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1、微积分（高等数学）中国药科大学中国药科大学 龙益如龙益如01初等数学预备知识03导数与微分05不定积分07多元函数微分学02极限与连续04导数的应用06定积分08微分方程C目目录录ONTENTS2024/9/17函数与极限3数学既是对于自然界事实的总结和归纳，如英国的哲学家培根所说“一切多依赖于我们把眼睛紧盯在自然界的事实之上”；又是抽象思考的结果，如法国哲学家笛卡尔所说“我思故我在”。这两个方法造就了目前绚丽多彩，美丽非凡的数学，非常值得欣赏。从事科学研究，最重要的是掌握思维方法。在这里，我举两个例子：牛顿是伟大的物理学家和数学家，他在自然哲学的数学原理中叙述了四条法则。其中“法则1：除那些
2、真实而已足够说明其现象者外，不必去寻找自然界事物的其他原因”。这条法则后来被人们称作“简单性原则”，正如爱因斯坦所说：“从希腊哲学到现代物理学的整个科学史中，不断有人力图把表面上极为复杂的自然现象归结为几个简单的基本概念和关系。这就是整个自然哲学的基本原理。”数学之美2024/9/17函数与极限4函数1234小结与练习反函数函数的特性函数基本概念一、基本概念2024/9/17函数与极限51.1.集合集合: :具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.有限集有限集无限集无限集2024/9/17函数与极限6数集分
3、类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:例如例如不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.例如例如,规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.2024/9/17函数与极限72.2.区间区间: :是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,2024/9/17函数与极限8称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间
4、的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.2024/9/17函数与极限93.3.邻域邻域: :2024/9/17函数与极限104.4.常量与变量常量与变量: : 在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,注意注意 常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a, b, c等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母x, y, t等表示等表示变变量量.2024/9/17函数与极限115.5.绝对值绝对值: :运算性质运算性质
5、:绝对值不等式绝对值不等式:2024/9/17函数与极限12因变量因变量自变量自变量数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域二、函数概念二、函数概念2024/9/17函数与极限13自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素: : 定义域定义域与与对应法则对应法则.约定约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.2024/9/17函数与极限14定义定义: :如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数
6、，否数叫做单值函数，否则叫与多值函数则叫与多值函数2024/9/17函数与极限15 (1) 符号函数符号函数几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyo2024/9/17函数与极限16(2) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线2024/9/17函数与极限17有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3) 狄利克雷函数狄利克雷函数2024/9/17函数与极限18(4) 取最值函数取最值函数yxoyxo2024/9/17函数与极限19在自变量的不同变化范围中在自
7、变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.2024/9/17函数与极限20例例1 1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图其波形如图所示所示,写出电压写出电压U与时间与时间 的函数关系式的函数关系式.解解单三角脉冲信号的电压单三角脉冲信号的电压2024/9/17函数与极限212024/9/17函数与极限22例例2 2解解故故三、函数的特性2024/9/17函数与极限23M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX1函数的有界性函数的有界性:2024/9/17函数与极限242函数
8、的单调性函数的单调性:xyo2024/9/17函数与极限25xyo2024/9/17函数与极限263函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数yxox-x2024/9/17函数与极限27奇函数奇函数yxox-x2024/9/17函数与极限284函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.2024/9/17函数与极限29 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.四、反函数四、反函数五、小结2024/9/17函数与极限30基本概念基本概念集合集合, 区间区间, 邻域邻域, 常量与变量常量与变量, 绝对值绝对值
9、.函数的概念函数的概念函数的特性函数的特性有界性有界性, ,单调性单调性, ,奇偶性奇偶性, ,周期性周期性. .反函数反函数2024/9/17函数与极限31思考题思考题2024/9/17函数与极限32思考题解答思考题解答设设则则故故2024/9/17函数与极限33练练 习习 题题2024/9/17函数与极限342024/9/17函数与极限35练习题答案练习题答案2024/9/17函数与极限36初等函数1234小结与练习双曲函数和反双曲函数复合函数基本初等函数一、基本初等函数2024/9/17函数与极限371.幂函数幂函数2024/9/17函数与极限382.指数函数指数函数2024/9/17函
10、数与极限393.对数函数对数函数2024/9/17函数与极限404.三角函数三角函数正弦函数正弦函数2024/9/17函数与极限41余弦函数余弦函数2024/9/17函数与极限42正切函数正切函数2024/9/17函数与极限43余切函数余切函数2024/9/17函数与极限44正割函数正割函数2024/9/17函数与极限45余割函数余割函数2024/9/17函数与极限465.反三角函数反三角函数2024/9/17函数与极限472024/9/17函数与极限482024/9/17函数与极限49 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本
11、初等函数基本初等函数.二、复合函数 初等函数2024/9/17函数与极限501.复合函数复合函数定义定义:2024/9/17函数与极限51注意注意: :1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.2.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.2024/9/17函数与极限52例例1 1
12、解解2024/9/17函数与极限53综上所述综上所述三、双曲函数与反双曲函数2024/9/17函数与极限54奇函数奇函数.偶函数偶函数.1.双曲函数双曲函数2024/9/17函数与极限55奇函数奇函数,有界函数有界函数,2024/9/17函数与极限56双曲函数常用公式双曲函数常用公式2024/9/17函数与极限572.反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,2024/9/17函数与极限582024/9/17函数与极限59奇函数奇函数,四、小结2024/9/17函数与极限60函数的分类函数的分类:函函数数初初等等函函数数非初等函数非初等函数( (分段函数分段函数, ,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)
13、 )代代数数函函数数超越函数超越函数有有理理函函数数无理函数无理函数有理整函数有理整函数( (多项式函数多项式函数) )有理分函数有理分函数( (分式函数分式函数) )2024/9/17函数与极限61思考题思考题2024/9/17函数与极限62思考题解答思考题解答不能不能2024/9/17函数与极限63一、填空题一、填空题:练练 习习 题题2024/9/17函数与极限642024/9/17函数与极限65练习题答案练习题答案2024/9/17函数与极限662024/9/17函数与极限67数列的极限1234小结与练习数列极限的性质数列的极限数列的定义一、概念的引入2024/9/17函数与极限68“
14、割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽2024/9/17函数与极限69正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积2024/9/17函数与极限702 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列的定义2024/9/17函数与极限71例如例如2024/9/17函数与极限72注意：注意： 1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取
15、动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数2024/9/17函数与极限73播放播放三、数列的极限三、数列的极限2024/9/17函数与极限74问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:2024/9/17函数与极限752024/9/17函数与极限76如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：2024/9/17函数与极限77
16、几何解释几何解释:其中其中2024/9/17函数与极限78数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1证证所以所以,注意：注意：2024/9/17函数与极限79例例2证证所以所以,说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结: 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.2024/9/17函数与极限80例例3证证2024/9/17函数与极限81例例4证证四、数列极限的性质2024/9/17函数与极限821.有界性有界性例如例如,有界有界无界无界2024/9/17函
17、数与极限83定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证由定义由定义,注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .2024/9/17函数与极限842.唯一性唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.2024/9/17函数与极限85例例5证证由定义由定义,区间长度为区间长度为1.不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内.3.(收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列如果数列收
18、敛于收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是是a2024/9/17函数与极限86五.小结2024/9/17函数与极限87数列数列: :研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限: :极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质: :有界性唯一性有界性唯一性.2024/9/17函数与极限88思考题思考题证明证明要使要使只要使只要使从而由从而由得得取取当当 时，必有时，必有 成立成立2024/9/17函数与极限89思考题解答思考题解答（等价）（等价）证明中所采用的证明中所采用的实际上就是不等式实际上就是不等式即证明
19、中没有采用即证明中没有采用“适当放大适当放大” 的值的值2024/9/17函数与极限90从而从而 时，时，仅有仅有 成立，成立，但不是但不是 的充分条件的充分条件反而缩小为反而缩小为2024/9/17函数与极限91练练 习习 题题2024/9/17函数与极限106函数的极限1234小结与练习函数极限的性质自变量趋向有限值时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限2024/9/17函数与极限107播放播放2024/9/17函数与极限108通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.202
20、4/9/17函数与极限1092024/9/17函数与极限1102.另两种情形另两种情形:2024/9/17函数与极限1113.几何解释几何解释:2024/9/17函数与极限112例例1证证二、自变量趋向有限值时函数的极限2024/9/17函数与极限1132024/9/17函数与极限1142024/9/17函数与极限1152.几何解释几何解释:注意：注意：2024/9/17函数与极限116例例2证证例例3证证2024/9/17函数与极限117例例4证证函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.2024/9/17函数与极限118例例5证证2024/9/17函数与极限1193.单侧极限单侧极限:例
21、如例如,2024/9/17函数与极限120左极限左极限右极限右极限2024/9/17函数与极限121左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例6证证三、函数极限的性质2024/9/17函数与极限1221.有界性有界性2.唯一性唯一性2024/9/17函数与极限123推论推论3.不等式性质不等式性质定理定理( (保序性保序性) )2024/9/17函数与极限124定理定理( (保号性保号性) )推论推论2024/9/17函数与极限1254.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定义定义定理定理2024/9/17函数与极限126证证2024/9/17函数与极限
22、127例如例如,函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在, ,且相等且相等. .2024/9/17函数与极限128例例7证证2024/9/17函数与极限129二者不相等二者不相等,四、小结2024/9/17函数与极限130函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)2024/9/17函数与极限131过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 2024/9/17函数与极限132思考题思考题2024/9/17函数与极限133思考题解答思考题
23、解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.2024/9/17函数与极限134一、填空题一、填空题:练练 习习 题题2024/9/17函数与极限1352024/9/17函数与极限136练习题答案练习题答案2024/9/17函数与极限146无穷大与无穷小1234小结与练习反函数无穷大无穷小一、无穷小2024/9/17函数与极限1471.定义定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.2024/9/17函数与极限148例如例如,注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.20
24、24/9/17函数与极限1492.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性充分性充分性2024/9/17函数与极限150意义意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷无穷小小);3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.证证2024/9/17函数与极限151注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .2024/9/17函数与极限152定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷
25、小.证证2024/9/17函数与极限153推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小二、无穷大2024/9/17函数与极限154绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.2024/9/17函数与极限155特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊
26、的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.2024/9/17函数与极限156不是无穷大不是无穷大无界，无界，2024/9/17函数与极限157证证三、无穷小与无穷大的关系2024/9/17函数与极限158定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证证2024/9/17函数与极限159意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.四、小结2024/9/17函数与极限1601、主要内容、
27、主要内容: 两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. .（3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.2024/9/17函数与极限161思考题思考题2024/9/17函数与极限162思考题解答思考题解答不能保证不能保证.例例有有2024/9/17函数与
28、极限163一、填空题一、填空题: :练练 习习 题题2024/9/17函数与极限1642024/9/17函数与极限165练习题答案练习题答案一、极限运算法则2024/9/17函数与极限167定理定理证证由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得2024/9/17函数与极限1682024/9/17函数与极限169推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2有界，有界，二、求极限方法举例2024/9/17函数与极限170例例1 1解解2024/9/17函数与极限171小结小结: :2024/9/17函数与极限172解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷
29、大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 22024/9/17函数与极限173解解例例3 3(消去零因子法消去零因子法)2024/9/17函数与极限174例例4 4解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)2024/9/17函数与极限175小结小结: :无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.2024/9/17函数与极限176例例5 5解解先变形再求极限先变形再求极限.2024/9/17函数与极限177例例6 6解解2024/9/17函数与极限178例例7 7解解左右极限存在且相等
30、左右极限存在且相等,三、小结2024/9/17函数与极限1791.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.2024/9/17函数与极限180思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？2024/9/17函数与极
31、限181思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误2024/9/17函数与极限182一、填空题一、填空题:练练 习习 题题2024/9/17函数与极限183二、求下列各极限二、求下列各极限:2024/9/17函数与极限1842024/9/17函数与极限185练习题答案练习题答案一、无穷小的比较2024/9/17函数与极限187例如例如,极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.不可比不可比.观观察察各各极极限限202
32、4/9/17函数与极限188定义定义: :2024/9/17函数与极限189例例1 1解解例例2 2解解2024/9/17函数与极限190常用等价无穷小常用等价无穷小: :用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如例如,二、等价无穷小替换2024/9/17函数与极限191定理定理( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) )证证2024/9/17函数与极限192例例3 3解解不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .注意注意2024/9/17函数与极限193例例4 4解解解解错错2024
33、/9/17函数与极限194例例5 5解解三、小结2024/9/17函数与极限1951.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 等价无穷小等价无穷小; 无穷小的阶无穷小的阶.2024/9/17函数与极限196思考题思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗？2024/9/17函数与极限197思考题解答
34、思考题解答不能不能例当例当 时时都是无穷小量都是无穷小量但但不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时2024/9/17函数与极限198练练 习习 题题2024/9/17函数与极限1992024/9/17函数与极限2002024/9/17函数与极限201练习题答案练习题答案2024/9/17函数与极限202一、函数的连续性2024/9/17函数与极限2041.函数的增量函数的增量2024/9/17函数与极限2052.连续的定义连续的定义2024/9/17函数与极限2062024/9/17函数与极限207例例1 1证证由定义由定义2知知2024/9/17函数与极限2083.单侧连续单侧连
35、续定理定理2024/9/17函数与极限209例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续 ,2024/9/17函数与极限2104.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,2024/9/17函数与极限211例例3 3证证二、函数的间断点2024/9/17函数与极限2122024/9/17函数与极限2131.跳跃间断点跳跃间断点例例4 4解解2024/9/17函
36、数与极限2142.可去间断点可去间断点例例5 52024/9/17函数与极限215解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.2024/9/17函数与极限216如例如例5中中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点2024/9/17函数与极限2173.第二类间断点第二类间断点例例6 6解解2024/9/17函数与极限218例例7 7解解注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.2024/9/17函数与极
37、限219狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间断点断点.仅在仅在x=0处连续处连续, 其余各点处处间断其余各点处处间断.2024/9/17函数与极限220在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断, 但其绝对值处但其绝对值处处连续处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:2024/9/17函数与极限221例例8 8解解三、小结2024/9/17函数与极限2221.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间
38、断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)2024/9/17函数与极限223可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx2024/9/17函数与极限224思考题思考题2024/9/17函数与极限225思考题解答思考题解答且且2024/9/17函数与极限226但反之不成立但反之不成立.例例但但2024/9/17函数与极限227练练 习习 题题2024/9/17函数与极限2282024/9/17函数与极限229练习题答案练习题答案2024
39、/9/17函数与极限230一、四则运算的连续性2024/9/17函数与极限232定理定理1 1例如例如,二、反函数与复合函数的连续性2024/9/17函数与极限233定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数. .例如例如,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.2024/9/17函数与极限234定理定理3 3证证2024/9/17函数与极限235将上两步合起来将上两步合起来:2024/9/17函数与极限236意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;例例1 1解解2024/9/17函数与极限2
40、37例例2 2解解同理可得同理可得2024/9/17函数与极限238定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,三、初等函数的连续性2024/9/17函数与极限239三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.2024/9/17函数与极限240定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. .(均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内
41、的区间. .2024/9/17函数与极限2411. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如,这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.注意注意注意注意2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.2024/9/17函数与极限242例例3 3例例4 4解解解解四、小结2024/9/17函数与极限243连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与
42、定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理; 两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.2024/9/17函数与极限244思考题思考题2024/9/17函数与极限245思考题解答思考题解答是它的可去间断点是它的可去间断点2024/9/17函数与极限246练练 习习 题题2024/9/17函数与极限2472024/9/17函数与极限2482024/9/17函数与极限249练习题答案练习题答案一、最大值和最小值定理2024/9/17函数与极限251定义定义: :例如例如,2024/9/17函数与极限252定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理) ) 在
43、在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.2024/9/17函数与极限253定定理理2(2(有有界界性性定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界. .证证二、介值定理2024/9/17函数与极限254定义定义: :2024/9/17函数与极限255几何解释几何解释:2024/9/17函数与极限256几何解释几何解释:MBCAmab证证由零点定理由零点定
44、理,2024/9/17函数与极限257推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .例例1 1证证由零点定理由零点定理,2024/9/17函数与极限258例例2 2证证由零点定理由零点定理,三、小结2024/9/17函数与极限259四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间； 2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法: :先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;2024/9/17函数与极限260思考题思考题下述命题是否正确？下述命题是否正确？2024/9/17函数与极限261思考题解答思考题解答不正确不正确.例函数例函数2024/9/17函数与极限262练练 习习 题题
