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1、3.1.3空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算(2课时)W= |F| |s| cos 根据功的计算根据功的计算,我们定义了平面两向量的我们定义了平面两向量的数量积运算数量积运算.一旦定义出来一旦定义出来,我们我们发现这种运发现这种运算非常有用算非常有用,它能解决有关它能解决有关长度和角度长度和角度问题问题.空间向量的数量积运算(2课时)回顾平面向量数量积的回顾平面向量数量积的定义定义 已知两个非零向量已知两个非零向量 , 则则叫做叫做 的数量积，记作的数量积，记作 , 即即OAB向量的夹角：向量的夹角：B空间向量的数量积运算(2课时)1)1)两个向量的夹角的定义两个向量
2、的夹角的定义: :O OA AB B空间向量的数量积运算(2课时)2 2）两个向量的数量积）两个向量的数量积注注:两个向量的数量积是两个向量的数量积是数量数量，而不是向量，而不是向量. . 规定规定: :零向量零向量与任意向量的数量积等于与任意向量的数量积等于零零.A1 1B1 1BA空间向量的数量积运算(2课时)3)3)数量积的主要性质：数量积的主要性质：空间向量的数量积运算(2课时)利用空间向量数量积的性质可以解决的立体利用空间向量数量积的性质可以解决的立体几何问题：几何问题：3）向量的夹角（两异面直线所成的角）向量的夹角（两异面直线所成的角）2）证明垂直问题）证明垂直问题1）线段的长（两
3、点间的距离）线段的长（两点间的距离），也就是，也就是说空间向量的数量积运算(2课时)4)4)数量积的运算规律：数量积的运算规律：思考：等式思考：等式 是否成立？是否成立？ 该等式左端是与该等式左端是与c共线的向量，而右端是与共线的向量，而右端是与a共线的向量，它们不一定相等共线的向量，它们不一定相等.空间向量的数量积运算(2课时)思考思考1.下列命题成立吗?若 ,则若 ,则空间向量的数量积运算(2课时)典型例题典型例题应用一应用一:空间向量数量积的定义空间向量数量积的定义空间向量的数量积运算(2课时)A AD DF FC CB BE E针对性训练针对性训练应用一应用一:空间向量数量积的定义空间
4、向量数量积的定义空间向量的数量积运算(2课时)典型例题典型例题空间向量的数量积运算(2课时)空间向量的数量积运算(2课时)空间向量的数量积运算(2课时)例例3 如图，已知线段在平面如图，已知线段在平面 内，线段内，线段，线段，线段 ，线段，线段， ，如，如果，求、之间的距离。果，求、之间的距离。解：由，可知解：由，可知. .由由 知知 . . 典型例题典型例题空间向量的数量积运算(2课时) 小小 结：结： 通过学习通过学习, , 我们可以利用向量数量积解决立体几何中我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：的以下问题： 1 1、证明两直线垂直、证明两直线垂直; ; 2 2、求两点之间的距
5、离或线段长度、求两点之间的距离或线段长度; ; 3 3、求两直线所成角、求两直线所成角. . 空间向量的数量积运算(2课时)空间向量的数量积运算(2课时)空间向量的数量积运算(2课时)妙妙!空间向量的数量积运算(2课时) 已知点已知点O是正是正ABC平面外一点，若平面外一点，若OA=OB=OC=AB=1，E、F分别是分别是AB、OC的中点，用向量法解决下列问题：的中点，用向量法解决下列问题：(1)计算计算 ；(2)求求OE与与BF所成角的余弦值；所成角的余弦值；(3)证明证明 ；(4)求求EF的距离的距离.OABCEF练习练习3：空间向量的数量积运算(2课时)解：解：课后练习2空间向量的数量积
6、运算(2课时)典型例题典型例题例例2 在平面内的一条直线在平面内的一条直线,如果和这个平面的一如果和这个平面的一条斜线的射影垂直条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直那么它也和这条斜线垂直.分析分析：用向量来证明：用向量来证明两直线垂直，只需证两直线垂直，只需证明两直线的方向向量明两直线的方向向量的数量积为零即可！的数量积为零即可！空间向量的数量积运算(2课时)证明：证明：如图如图,已知已知:求证：求证：在直线在直线l上取向量上取向量 ,只要证只要证为为逆命题成立吗?空间向量的数量积运算(2课时)分析分析:同样可用向量同样可用向量,证明思路几乎一样证明思路几乎一样,只只不过其中的加法运算不过
7、其中的加法运算用减法运算来分析用减法运算来分析.空间向量的数量积运算(2课时)分析：分析：要证明一条直线与一个平面要证明一条直线与一个平面垂直垂直, ,由直线与平面垂直的定义可由直线与平面垂直的定义可知知, ,就是要证明这条直线与平面内就是要证明这条直线与平面内的的任意一条直线任意一条直线都垂直都垂直. .例例3:(试用试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线已知直线m ,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m, n,求证求证: .mng 取已知平面内的任一条直线取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方拿相关直线的方
8、向向量来分析向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件看条件可以转化为向量的什么条件?要要证的目标可以转化为向量的什么目标证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量怎样建立向量的条件与向量的目标的联系的条件与向量的目标的联系? 共面向量定理共面向量定理空间向量的数量积运算(2课时)mng解解: 在在 内作不与内作不与m ,n重合的任一直线重合的任一直线g,在在 上取非零向量上取非零向量 因因m与与n相交相交,故向量故向量m ,n不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一实数存在唯一实数 ,使使 例例3:已知直线已知直线m ,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m, n,求证求证: .空间向量的数量积运算(2课时)
