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1、在本章中，我们将介绍特征值和特征向量，然后介绍由特征向量组成的矩阵，并且运用这些知识来判断二次型的正定性，与此同时，我们也介绍特征值与行列式、秩、迹的关系，最后我们介绍用行列式来判断二次型正定性的方法，作为特征值方法的补充。第一节 引言二次型二次型 完整形式： 其中 代表变量而 为常数 矩阵表示法： 常要求 为对称矩阵。例 二次型 用矩阵表示为问题问题1： 我们能否通过对变量的一些技巧性变换而化简二次型？问题问题2： 是否存在这样的情况，不论我们为变量赋以何值，二次型总是取同一个正负号？ 定义定义 关于问题2，我们有如下定义： （i）矩阵 为正定正定的，如果对于所有非零实向量 ， （ii）矩阵
2、 为半正定半正定的，如果对于所有实向量 ， （iii）矩阵 为负定负定的，如果对于所有非零实向量 ， （iv）矩阵 为半负定半负定的，如果对于所有实向量 ， （v）矩阵 为不定不定的，如果对于某些向量 为正，而对于某些向量 为负。 第2节 对称矩阵的特征值定义定义 A为 矩阵， 的特征值特征值是一个数 ，对应存在着一个非零向量 ，满足： 该向量 被称为 的特征向量。有如下定义式： 为保证非平凡解的存在，要求 一般而言，上式表达的是 的 次多项式方程次多项式方程： 定理定理 如果 为对称矩阵，那么其所有特征值都为实数。 例 则 为二次方程 其两个特征值为 和 第3节 特殊矩阵的特征值相似矩阵 定
3、义令A和B为nXn矩阵。A和B是相似矩阵，如果存在一非奇异矩阵C使得 定理定理 如果A和B是相似矩阵，其具有相同的特征值。 证明证明 令A和B相似，考虑 因此 和 是同一方程。幂等矩阵幂等矩阵 定理定理 幂等矩阵的特征值为1或0。 证明证明 令A为幂等矩阵，考虑 上下两式想减可得 由于 ，则 或者第4节 对称矩阵的特征向量定义定义 向量集 （两两）正交正交，如果对于 ，有 向量 是标准化标准化的，如果 向量组 为规范正交的规范正交的，如果 定理定理 如果A为对称矩阵，那么对应着不同特征值的特征向量正交。证明 令 和 是两个不同特征值，分别对应于特征向量 和 。那么有 分别左乘 和 ，有 由于
4、是数量， ，同理，而A对称，故 ，则 由于 ，则 定理定理 如果 为K重的特征值，存在着K个对应着 的特征向量，它们和其他特征向量一起构成一个规范正交集。求特征向量求特征向量 求解方法：将下列两式联立求解 例例 求矩阵 特征向量的规范正交向量组。 已知A的两特征值为 和 由 得到 即 由方程可得 ，那么 作为特征向量我们取 由 可得 即 标准化条件要求 ，从而 即 因此我们取第二个特征向量为第5节 列为对称矩阵特征向量的矩阵 的列为对称矩阵A特征向量，A的特征值为 的性质 定义 矩阵B是正交的，如果 定理 是正交矩阵 证明 显然 那么 因此， 定理 矩阵 为对角矩阵，其对角线上的元素为A的特征
5、值。 证明 第6节 二次型的对角化 引言所提第一个问题：能否对二次型进行简化？ 令 是列为A的特征向量的规范正交向量组的矩阵。考虑非奇异替换： 或者 则 其中 为对角矩阵 引言所提第二个问题，我们有如下定理： 定理定理 （i）当且仅当 的每个特征值都为正（负）时，二次型 为正（负）定 （ii）当且仅当 的所有特征值都非负（非正）且至少一个为零时，二次型 为半正（半负）定 （iii）当且仅当的 的特征值有正有负时，二次型 不定 例 的特征值为0和3，故 为半正定的，因此对 于任意 ， ， 第7节 特征值与 ， 和 因为 而 故有如下定理： 对于对称矩阵 ， A的非零特征值的个数 考虑到一个矩阵左
6、乘或者右乘一个非奇异矩阵时，其秩保持不变，故 定理定理 对于对称矩阵 ， 等于其非零特征值的个数 而 则有如下定理：定理 对于对称矩阵 ，第8节 另一种方法：运用行列式定义定义 的顺序主子式为 ， ， ， ， 。 定理 当 为 对称矩阵，则 （i）当且仅当 的 个顺序主子式都为正时，其为正定矩阵。 （ii）当且仅当 的顺序主子式正负符号交替变化：第一个为负，下一个为负，依此类推，其为负定矩阵例 考虑 其顺序主子式为 -1， ， 这些顺序主子式符号交替变化，其第一个为负，则 为负定矩阵。 定义定义 的主子式为 剔除同号行列后形成的子方阵的行列式 定理定理 令 为对称矩阵，则 （i）当且仅当所有的主子式大于等于零时，其为半正定。 （ii）当且仅当所有奇阶数主子式小于等于零而所有的偶阶数主子式大于等于零时，其为半负定。 例 其主子式为 1，1，3都大于等于零 ， ， 都大于等于零 ， 故 为半负定
