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1、附录小专题串方法附录小专题串方法专题一串通各章节求最值的方法专题一串通各章节求最值的方法最值是高中数学中广泛存在的一类问题最值是高中数学中广泛存在的一类问题, ,也是高考的热点问题也是高考的热点问题, ,下面介下面介绍求最值的常用方法绍求最值的常用方法. .方法一方法一函数方法函数方法类型类型1.1.利用已知函数性质利用已知函数性质【例【例1 1】 (2015(2015内蒙古包头二模内蒙古包头二模) )函数函数y=cosy=cos 2x+2cos x 2x+2cos x的最小值是的最小值是. .思路点拨思路点拨: :利用余弦倍角公式和换元法转化为二次函数在闭区间上的利用余弦倍角公式和换元法转化
2、为二次函数在闭区间上的最值最值. .方法总结方法总结 根据已知函数解析式根据已知函数解析式, ,直接利用已知的基本初等函数的性直接利用已知的基本初等函数的性质质( (最值、单调性、奇偶性等最值、单调性、奇偶性等) )是函数方法的主要类型之一是函数方法的主要类型之一. .思路点拨思路点拨: :根据根据E E点在线段点在线段ADAD上移动上移动, ,利用共线向量定理设出变量利用共线向量定理设出变量x,x,建立求建立求解目标关于解目标关于x x的函数关系后利用函数性质求解的函数关系后利用函数性质求解. .方法总结方法总结 很多最值问题需要先建立函数模型很多最值问题需要先建立函数模型, ,然后再使用函
3、数性质然后再使用函数性质求解求解. .建立函数模型的关键是找到一个变量建立函数模型的关键是找到一个变量, ,利用该变量表达求解目标利用该变量表达求解目标, ,变量可以是实数变量可以是实数, ,也可以是一个角度也可以是一个角度( (如果使用弧度制实际上也可以看如果使用弧度制实际上也可以看作一个实数作一个实数),),还可以是一个变量不等式等还可以是一个变量不等式等, ,建立函数模型需要注意建建立函数模型需要注意建立的函数模型的定义域立的函数模型的定义域. . 方法二方法二不等式法不等式法类型类型1.1.建立求解目标的不等式建立求解目标的不等式【例【例3 3】 (2015(2015甘肃省河西五地市联
4、考甘肃省河西五地市联考) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中, ,圆圆C C的方程为的方程为x x2 2+y+y2 2-8x+15=0,-8x+15=0,若直线若直线y=kx+2y=kx+2上至少存在一点上至少存在一点, ,使得以该点为使得以该点为圆心圆心, ,半径为半径为1 1的圆与圆的圆与圆C C有公共点有公共点, ,则则k k的最小值是的最小值是. .思路点拨思路点拨: :根据直线与圆的位置关系建立关于根据直线与圆的位置关系建立关于k k的不等式的不等式, ,解不等式得解不等式得k k的取值范围即可得出其最小值的取值范围即可得出其最小值. .方法总结方法总结 把求解目标归
5、入一个不等式把求解目标归入一个不等式, ,通过解不等式得出目标最值通过解不等式得出目标最值, ,是求最值的常用方法之一是求最值的常用方法之一, ,在解析几何中求离心率的最值、一般问题在解析几何中求离心率的最值、一般问题中求参数最值中经常使用中求参数最值中经常使用. .思路点拨思路点拨: :以以OHMOHM为变量建立求解目标的函数关系后为变量建立求解目标的函数关系后, ,通过变换使用基本不等式通过变换使用基本不等式. .方法总结方法总结 基本不等式是求最值的最常用方法之一基本不等式是求最值的最常用方法之一, ,使用基本不等式使用基本不等式时要注意时要注意:(1):(1)基本不等式的使用条件和等号
6、是否能够成立基本不等式的使用条件和等号是否能够成立;(2);(2)变换已变换已知不等式使之符合使用基本不等式的条件知不等式使之符合使用基本不等式的条件. .方法三方法三导数法导数法思路点拨思路点拨: :首先使用基本不等式把首先使用基本不等式把e ex+y-2x+y-2+e+ex-y-2x-y-2+2+2变为单变量表达式变为单变量表达式, ,分离分离参数后参数后, ,把不等式恒成立问题转化为函数最值问题把不等式恒成立问题转化为函数最值问题, ,构造函数使用导数方构造函数使用导数方法求函数最值法求函数最值. .方法总结方法总结 不等式恒成立问题的一个基本处理方法是转化为函数最值不等式恒成立问题的一
7、个基本处理方法是转化为函数最值, ,需要通过构造函数求函数最值需要通过构造函数求函数最值, ,而求函数最值中导数方法是最有效的而求函数最值中导数方法是最有效的. .注意使用导数求函数最值的基本步骤注意使用导数求函数最值的基本步骤. .方法四方法四几何意义法几何意义法( ( 数形结合法数形结合法) )思路点拨思路点拨: :(1)(1)根据函数图象的对称性转化为曲线上的点与直线上的点之间的最近距离根据函数图象的对称性转化为曲线上的点与直线上的点之间的最近距离; ;答案答案: :(1)B (1)B (2)(2015(2)(2015河北省石家庄市高三下学期二模河北省石家庄市高三下学期二模) )设点设点
8、P,QP,Q分别是曲线分别是曲线y=xey=xe-x-x(e(e是自然对数的底是自然对数的底数数) )和直线和直线y=x+3y=x+3上的动点上的动点, ,则则P,QP,Q两点间距离的最小值为两点间距离的最小值为. .思路点拨思路点拨: :(2)(2)与直线与直线y=x+3y=x+3平行的曲线平行的曲线y=xey=xe-x-x的切线之间的距离即为所求的切线之间的距离即为所求. .方法总结方法总结 求与直线不相交的曲线上的点与该直线的距离最值的最直求与直线不相交的曲线上的点与该直线的距离最值的最直观方法就是观方法就是“平行切线法平行切线法”, ,是数形结合思想的具体体现是数形结合思想的具体体现.
9、 .思路点拨思路点拨: :(1)(1)点点(x,y(x,y) )为一平面区域内的动点为一平面区域内的动点, ,目标的几何意义是动点到定点距离的平方目标的几何意义是动点到定点距离的平方; ;思路点拨思路点拨: :(2)(a,b),(c,d)(2)(a,b),(c,d)看作点的坐标看作点的坐标, ,则该两点各自在一条曲线与一条直则该两点各自在一条曲线与一条直线上线上, ,目标的几何意义是曲线上的点与直线上的点的距离的平方目标的几何意义是曲线上的点与直线上的点的距离的平方. .方法总结方法总结 把求解目标的代数表达式赋予其几何意义把求解目标的代数表达式赋予其几何意义, ,就可以把代数就可以把代数问题
10、转化为几何问题、函数问题解决问题转化为几何问题、函数问题解决. .常见的目标函数的几何意义有常见的目标函数的几何意义有: :两点连线的斜率、两点间的距离、直线上的点与曲线上的点的距离等两点连线的斜率、两点间的距离、直线上的点与曲线上的点的距离等. .方法五方法五构造法构造法思路点拨思路点拨: :分离参数后转化为函数的最值问题分离参数后转化为函数的最值问题, ,对含变量对含变量x,yx,y的表达式构造函数的表达式构造函数, ,求函数最值求函数最值. .方法总结方法总结 任意实数任意实数a,ba,b, ,当当b0b0时时, ,一定存在实数一定存在实数,使得使得a=ba=b, ,使使用这个知识用这个
11、知识, ,可以把某些以比值形式出现的二元不等式转化为一元不可以把某些以比值形式出现的二元不等式转化为一元不等式等式. .思路点拨思路点拨: :联想两点间距离公式联想两点间距离公式, ,构造平面直角坐标系中的一个图形模型构造平面直角坐标系中的一个图形模型, ,根据根据几何意义求解几何意义求解. .方法总结方法总结 根据求解目标的特点根据求解目标的特点, ,通过联想已知知识构造恰当的模型通过联想已知知识构造恰当的模型( (如正方形、正方体、函数、数列等如正方形、正方体、函数、数列等) )求解最值求解最值. .方法六方法六综合几何法综合几何法思路点拨思路点拨: :把圆锥的侧面展开把圆锥的侧面展开,
12、,转化为平面上两点间的距离转化为平面上两点间的距离. .方法总结方法总结 空间几何体表面上曲线、折线的长度最值问题可以通过表空间几何体表面上曲线、折线的长度最值问题可以通过表面展开转为平面上线段的最值问题面展开转为平面上线段的最值问题. .思路点拨思路点拨: :根据所求函数的特点根据所求函数的特点, ,把两个根式转化为平面上两点间的距离把两个根式转化为平面上两点间的距离, ,结结合平面几何中两点之间以连接这两点的线段长度最短合平面几何中两点之间以连接这两点的线段长度最短, ,如果两点在直线的两如果两点在直线的两侧侧, ,根据对称关系进行转化根据对称关系进行转化. .方法总结方法总结 根据两点间
13、的距离公式根据两点间的距离公式, ,把这类带有两个二次根式的函数把这类带有两个二次根式的函数转化为在平面上某条直线上的动点到两个定点的距离之和转化为在平面上某条直线上的动点到两个定点的距离之和, ,当两个点当两个点在直线两侧时在直线两侧时, ,两点间的距离就是所求的最小值两点间的距离就是所求的最小值, ,当两个点在直线的一当两个点在直线的一侧时侧时, ,求出其中一个点关于直线的对称点求出其中一个点关于直线的对称点, ,则直线上的点到这个点及其则直线上的点到这个点及其对称点的距离始终相等对称点的距离始终相等, ,此时这个对称点和另外一点之间的距离就是此时这个对称点和另外一点之间的距离就是其最小值其最小值. .求函数最值的方法是非常丰富的求函数最值的方法是非常丰富的, ,上面所论只是其中较为典型的方法上面所论只是其中较为典型的方法, ,高中数学各个知识板块中求最值的方法都具有其特殊性高中数学各个知识板块中求最值的方法都具有其特殊性, ,我们可以回我们可以回顾一轮复习的各个部分顾一轮复习的各个部分, ,全面把握求最值的方法全面把握求最值的方法. .
