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1、立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法空间距离的计算（一）空间距离的计算（一）向量方法与传统立体几何方法向量方法与传统立体几何方法“ “两手都要抓，两手都要硬两手都要抓，两手都要硬” ”复习引入复习引入用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和
2、夹角等问题；位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意成相应的几何意义。义。（化为向量问题）（化为向量问题）（进行向量运算（进行向量运算）（回到图形）（回到图形）1.1.两点间距离两点间距离两点间距离两点间距离（1）距离公式求解（距离公式求解（坐标法坐标法）（2）向量求解（）向量求解（基向量法基向量法）求空间求空间A,B两点间的距离两点间的距离 例例1 1：如图如图1，一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶，一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都
3、是60,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？有什么关系？ A1B1C1D1ABCD图图1解解:如图如图1,不妨设不妨设化为向量问题化为向量问题依据向量的加法法则依据向量的加法法则，进行向量运算进行向量运算所以所以回到图形问题回到图形问题这个晶体的对角线这个晶体的对角线 的长是棱长的的长是棱长的 倍倍。=随堂练习随堂练习: :练习1：如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长。 OABCDE 设点P到直线l的距离为d , 则2.2.点到直线的距离点到直线的距离例2：
4、直线l过定点A（2,3,1），且方向向量为 =（0,1,1），求点P（4,3,2）到直线l的距离。o 练习练习2 2：如图，在正方体如图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，棱长为中，棱长为1 1，E E为为D D1 1C C1 1的中点，求点的中点，求点E E到直线到直线A A1 1B B的距离的距离. .点E到直线A1B的距离为如图点如图点P P为平面外一点，点为平面外一点，点A A为平面内一点，平面的法向量为为平面内一点，平面的法向量为 , ,过点过点P P作平面作平面 的垂线的垂线POPO，记，记PAPA和平面和平面 所成的所成的角为角为 ，则
5、点，则点P P到平面到平面 的距离的距离APO3.3.点到平面的距离点到平面的距离求点B1到面A1BE的距离?例例3 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中中, 棱长为棱长为1，E为为D1C1的中点的中点,等体积法解2：例3： 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 棱长为1，E为D1C1的中点,求点B1到面A1BE的距离?CABDC1FE作业：作业：小结小结 利用法向量来解决上述立体几何题目，最利用法向量来解决上述立体几何题目，最大的优点就是大的优点就是不用确定垂足的位置不用确定垂足的位置，完全依，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，用代数推理解立体几何题目，关键就是用代数推理解立体几何题目，关键就是得建得建立空间直角坐标系立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表，把向量通过坐标形式表示出来示出来. .
