圆柱面的俯柱面的俯视图积聚成一聚成一个个圆，在另两个，在另两个视图上分上分别以以两个方向的两个方向的轮廓素廓素线的投影表的投影表示二、回转体二、回转体1.1.圆柱体柱体 ⑵⑵ 圆柱体的三柱体的三视图 ⑶⑶ 轮廓廓线素素线的投影与曲面的的投影与曲面的 可可见性的判性的判别 ⑷⑷ 圆柱面上取点柱面上取点  a  a  a  圆柱面上与柱面上与轴线平行的任平行的任不断不断线称称为圆柱面的素柱面的素线 ⑴⑴ 圆柱体的柱体的组成成由由圆柱面和两底面柱面和两底面组成 圆柱面是由直柱面是由直线AA1绕与它平行的与它平行的轴线OO1旋旋转而而成A1AOO1 直直线AA1称称为母母线 利用投影利用投影的的积聚性聚性前往前往下下页页上上页页 在在图示位置，俯示位置，俯视图为一一圆另两个视图为等等边三三角形，三角形的底角形，三角形的底边为圆锥底面的投影，两腰分底面的投影，两腰分别为圆锥面不同方向的两条面不同方向的两条轮廓素廓素线的投影 圆锥面是由直面是由直线SA绕与与它相交的它相交的轴线OO1旋旋转而而成。

成 S称称为锥顶，直，直线SA称称为母母线圆锥面上面上过锥顶的任不断的任不断线称称为圆锥面的面的素素线O1O⑴⑴ 圆锥体的体的组成成 s ● s ●2.2.圆锥体圆锥体⑵⑵ 圆锥体的三体的三视图⑶⑶ 轮廓廓线素素线的投影与的投影与 曲面的可曲面的可见性的判性的判别⑷⑷ 圆锥面上取点面上取点  k ★★辅助直助直线法法★★辅助助圆法法 (n )s●n k(n )●  k ●由由圆锥面和底面面和底面组成SA如何在如何在圆锥面面上作直上作直线？？过锥顶作作一条素一条素线圆的半径？的半径？前往前往下下页页上上页页 三个三个视图分分别为三三个和个和圆球的直径相等的球的直径相等的圆，它，它们分分别是是圆球三球三个方向个方向轮廓廓线的投影3.3.圆球圆球 圆母母线以它的直以它的直径径为轴旋旋转而成⑵⑵ 圆球的三球的三视图⑶⑶ 轮廓廓线的投影与曲的投影与曲 面可面可见性的判性的判别⑷⑷ 圆球面上取点球面上取点 k 辅助助圆法法k k ⑴⑴ 圆球的构成球的构成圆的半径？的半径？前往前往下下页页上上页页2.6 2.6 平面体及回转体的截切平面体及回转体的截切截切：截切： 用一个平面与立体相交，截去立体的一用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。

部分  截平面截平面 —— 用以截切物体的平面用以截切物体的平面  截交截交线 —— 截平面与物体外表的交截平面与物体外表的交线  截断面截断面 —— 因截平面的截切，在物体上形因截平面的截切，在物体上形 成的平面成的平面讨论的的问题：截交：截交线的分析和作的分析和作图 前往前往下下页页上上页页2.6.1 2.6.1 平面体的截切平面体的截切一、平面截切的根本方式一、平面截切的根本方式  截交截交线是一个由直是一个由直线组成的封成的封锁的平面多的平面多边形，其形，其 外形取决于平面体的外形及截平面外形取决于平面体的外形及截平面对平面体的截切平面体的截切 位置  截交截交线的每条的每条边是截平面与棱面的交是截平面与棱面的交线求截交线的本质是求两平面的交线求截交线的本质是求两平面的交线截交截交线的性的性质：：前往前往下下页页上上页页二、平面截切体的画图二、平面截切体的画图⒈ ⒈ 求截交求截交线的两种方法：的两种方法：★ ★ 求各棱求各棱线与截平面的交点与截平面的交点→→棱棱线法★ ★ 求各棱面与截平面的交求各棱面与截平面的交线→→棱面法。

棱面法关键是正确地画出截交线的投影关键是正确地画出截交线的投影⒉ ⒉ 求截交求截交线的步的步骤：：☆☆ 截平面与体的相截平面与体的相对位置位置☆☆ 截平面与投影面的相截平面与投影面的相对位置位置确定截交线确定截交线的投影特性的投影特性确定截交确定截交线的外形的外形★★ 空空间及投影分析及投影分析★ ★ 画出截交画出截交线的投影的投影 分分别求出截平面与棱面求出截平面与棱面的交的交线，并，并衔接成多接成多边形前往前往下下页页上上页页例例1 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图求四棱锥被截切后的俯视图和左视图3 32 21 1(4(4) )1 1 ●●2 2 ●●4 4 ●●3 3 ●●1 1●●2 2●●4 4●●★ ★ 空空间分析分析交交线的外形？的外形？3 3●●★ ★ 投影分析投影分析★ ★ 求截交求截交线★ ★ 分析棱分析棱线的投影的投影★ ★ 检查 尤其留意尤其留意检查截截 交交线投影的投影的类似性似性截平面与体的截平面与体的几个棱面相交几个棱面相交？？截交线在俯、截交线在俯、左视图上的外左视图上的外形？形？前往前往下下页页上上页页立体立体立体立体例例1 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。

求四棱锥被截切后的俯视图和左视图我们采用的是我们采用的是哪种解题方法哪种解题方法？？棱线法！棱线法！前往前往下下页页上上页页例例2 2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图求四棱锥被截切后的俯视图和左视图1 12 21 1 (2(2 ) )ⅠⅠ、、ⅡⅡ两点分两点分别同同时位于三个面位于三个面上三面共点：三面共点：2 2 ●1 1 ● 留意：留意：要逐个截平面分析和要逐个截平面分析和绘制制截交截交线当平面体只需部当平面体只需部分被截切分被截切时，先假想，先假想为整整体被截切，求出截交体被截切，求出截交线后后再取部分再取部分前往前往下下页页上上页页例例2 2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图求四棱锥被截切后的俯视图和左视图前往前往下下页页上上页页例例 3: 求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯视图截切后的俯视图P P 截交截交线的外形？的外形？ⅠⅠⅡⅡⅢⅢⅣⅣⅤⅤⅥⅥⅦⅦⅧⅧ1 15 54 43 32 28 87 76 6截交截交线的投影的投影特性？特性？2 2≡3≡3≡6≡6≡7≡71 1≡8≡84 4≡5≡5求截交求截交线1 15 54 47 76 63 32 28 8分析棱分析棱线的的投影投影检查截交截交线的投影的投影前往前往下下页页上上页页例例 3: 求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯视图。

截切后的俯视图前往前往下下页页上上页页2.6.2 2.6.2 回转体的截切回转体的截切一、回一、回转体截切的根本方式体截切的根本方式截交截交线的性的性质：：  截交截交线是截平面与回是截平面与回转体外表的共有体外表的共有线  截交截交线的外形取决于回的外形取决于回转体外表的外形及体外表的外形及 截平面与回截平面与回转体体轴线的相的相对位置  截交截交线都是封都是封锁的平面的平面图形前往前往下下页页上上页页二、求平面与回转体的截交线的普通步骤二、求平面与回转体的截交线的普通步骤 ⒈ ⒈ 空空间及投影分析及投影分析☆☆ 分析回分析回转体的外形以及截平面与回体的外形以及截平面与回转体体轴线 的相的相对位置，以便确定截交位置，以便确定截交线的外形☆☆ 分析截平面与投影面的相分析截平面与投影面的相对位置，明确截交位置，明确截交 线的投影特性，如的投影特性，如积聚性、聚性、类似性等找出似性等找出 截交截交线的知投影，予的知投影，予见未知投影未知投影⒉ ⒉ 画出截交画出截交线的投影的投影当截交当截交线的投影的投影为非非圆曲曲线时，其作，其作图步步骤为：：☆☆ 将各点光滑地将各点光滑地衔接起来，并判接起来，并判别截交截交线的可的可 见性。

性☆☆ 先找特殊点，先找特殊点，补充中充中间点前往前往下下页页上上页页㈠㈠ 圆柱体的截切圆柱体的截切 截平面与截平面与圆柱面的截交柱面的截交线的外形取决于的外形取决于截平面与截平面与圆柱柱轴线的相的相对位置位置垂直垂直圆椭圆平行平行两平行直两平行直线倾斜斜PVPVP PPVPVP PPVPVP P前往前往下下页页上上页页例例1 1：求左视图：求左视图★★空空间及投影分析及投影分析★★求截交求截交线★★分析分析圆柱体柱体轮廓素廓素线的投影的投影截平面与体的相截平面与体的相对位置位置截平面与投影面的相截平面与投影面的相对位置位置●●●●解解题步步骤：： 同一立体被多同一立体被多个平面截切，要逐个平面截切，要逐个截平面个截平面进展截交展截交线的分析和作的分析和作图●●●●前往前往下下页页上上页页例例1 1：求左视图：求左视图★★空空间及投影分析及投影分析★★求截交求截交线★★分析分析圆柱体柱体轮廓素廓素线的投影的投影截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置解题步骤：解题步骤：前往前往下下页页上上页页立体立体立体立体例例2 2：求左视图：求左视图●●●●●●●●前往前往下下页页上上页页立体立体立体立体例例2 2：求左视图：求左视图前往前往下下页页上上页页例例3 3：求俯视图：求俯视图前往前往下下页页上上页页立体立体立体立体例例3 3：求俯视图：求俯视图前往前往下下页页上上页页截交截交线的知投影？的知投影？●●●●●●●●●●●●例例4 4：求左视图：求左视图★★找特殊点找特殊点★★补充中充中间点点★★光滑光滑衔接各点接各点★★分析分析轮廓素廓素线的投影的投影截交截交线的的侧面投面投影是什么外形？影是什么外形？截交线的截交线的空间外形空间外形？？ 前往前往下下页页上上页页例例4 4：求左视图：求左视图★★找特殊点找特殊点★★找中找中间点点★★光滑光滑衔接各点接各点★★分析分析轮廓素廓素线的投影的投影前往前往下下页页上上页页 椭圆的长、椭圆的长、短轴随截平面与短轴随截平面与圆柱轴线夹角的圆柱轴线夹角的变化而改动。

变化而改动45°45°什么情况什么情况下投影为下投影为圆呢？圆呢？截平面与截平面与圆柱柱轴线成成45°45°时前往前往下下页页上上页页例例5 5：求左视图：求左视图例例5 5：求左视图：求左视图真假分界点真假分界点前往前往下下页页上上页页㈡㈡ 圆锥体的截切圆锥体的截切 根据截平面与根据截平面与圆锥轴线的相的相对位置不同，截交位置不同，截交线有五种外形有五种外形过锥顶过锥顶两相交直线两相交直线PVPV圆圆PVPVθθθ= 90°θ= 90°PVPV椭圆椭圆ααθθθθ＞＞αα抛物线抛物线PVPVθθααθ=αθ=α双曲线双曲线PVPVααθ= 0°θ= 0°＜＜αα前往前往下下页页上上页页例例: 圆锥被正垂面截切，求圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图截交线，并完成三视图截交截交线的的空空间外形外形？？截交截交线的的投影特性投影特性？？★★找特殊点找特殊点如何找如何找椭圆另另一根一根轴的端点的端点？？★★补充中充中间点点★★光滑光滑衔接各点接各点★★分析分析轮廓廓线的的 投影投影前往前往下下页页上上页页例例: 圆锥被正垂面截切，求圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。

截交线，并完成三视图前往前往下下页页上上页页㈢㈢ 球体的截切球体的截切 平面与平面与圆球相交，截交球相交，截交线的外的外形都是形都是圆，但根据截平面与投影面，但根据截平面与投影面的相的相对位置不同，其截交位置不同，其截交线的投影的投影能能够为圆、、椭圆或或积聚成一条直聚成一条直线前往前往下下页页上上页页例：求半球体截切后的俯视图和左视图例：求半球体截切后的俯视图和左视图程度面截程度面截圆球的截交球的截交线的投影，在俯的投影，在俯视图上上为部分部分圆弧，在弧，在侧视图上上积聚聚为直直线两个两个侧平面截平面截圆球的截球的截交交线的投影，在的投影，在侧视图上上为部分部分圆弧，在俯弧，在俯视图上上积聚聚为直直线前往前往下下页页上上页页例：求半球体截切后的俯视图和左视图例：求半球体截切后的俯视图和左视图前往前往下下页页上上页页●● ●●●●●●●●㈣㈣ 复合回转体的截切复合回转体的截切●●●●●●●●●●●● 首先分析复合回首先分析复合回转体由哪些根本回体由哪些根本回转体体组成成以及它以及它们的的衔接关系，然后分接关系，然后分别求出求出这些根本回些根本回转体的截交体的截交线，并依次将其，并依次将其衔接。

接例：求作例：求作顶尖的俯尖的俯视图前往前往下下页页上上页页 小小 结结 一、平面体的截交一、平面体的截交线普通情况下是由直普通情况下是由直线组成成 的封的封锁的平面多的平面多边形，多形，多边形的形的边是截平是截平 面与棱面的交面与棱面的交线求截交求截交线的方法：棱的方法：棱线法法 棱面法棱面法二、平面截切回二、平面截切回转体，截交体，截交线的外形取决于截的外形取决于截 平面与被截立体平面与被截立体轴线的相的相对位置 截交截交线是截平面与回是截平面与回转体外表的共有体外表的共有线前往前往下下页页上上页页 当截交当截交线的投影的投影为非非圆曲曲线时，要先，要先找特殊点，再找特殊点，再补充中充中间点，最后光滑点，最后光滑衔接接各点 留意分析平面体的棱留意分析平面体的棱线和回和回转体体轮廓廓素素线的投影⑵ ⑵ 分析截平面与被截立体分析截平面与被截立体对投影面的相投影面的相对 位置，以确定截交位置，以确定截交线的投影特性的投影特性⒉ ⒉ 求截交求截交线三、解三、解题方法与步方法与步骤⒈ ⒈ 空空间及投影分析及投影分析⑴ ⑴ 分析截平面与被截立体的相分析截平面与被截立体的相对位置，以位置，以 确定截交确定截交线的外形。

的外形前往前往下下页页上上页页⒊ ⒊ 当当单体被多个截平面截切体被多个截平面截切时，要逐个截，要逐个截 平面平面进展截交展截交线的分析与作的分析与作图当只需 部分被截切部分被截切时，先按整体被截切求出截，先按整体被截切求出截 交交线，然后再取部分然后再取部分 ⒋ ⒋ 求复合回求复合回转体的截交体的截交线，，应首先分析复首先分析复 合回合回转体由哪些根本回体由哪些根本回转体体组成以及它成以及它 们的的衔接关系，然后分接关系，然后分别求出求出这些根本些根本 回回转体的截交体的截交线，并依次将其，并依次将其衔接前往前往下下页页上上页页平面体与回平面体与回转体相体相贯回回转体与回体与回转体相体相贯多体相多体相贯2.7.1 2.7.1 概概 述述1.1.相相贯的方式的方式 两立体相交叫作相两立体相交叫作相贯，其外表，其外表产生的交生的交线叫做相叫做相贯线 本章主要本章主要讨论常用不同立体相交常用不同立体相交时其外其外表相表相贯线的投影特性及画法的投影特性及画法前往前往下下页页上上页页2.2.相贯线的主要性质相贯线的主要性质 其作其作图本本质是找出相是找出相贯的两立的两立体外表的假体外表的假设干共有点的投影。

干共有点的投影★★ 共有性共有性★★ 外表性外表性相相贯线位于两立体的外表上位于两立体的外表上相相贯线是两立体外表的共有是两立体外表的共有线★★ 封封锁性性 相相贯线普通是封普通是封锁的空的空间折折线〔通常〔通常由直由直线和曲和曲线组成〕或空成〕或空间曲曲线前往前往下下页页上上页页1.1.相相贯线的性的性质 相相贯线是由假是由假设干段平面干段平面曲曲线〔或直〔或直线〕所〕所组成的空成的空间折折线，每一段是平面体的棱面，每一段是平面体的棱面与回与回转体外表的交体外表的交线2.7.2 平面体与回转体相贯平面体与回转体相贯2.2.作作图方法方法  分析各棱面与回分析各棱面与回转体外表的相体外表的相对位置，从而确位置，从而确 定交定交线的外形  求出各棱面与回求出各棱面与回转体外表的截交体外表的截交线  衔接各段交接各段交线，并判，并判别可可见性 求交求交线的本的本质是求各棱面与回是求各棱面与回转面的截交面的截交线前往前往下下页页上上页页例例1：补全主视图：补全主视图 空间分析：空间分析： 四棱柱的四个棱面分别与四棱柱的四个棱面分别与圆柱面相交，前后两棱面与圆圆柱面相交，前后两棱面与圆柱轴线平行，截交线为两段直柱轴线平行，截交线为两段直线；左右两棱面与圆柱轴线垂线；左右两棱面与圆柱轴线垂直，截交线为两段圆弧。

直，截交线为两段圆弧 投影分析：投影分析： 由于相贯线是两立体外由于相贯线是两立体外表的共有线，所以相贯线的表的共有线，所以相贯线的侧面投影积聚在一段圆弧上，侧面投影积聚在一段圆弧上，程度投影积聚在矩形上程度投影积聚在矩形上前往前往下下页页上上页页例例1：补全主视图：补全主视图前往前往下下页页上上页页例例2：求作主视图：求作主视图前往前往下下页页上上页页例例2：求作主视图：求作主视图前往前往下下页页上上页页1. 1. 相相贯线的性的性质 相相贯线普通普通为光滑封光滑封锁的的空空间曲曲线，它是两回，它是两回转体外表体外表的共有的共有线2.7.3 2.7.3 回转体与回转体相贯回转体与回转体相贯2.2.作作图方法方法  利用投影的利用投影的积聚性直接找聚性直接找点  用用辅助平面法助平面法  先找特殊点先找特殊点⒊ ⒊ 作作图过程程  补充中充中间点确定交线的确定交线的弯曲趋势弯曲趋势确定交确定交线的范的范围前往前往下下页页上上页页例例 1 ：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线圆柱与圆柱相贯，求其相贯线●●●●●●●●● 空空间及投影分析：及投影分析： 小小圆柱柱轴线垂直于垂直于H面，程面，程度投影度投影积聚聚为圆，根据相，根据相贯线的的共有性，相共有性，相贯线的程度投影即的程度投影即为该圆。

大大圆柱柱轴线垂直于垂直于W面，面，侧面投影面投影积聚聚为圆，相，相贯线的的侧面投影在面投影在该圆上求相求相贯线的投影：的投影： 利用利用积聚性，采用聚性，采用外表取点法外表取点法☆☆ 找特殊点找特殊点☆☆ 补充中充中间点点☆☆ 光滑光滑衔接接前往前往下下页页上上页页例例 1 ：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线圆柱与圆柱相贯，求其相贯线前往前往下下页页上上页页当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势交线向大圆交线向大圆柱一侧弯柱一侧弯交线为两条平面交线为两条平面曲线〔椭圆〕曲线〔椭圆〕前往前往下下页页上上页页例例2：补全主视图：补全主视图●●●●●●●●●●●●●●●●●●●★★ 外形交外形交线◆ 两外外表相贯◆◆ 一内外表和一外外表相一内外表和一外外表相贯★★ 内形交内形交线◆ 两内外表相贯前往前往下下页页上上页页立体立体立体立体例例2：补全主视图：补全主视图 无无轮是两外外表相是两外外表相贯，，还是一内外表和一外外表是一内外表和一外外表相相贯，或者两内外表相，或者两内外表相贯，，求相求相贯线的方法和思的方法和思绪是是一一样的小小 结：结：前往前往下下页页上上页页●例例3：求主视图：求主视图●●●●●相切处无线相切处无线× 外外表与外外外外表与外外表相表相贯，内外表与，内外表与内外表相内外表相贯。

分分别求其相求其相贯线前往前往下下页页上上页页立体例例3：求主视图：求主视图前往前往下下页页上上页页例例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影 ◆◆ 空空间及投影分析：及投影分析： 相相贯线为一光滑的封一光滑的封锁的空的空间曲曲线它的它的侧面投影有面投影有积聚性，正面投影、程度聚性，正面投影、程度投影没有投影没有积聚性，聚性，应分分别求出◆◆ 解解题方法：方法：辅助平面法助平面法前往前往下下页页上上页页辅助平面法：辅助平面法： 根据三面共点的原理，利用根据三面共点的原理，利用辅助平面求助平面求出两回出两回转体外表上的假体外表上的假设干共有点，从而画干共有点，从而画出相出相贯线的投影作作图方法：方法： 假想用假想用辅助平面截切两回助平面截切两回转体，分体，分别得得出两回出两回转体外表的截交体外表的截交线由于截交由于截交线的交的交点既在点既在辅助平面内，又在两回助平面内，又在两回转体外表上，体外表上，因此是相因此是相贯线上的点辅助平面的助平面的选择原那么：原那么： 使使辅助平面与两回助平面与两回转体外表的截交体外表的截交线的的投影投影简单易画，例如直易画，例如直线或或圆。

普通普通选择投影面平行面投影面平行面前往前往下下页页上上页页例例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影 假想用程度面假想用程度面P截切立体，截切立体，P面与面与圆柱柱体的截交体的截交线为两条直两条直线，与，与圆锥面的交面的交线为圆，，圆与两直与两直线的交点即的交点即为交交线上的点P●●●●前往前往下下页页上上页页●例例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影 ●●●●●●●●●●●●解解题步步骤：：★★ 求特殊点求特殊点★★ 用用辅助平面法求助平面法求 中中间点点★★ 光滑光滑衔接各点接各点前往前往下下页页上上页页例例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影 解题步骤：解题步骤：★★ 求特殊点求特殊点★★ 用用辅助平面法求助平面法求 中中间点点★★ 光滑光滑衔接各点接各点前往前往下下页页上上页页123例例5：补全主视图：补全主视图●●●●●●●● 这是一个多体是一个多体相相贯的例子，首先的例子，首先分析它是由哪些根分析它是由哪些根本体本体组成的，成的，这些些根本体是如何相根本体是如何相贯的，然后分的，然后分别进展展相相贯线的分析与作的分析与作图。

前往前往下下页页上上页页立体立体立体立体例例5：补全主视图：补全主视图三面共点三面共点●●● 作作图时要抓住要抓住一个关一个关键点，相点，相贯线汇交于交于这一点前往前往下下页页上上页页●●●●●●●●●●例例6：求俯视图：求俯视图●●●●●●●●前往前往下下页页上上页页立体立体立体立体例例6：求俯视图：求俯视图前往前往下下页页上上页页 小小 结结 一、本章的根本内容一、本章的根本内容⒈⒈ 立体外表相立体外表相贯线的概念的概念⒉⒉ 求相求相贯线的根本方法的根本方法相相贯线的性的性质：外表性：外表性 共有性共有性 封封锁性性二、解二、解题过程程⒈⒈ 交交线分析分析⑴⑴ 空空间分析：分析：⑵⑵ 投影分析：投影分析： 能否有能否有积聚性投影？找出相聚性投影？找出相贯线的知投影，的知投影，预见未知投影，从而未知投影，从而选择解解题方法面上找点法面上找点法 辅助平面法助平面法 分析相交两立体的外表外形，分析相交两立体的外表外形， 形体大小及相形体大小及相对位置，位置，预见交交线的外形前往前往下下页页上上页页特殊点包括：最上点、最下点、最左点、特殊点包括：最上点、最下点、最左点、 最右点、最前点、最后点、最右点、最前点、最后点、 轮廓廓线上的点等。

上的点等⒉⒉ 作作图⑴⑴ 找点找点⑵⑵连线⑶⑶检查、加深、加深尤其留意尤其留意检查回回转体体轮廓素廓素线的投影 当相当相贯线的投影的投影为非非圆曲曲线时，其作，其作图步步骤为：：☆☆ 先找特殊点先找特殊点☆☆ 补充假充假设干中干中间点点前往前往下下页页上上页页三、平面体与圆柱体相贯三、平面体与圆柱体相贯⒈⒈ 相相贯线的的产生：生：⒉⒉ 求相求相贯线的方法：的方法：⒊⒊ 相相贯线的外形及投影：的外形及投影：外外表与外外表相交，外外表与外外表相交，外外表与内外表相交，外外表与内外表相交，内外表与内外表相交内外表与内外表相交 求平面体的棱面与求平面体的棱面与圆柱面的截交柱面的截交线，依次，依次衔接起来 相相贯线为封封锁的空的空间折折线相贯线在非在非积聚聚性投影上性投影上总是向被穿的是向被穿的圆柱体里面弯折，而且在柱体里面弯折，而且在两体相交区域内不两体相交区域内不应有有圆柱体柱体轮廓廓线的投影前往前往下下页页上上页页四、两圆柱体相贯四、两圆柱体相贯⒈⒈ 相相贯线的的产生：生：⒉⒉ 求相求相贯线的方法：的方法：⒊⒊ 相相贯线的外形及投影：的外形及投影：外外表与外外表相交，外外外表与外外表相交，外外表与内外表相交，内外外表与内外表相交，内外表与内外表相交。

表与内外表相交 常用的方法是利用常用的方法是利用积聚性聚性外表取点，也可用外表取点，也可用辅助平面法助平面法 相相贯线为光滑封光滑封锁的空的空间曲曲线当两圆柱正交，柱正交，小小圆柱穿大柱穿大圆柱柱时，相，相贯线在非在非积聚性投影上聚性投影上总是向是向大大圆柱里弯曲，当两柱里弯曲，当两圆柱直径相等柱直径相等时，相，相贯线在空在空间为两个两个椭圆，其投影，其投影变为直直线 在两体相交区域内不在两体相交区域内不应有有圆柱体柱体轮廓廓线的投影前往前往下下页页上上页页五、多体相贯五、多体相贯 每个部分都是两体相每个部分都是两体相贯，首先分析，首先分析它是由哪些根本体它是由哪些根本体组成的，然后两两成的，然后两两进展相展相贯线的分析与作的分析与作图前往前往下下页页上上页页。