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1、第三章第三章马科威茨资产组合理论马科威茨资产组合理论第三节第三节 最优组合选择最优组合选择 阐述投资者如何建立适合阐述投资者如何建立适合自己的最优自己的最优风险资产组合风险资产组合 投资范围中不包含无风险投资范围中不包含无风险资产资产2024/9/17投资学第4章一、基本假设一、基本假设v投资者用预期收益的概率分布来描述一项投资投资者用预期收益的概率分布来描述一项投资v投资者根据收益率的期望值和方差来评价和选择投资者根据收益率的期望值和方差来评价和选择资产组合资产组合v投资者是风险规避的，追求期望效用最大化投资者是风险规避的，追求期望效用最大化v所有投资者处于同一单一投资期所有投资者处于同一单
2、一投资期2024/9/17投资学第4章v另假定：另假定： 不存在无风险资产不存在无风险资产 风险资产不允许买空卖空风险资产不允许买空卖空2024/9/17投资学第4章二、风险资产组合的二、风险资产组合的可行集可行集v可行集：又叫机会集，是由给定的一组资可行集：又叫机会集，是由给定的一组资产构成的所有可能的证券组合的集合产构成的所有可能的证券组合的集合2024/9/17投资学第4章（一）两种风险资产（一）两种风险资产构建的组合构建的组合的的可行集可行集 v若已知两风险资产的期望收益、方差和它若已知两风险资产的期望收益、方差和它们间的相关系数们间的相关系数，则组合之期望收益和方则组合之期望收益和方
3、差为：差为：2024/9/17投资学第4章上述两方程构成了组合在给定条件下的上述两方程构成了组合在给定条件下的可行集！可行集！2024/9/17投资学第4章组合风险的几种情形组合风险的几种情形v=1时，时，组合风险等于两种证券各自风险的组合风险等于两种证券各自风险的加权平均加权平均v=0时，时，v=-1时，时，组合的风险最小。如组合的风险最小。如 ,组组合的风险降为合的风险降为02024/9/17投资学第4章v命题命题：完全正相关完全正相关的两种资产组合的可行集是的两种资产组合的可行集是一条直线一条直线2024/9/17投资学第4章收益收益 Erp风险风险p结论：组合收益是组合风险的线性函数结
4、论：组合收益是组合风险的线性函数2024/9/17投资学第4章命题：命题：完全负相关完全负相关的两种资产组合的可行集是的两种资产组合的可行集是两条直线两条直线( (一条折现一条折现) )2024/9/17投资学第4章2024/9/17投资学第4章2024/9/17投资学第4章完全负相关的两种证券组合的可行集图示完全负相关的两种证券组合的可行集图示收益收益rp风险风险p2024/9/17投资学第4章3、不完全相关不完全相关的两种资产组合的可行集的两种资产组合的可行集2024/9/17投资学第4章不同相关程度的两种风险资产组合的可行集不同相关程度的两种风险资产组合的可行集 收益收益Erp 风险风险
5、p=1=1=0=0=-1=-12024/9/17投资学第4章（二）三种风险资产组合的可行集（二）三种风险资产组合的可行集v一般，当资产数量较多时，要保证资产间两两完全一般，当资产数量较多时，要保证资产间两两完全相关不可能。因此，一般假设两种资产不完全相关。相关不可能。因此，一般假设两种资产不完全相关。 收益收益rp风险风险p 12342024/9/17投资学第4章v类似于类似于3 3种资产组合的情形种资产组合的情形 收益收益rp 风险风险p（三）（三）n n种风险资产组合的可行集种风险资产组合的可行集2024/9/17投资学第4章（四）可行集的性质（四）可行集的性质n在在n n种资产中，如至少
6、存在种资产中，如至少存在3 3项资产彼此不项资产彼此不完全相关，则可行集将是一个二维实体区完全相关，则可行集将是一个二维实体区域。域。n可行区域是向左侧凸出的可行区域是向左侧凸出的为什么？为什么？2024/9/17投资学第4章收益收益rp风险风险p不可能的可行集不可能的可行集AB2024/9/17投资学第4章三、有效集三、有效集v在可行集中，有些组合从风险和收益角度来在可行集中，有些组合从风险和收益角度来评价，明显优于另一些组合评价，明显优于另一些组合v任意给定风险水平有最大的预期回报和任意任意给定风险水平有最大的预期回报和任意给定预期回报水平有最小风险的集合叫给定预期回报水平有最小风险的集合
7、叫MarkowitzMarkowitz有效集，又有效集，又称为称为有效边界有效边界Q 投资者的最优组合将从有效边界中产生投资者的最优组合将从有效边界中产生 2024/9/17投资学第4章v可行集中，可行集中，G G为为最小方差组合最小方差组合，GSGS即为有效集即为有效集v、2024/9/17投资学第4章有效组合的微分求解法有效组合的微分求解法* *v均值均值- -方差模型建立的目的是寻找有效边界方差模型建立的目的是寻找有效边界v这是一个优化问题，即这是一个优化问题，即 给定收益的条件下，风险最小化给定收益的条件下，风险最小化 给定风险的条件下，收益最大化给定风险的条件下，收益最大化v马科维茨
8、模型是以资产权重为变量的二次规划问题，马科维茨模型是以资产权重为变量的二次规划问题，采用微分中的拉格朗日方法求解。在限制条件下使采用微分中的拉格朗日方法求解。在限制条件下使组合风险最小时的最优投资比例。组合风险最小时的最优投资比例。路径路径v从经济学的角度分析，就是投资者预先确从经济学的角度分析，就是投资者预先确定一个期望收益率，然后确定组合中每种定一个期望收益率，然后确定组合中每种资产的权重，使其总体投资风险最小资产的权重，使其总体投资风险最小v在不同的期望收益率水平下，得到相应的在不同的期望收益率水平下，得到相应的使方差最小的资产组合解，这些解构成了使方差最小的资产组合解，这些解构成了最小
9、方差组合集合最小方差组合集合2024/9/17投资学第4章2024/9/17投资学第4章例：特定期望收益的最小方差组合的计算例：特定期望收益的最小方差组合的计算2024/9/17投资学第4章v对于上述带有约束条件的优化问题，可引入拉格朗日乘对于上述带有约束条件的优化问题，可引入拉格朗日乘子子和和来解决。（求条件极值）来解决。（求条件极值）v构造构造拉格朗日辅助函数拉格朗日辅助函数如下：如下：v上式分别对上式分别对w wi i求导数，令其一阶导数为求导数，令其一阶导数为0 0，得到方程组：，得到方程组：2024/9/17投资学第4章2024/9/17投资学第4章v上述方程是线性方程组，可通过线性
10、代数加上述方程是线性方程组，可通过线性代数加以解决。以解决。例：例：假设三项不相关的资产，其均值分别为假设三项不相关的资产，其均值分别为1 1，2 2，3 3，方差都为，方差都为1 1，若要得到期望收益为，若要得到期望收益为2 2的该三项资产的最优组合，求解权重。的该三项资产的最优组合，求解权重。2024/9/17投资学第4章2024/9/17投资学第4章由此得到组合的方差为：由此得到组合的方差为：2024/9/17投资学第4章四、四、最优风险资产组合最优风险资产组合（optimal risky portfolio）的确定）的确定n最优投资组合：指某投资者在可以得到的各种可最优投资组合：指某投
11、资者在可以得到的各种可能的投资组合中，唯一可获得最大效用期望值的能的投资组合中，唯一可获得最大效用期望值的投资组合投资组合n投资者是风险厌恶的，最优组合必定位于有效边投资者是风险厌恶的，最优组合必定位于有效边界上界上无差异曲线与有效边界共同决定了最优组合无差异曲线与有效边界共同决定了最优组合有效集的上凸性和无差异曲线的下凸性决定了最优组合有效集的上凸性和无差异曲线的下凸性决定了最优组合的唯一性的唯一性2024/9/17投资学第4章六、六、马克维茨马克维茨资产资产组合理论的评价组合理论的评价2024/9/17投资学第4章（一）理论贡献（一）理论贡献v首次对风险和收益进行精确的描述和衡量，开创首次
12、对风险和收益进行精确的描述和衡量，开创了投资领域了投资领域数量化分析数量化分析的先河的先河v对投资风险的关注对投资风险的关注v从单个证券的分析，转向组合的分析从单个证券的分析，转向组合的分析v分散投资的合理性为基金管理提供理论依据分散投资的合理性为基金管理提供理论依据2024/9/17投资学第4章v当证券数量较多时，计算过程非常复杂，使模型当证券数量较多时，计算过程非常复杂，使模型应用受到限制应用受到限制计算量过大计算量过大相关系数确定或估计中的误差会导致无效结果相关系数确定或估计中的误差会导致无效结果v其隐含的假定其隐含的假定 收益率呈中心对称的概率分布，收益率呈中心对称的概率分布，可能与现
13、实不符可能与现实不符（二）局限性（二）局限性2024/9/17投资学第4章习题习题v股票之间的相关系数如下：。每种股票的期望股票之间的相关系数如下：。每种股票的期望收益率为收益率为8%8%，标准差为，标准差为20%20%。问：。问：如目前投资者的全部资产都是股票如目前投资者的全部资产都是股票A A，且只被允，且只被允许选取另一种股票组成资产组合，投资者将做许选取另一种股票组成资产组合，投资者将做何选择？何选择？2024/9/17投资学第4章习题二习题二v下面哪一种资产下面哪一种资产组合不属于马科组合不属于马科威茨描述的有效威茨描述的有效边界？边界？资产组合资产组合期望收益期望收益标准差标准差（
14、% %）A1536B1215C57D9212024/9/17投资学第4章习题三习题三1 1、下面对资产组合分散化的说法哪些是正确的？、下面对资产组合分散化的说法哪些是正确的？ （ ） A.A.适当的分散化可减少或消除系统风险适当的分散化可减少或消除系统风险 B.B.分散化减少资产组合的期望收益，因为它减少了资产组合的总分散化减少资产组合的期望收益，因为它减少了资产组合的总体风险体风险 C.C.当把越来越多的证券加入到资产组合中时，总体风险一般会以当把越来越多的证券加入到资产组合中时，总体风险一般会以递减的速度下降递减的速度下降 D.D.除非资产组合包含了至少除非资产组合包含了至少3030只以上
15、的个股，分散化降低风险的只以上的个股，分散化降低风险的好处不会充分地发挥出来好处不会充分地发挥出来2 2、测度分散化资产组合中的某一证券的风险用的是：、测度分散化资产组合中的某一证券的风险用的是：（ ） A.A.特有风险特有风险 B.B.收益的标准差收益的标准差 C.C.再投资风险再投资风险 D.D.协方差协方差3 3、马科威茨描述的资产组合理论主要着眼于：、马科威茨描述的资产组合理论主要着眼于： （ ） A.A.系统风险的减少系统风险的减少 B.B.分散化对于资产组合风险的减少分散化对于资产组合风险的减少 C.C.非系统风险的确认非系统风险的确认 D.D.积极的资产管理以扩大收益积极的资产管
16、理以扩大收益4、以下关于相关系数的论述哪个是错误的？、以下关于相关系数的论述哪个是错误的？ （ ）A、当两个资产的相关系数小于、当两个资产的相关系数小于1时，可通过分散化降低风险时，可通过分散化降低风险B、如两资产相关系数等于、如两资产相关系数等于0，可用这两个资产构造出零方差组合，可用这两个资产构造出零方差组合C、如两资产相关系数等于、如两资产相关系数等于1，可用这两个资产构造出零方差组合，可用这两个资产构造出零方差组合D、相关系数越低，分散化投资带来的好处就越大、相关系数越低，分散化投资带来的好处就越大5、 某投资者将一只股票加入到某组合中，如该股票与拟加入组合某投资者将一只股票加入到某组
17、合中，如该股票与拟加入组合有相同标准差，且两者相关系数小于有相同标准差，且两者相关系数小于1，则新组合的标准差将会：，则新组合的标准差将会：（ ）A、降低、降低 B、不变、不变C、增加，但增加量等于新加入股票的标准差、增加，但增加量等于新加入股票的标准差D、增加，但增加量小于新加入股票的标准差、增加，但增加量小于新加入股票的标准差2024/9/17投资学第4章第四节第四节无风险借贷情形下的最优投无风险借贷情形下的最优投资组合选择资组合选择2024/9/17投资学第4章v无风险贷出无风险贷出：指投资者可以将其资金的一：指投资者可以将其资金的一部分投资于无风险资产，获得无风险收益部分投资于无风险资
18、产，获得无风险收益率率v无风险借入无风险借入：指投资者可以以无风险利率：指投资者可以以无风险利率借入资金投资于风险资产，这样将不会受借入资金投资于风险资产，这样将不会受到初始财富的限制到初始财富的限制2024/9/17投资学第4章一、存在无风险资产时的有效组合一、存在无风险资产时的有效组合（ 托宾对托宾对马科威茨资产组合理论的拓展马科威茨资产组合理论的拓展）v托宾发展了资产组合理论托宾发展了资产组合理论假设投资者可以以无风险利率自由借入和贷出假设投资者可以以无风险利率自由借入和贷出资本资本考虑将无风险资产纳入组合管理之中考虑将无风险资产纳入组合管理之中投资范围中加入无风险资产，并且允许卖空无投
19、资范围中加入无风险资产，并且允许卖空无风险资产风险资产2024/9/17投资学第4章（一）存在无风险资产时的可行组合（一）存在无风险资产时的可行组合v（在证券组合中引入无风险资产）将无风险资产与（在证券组合中引入无风险资产）将无风险资产与所有可行风险资产组合进行所有可行风险资产组合进行再组合再组合v无风险资产与风险资产组合的无风险资产与风险资产组合的结合线结合线是一条直线，是一条直线，这条直线称为这条直线称为资本配置线（资本配置线（CALCAL）v允许卖空时，可行域为过允许卖空时，可行域为过F F的两条射线所夹区域。的两条射线所夹区域。v射线与原有效边界相切于射线与原有效边界相切于R R点。点
20、。2024/9/17投资学第4章2024/9/17投资学第4章命题：命题：一种无风险资产与一个风险组合构成的一种无风险资产与一个风险组合构成的新组合的结合线为一条直线新组合的结合线为一条直线2024/9/17投资学第4章一种风险资产与无风险资产构一种风险资产与无风险资产构成的组合，其标准差是风险资成的组合，其标准差是风险资产的权重与标准差的乘积。产的权重与标准差的乘积。v资本配置线的斜率称为资本配置线的斜率称为报酬与报酬与波动性比率波动性比率，即，即风险的边际收益风险的边际收益2024/9/17投资学第4章（二）存在无风险资产时的有效边界（二）存在无风险资产时的有效边界v原有效边界凸向纵轴，因
21、此存在唯一的原有效边界凸向纵轴，因此存在唯一的切点切点R Rv新的有效边界是射线新的有效边界是射线FRFR（最优资本配置（最优资本配置线）线）2024/9/17投资学第4章收益收益rp F不可行不可行R R风险风险非有效非有效2024/9/17投资学第4章二、投资者的选择二、投资者的选择v投资者的无差异曲线与有效边界的切点是自己的投资者的无差异曲线与有效边界的切点是自己的最优组合最优组合v切点的位置不同含义不同（风险厌恶程度的不同切点的位置不同含义不同（风险厌恶程度的不同对资产分配的影响）对资产分配的影响）2024/9/17投资学第4章加入无风险资产后的最优组合加入无风险资产后的最优组合 风险
22、风险收益收益无风险收无风险收益率益率r rf f原组合原组合有效边界有效边界RF新组合的新组合的有效边界有效边界2024/9/17投资学第4章三、组建一个完整投资组合的步骤三、组建一个完整投资组合的步骤v1、确定所有各类资产的、确定所有各类资产的收益特征收益特征（期望收益、（期望收益、方差、协方差）方差、协方差）v2、建立并确定最优风险资产组合、建立并确定最优风险资产组合Rv3、建立包含风险资产和无风险资产的最优资、建立包含风险资产和无风险资产的最优资产组合（将产组合（将资金配置资金配置在在R和无风险资产上）和无风险资产上）2024/9/17投资学第4章* * 最优风险资产组合（最优风险资产组
23、合（optimal risky portfolio）的确定）的确定v一个标准微积分问题一个标准微积分问题v目的是找出权重目的是找出权重W1W1、W2W2 Wn Wn，以使资本配，以使资本配置线的斜率最大置线的斜率最大v可使用可使用ExcelExcel等软件的规划求解功能等软件的规划求解功能2024/9/17投资学第4章* *风险厌恶指数风险厌恶指数A决定了该决定了该投资者的投资者的R的最优比例的最优比例v一个标准微积分问题：求效用的极大值一个标准微积分问题：求效用的极大值 对效用函数求一阶导数，令其为对效用函数求一阶导数，令其为0 0，得到，得到风险资产头风险资产头寸最优比例寸最优比例为：为：
24、2024/9/17投资学第4章习题一习题一v假设投资者有假设投资者有100100万元，在建立资产组合时万元，在建立资产组合时有以下两个机会：有以下两个机会： 无风险资产收益率为无风险资产收益率为12%12%， 风险资产收益率为风险资产收益率为30%30%，标准差为，标准差为40%40%v如投资者资产组合的标准差为如投资者资产组合的标准差为30%30%，那么收，那么收益率为多少？益率为多少？习题二习题二v如果市场允许以无风险利率进行借贷，那如果市场允许以无风险利率进行借贷，那么有效边界上的投资组合就不应存在非系么有效边界上的投资组合就不应存在非系统风险。这一判断对吗？为什么？统风险。这一判断对吗？为什么？2024/9/17投资学第4章
