数学建模期末课程复习

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1、泰州学院数学建模教案数学建模数学建模课程复习课程复习9/17/20241泰州学院数学建模教案讲授内容讲授内容第一章第一章 mathematica软件简介软件简介第二章第二章 建立数学模型建立数学模型第三章第三章 初等模型初等模型第四章第四章 简单优化模型简单优化模型第五章第五章 数学规划模型数学规划模型第六章第六章 微分方程模型微分方程模型试卷构成：试卷构成：2条程序题，条程序题，2条建条建模题模题试卷分为试卷分为A、B卷卷第七章第七章 差分方程模型差分方程模型9/17/20242泰州学院数学建模教案一、程序的阅读与理解一、程序的阅读与理解二、拟人化动物安全过河问题二、拟人化动物安全过河问题四

2、、车流速度与车流密度的关系问题四、车流速度与车流密度的关系问题五、钢管的下料问题五、钢管的下料问题六、铁路平板车的装载问题六、铁路平板车的装载问题八、旋转液体表面的形状问题八、旋转液体表面的形状问题九、九连环问题九、九连环问题七、原料的供应问题七、原料的供应问题三、光盘数据容量的计算三、光盘数据容量的计算9/17/20243泰州学院数学建模教案友情提醒：友情提醒： 按照复习课的思路认真复习，准备考试按照复习课的思路认真复习，准备考试 对认真听课的同学，如果不认真复习，仍然可能对认真听课的同学，如果不认真复习，仍然可能考试不及格考试不及格 对没有认真听课甚至缺课较多的同学，如果不认对没有认真听课

3、甚至缺课较多的同学，如果不认真复习，一定是考试不及格；真复习，一定是考试不及格；如果认真复习，基本如果认真复习，基本还是能够考及格的还是能够考及格的 考试要能得到高分有一定的难度，但考及格还是考试要能得到高分有一定的难度，但考及格还是容易实现的容易实现的9/17/20244泰州学院数学建模教案1. 阅读下列程序，并用文字叙述程序运行的结果。阅读下列程序，并用文字叙述程序运行的结果。答答 定义了函数定义了函数并求方程组并求方程组 的解的解一、程序的阅读与理解一、程序的阅读与理解9/17/20245泰州学院数学建模教案2. 阅读下列程序，并用文字叙述程序运行的结果。阅读下列程序，并用文字叙述程序运

4、行的结果。答答 该程序中定义函数该程序中定义函数f(x)是是cos x的的3(i-1)阶麦克劳林阶麦克劳林多项式（或泰勒多项式），多项式（或泰勒多项式），画出多幅图形，其中第画出多幅图形，其中第i 幅图中有幅图中有cocos x的曲线及的曲线及f(x)的曲线，并且前者曲线的曲线，并且前者曲线是红色的，后者曲线是兰色的，其范围是：是红色的，后者曲线是兰色的，其范围是：，9/17/20246泰州学院数学建模教案3. 阅读下列程序，并用文字叙述程序运行的结果。阅读下列程序，并用文字叙述程序运行的结果。9/17/20247泰州学院数学建模教案答答 该程序定义了一个函数（通用性程序），其功能该程序定义了

5、一个函数（通用性程序），其功能是是对于参数方程所确定的函数对于参数方程所确定的函数输出；以参数方程输出；以参数方程 为例计算为例计算1 1至至1010阶阶导数的具体结果。导数的具体结果。计算计算y对对x的任意阶导数，并按照的任意阶导数，并按照 的形式的形式9/17/20248泰州学院数学建模教案4. 阅读下列程序，并用文字叙述程序运行的结果。阅读下列程序，并用文字叙述程序运行的结果。答答 该程序画出了分段函数该程序画出了分段函数的图形，画图范围：的图形，画图范围：，曲线颜色为绿色，曲线颜色为绿色9/17/20249泰州学院数学建模教案5. 阅读下列程序，并用文字叙述程序运行的结果。阅读下列程序

6、，并用文字叙述程序运行的结果。答答 定义函数定义函数利用迭代公式利用迭代公式求解方程求解方程的近似根，误差的近似根，误差 ，并显示近似根的结果。，并显示近似根的结果。 ，9/17/202410泰州学院数学建模教案6. 下列程序可以画出如图所示的五个圆环下列程序可以画出如图所示的五个圆环已知奥运五环从左至右五环圆心位置、颜色分别为已知奥运五环从左至右五环圆心位置、颜色分别为(-2.5, 0) 0, 0.5, 0.8，(-1.25, -1) 0.9, 0.7, 0，(0, 0) 0, 0, 0，(1.25, -1) 0, 0.7, 0，(2.5, 0) 0.8, 0, 0线宽为线宽为 0.02，

7、请在上述程序的基础上编写一段程序请在上述程序的基础上编写一段程序（将适当的地方进行修改）以画出奥运五环。（将适当的地方进行修改）以画出奥运五环。而奥运五环是而奥运五环是9/17/202411泰州学院数学建模教案答答 程序为程序为结果为结果为9/17/202412泰州学院数学建模教案 设狮子、老虎、狗熊大小各一只乘船过河，一只设狮子、老虎、狗熊大小各一只乘船过河，一只小船每次只能容纳小船每次只能容纳2个动物（不论大小），已知：个动物（不论大小），已知： （1）三个大动物及小狮子会划船；）三个大动物及小狮子会划船； （2）当同类大小动物不在一起时，异类大动物将）当同类大小动物不在一起时，异类大动物

8、将吃掉小动物；吃掉小动物； 试建立动物安全过河的数学模型并用图解法求试建立动物安全过河的数学模型并用图解法求解。解。 （提示：可用空间图形求解）（提示：可用空间图形求解）二、拟人化动物安全过河问题二、拟人化动物安全过河问题9/17/202413泰州学院数学建模教案符号引入符号引入xk第第k次渡河前此岸的大动物数次渡河前此岸的大动物数yk第第k次渡河前此岸除小狮子以外的小动物数次渡河前此岸除小狮子以外的小动物数xk=0,1,2,3;sk=(xk , yk , zk) 过程的状态过程的状态S=(0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 2, 0), (0, 1, 1)

9、, (0, 2, 1), (3, 0, 0), (3, 1, 0), (3, 0, 1), (3, 2, 0), (3, 1, 1), (3, 2, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (2, 2, 0), (2, 1, 1)S 可行可行状态集合状态集合 yk=0,1,2;k=1,2, zk第第k次渡河前此岸的小狮子数次渡河前此岸的小狮子数 zk=0,1;9/17/202414泰州学院数学建模教案uk第第k次渡河时船上的大动物数次渡河时船上的大动物数vk第第k次渡河时船上除小狮子以外的小动物数次渡河时船上除小狮子以外的小动物数dk=(xk , yk , zk) 第第k次过河时的

10、决次过河时的决策策D=(1, 0, 0), (0, 0, 1), (2, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)D 可行决策可行决策集合集合k=1,2, wk第第k次渡河时船上的小狮子数次渡河时船上的小狮子数则则sk+1 = sk dk +(-1)k 状态转移律状态转移律9/17/202415泰州学院数学建模教案模型建立模型建立 求求dk D (k=1,2, n), 使使sk S, 并按并按转移规律转移规律由由 初始状态初始状态 s1= (3,2,1) 到达目标状态到达目标状态 sn+1= (0,0,0).模型求解模型求解图解法图解法由于状态是空间点坐标，

11、所以借助于空间图形求解由于状态是空间点坐标，所以借助于空间图形求解可行可行状态集合状态集合S 16个个 点点可行决策可行决策 移动移动1或或2格格; k为为奇数时奇数时, ,向着变量减小的方向（左下后）移向着变量减小的方向（左下后）移; k为为偶数时偶数时, ,向着变量增大的方向（右上前）向着变量增大的方向（右上前）移移.9/17/202416泰州学院数学建模教案xyzd1：小狮小虎过河小狮小虎过河d2：小狮回来小狮回来d3：小狮小熊过河小狮小熊过河d4：小狮回来小狮回来d5：大虎大熊过河大虎大熊过河d6：大虎小虎回来大虎小虎回来d7：大狮小狮过河大狮小狮过河d8：大熊小熊回来大熊小熊回来d9

12、：大虎大熊过河大虎大熊过河d10：小狮回来小狮回来d11：小狮小虎过河小狮小虎过河d12：小狮回来小狮回来d13：小狮小熊过河小狮小熊过河 s1= (3, 2, 1) sn+1= (0, 0, 0)9/17/202417泰州学院数学建模教案光盘的数据容量与激光形式及光盘的驱动形式有关光盘的数据容量与激光形式及光盘的驱动形式有关激光器激光器激光波长激光波长（m）信道间距信道间距（m）数据线密数据线密度（字节度（字节/mm）影像时间影像时间(占用字节占用字节/秒秒)红外红外(CD)0.781.61210.62M红色红色(DVD)0.640.74387蓝色蓝色(DVD)0.410.32800三、光盘

13、数据容量的计算三、光盘数据容量的计算激光形式的相关数据如下：激光形式的相关数据如下： 光盘的驱动形式采用有光盘的驱动形式采用有恒定线速度恒定线速度(CLV)方式。方式。 已知光盘内圆半径已知光盘内圆半径R1=22.5 mm，外圆半径外圆半径R2=58 mm , 试对上述每种激光，计算光盘的数据容量。试对上述每种激光，计算光盘的数据容量。 9/17/202418泰州学院数学建模教案LCLV 信道总长度，信道总长度， 数据容量数据容量线密度线密度,d 信道间距信道间距环形区域面积信道总长度环形区域面积信道总长度信道间距信道间距 激光器激光器信道间信道间距距(m)线密度线密度(B/mm)信道长度信道

14、长度(mm)信息容信息容量量 (MB)影像时影像时间间(min)红外红外(CD)1.61215,611,17967918红色红色(DVD)0.7438712,132,2794,695126蓝色蓝色(DVD)0.3280028,055,89522,4456039/17/202419泰州学院数学建模教案四、车流速度与车流密度的关系问题四、车流速度与车流密度的关系问题设车流中第设车流中第n辆车的位置为辆车的位置为 、速度为、速度为 .（2 2）在稳定状态下，车速）在稳定状态下，车速v及相邻两车的车头间隔及相邻两车的车头间隔d都相同，因而车流密度都相同，因而车流密度 是常数；是常数；假设：假设：（3

15、3）当第）当第n -1-1辆车减速或加速致使稳定状态被破坏辆车减速或加速致使稳定状态被破坏时，第时，第n辆车施加的力与两车的速度差成正比，与两车辆车施加的力与两车的速度差成正比，与两车间隔的距离成反比，使得稳定状态重新恢复；间隔的距离成反比，使得稳定状态重新恢复；（1 1）车速）车速v是车流密度是车流密度k的函数，的函数， （阻塞密度）（阻塞密度）时，时， ; 时，时， ；9/17/202420泰州学院数学建模教案模型建立模型建立试建立车速试建立车速v与车流密度与车流密度k的关系模型。的关系模型。 根据牛顿第二定律和假设根据牛顿第二定律和假设3 3，得，得 是比例系数，由是比例系数，由 ， ，

16、得，得9/17/202421泰州学院数学建模教案由假设由假设2 2，稳定状态恢复后，稳定状态恢复后， ，即即两边积分，得两边积分，得 代入上式代入上式由由 ， ，得，得车速与车流密度的对数模型车速与车流密度的对数模型 9/17/202422泰州学院数学建模教案问题问题1. 如何下料最节省如何下料最节省? ? 问题问题2. 客户增加需求：客户增加需求：原料钢管原料钢管: :每根每根19米米 4米米50根根 6米米20根根 8米米15根根 客户需求客户需求 同时，如果采用太多的不同同时，如果采用太多的不同切割模式切割模式，将会增加，将会增加生产和管理成本，所以规定切割模式不能超过生产和管理成本，所

17、以规定切割模式不能超过3 3种。种。如何下料最节省？如何下料最节省？5米米10根根 五、钢管的下料问题五、钢管的下料问题9/17/202423泰州学院数学建模教案目的目的：为满足客户对钢管尺寸及数量的需要，求按照：为满足客户对钢管尺寸及数量的需要，求按照哪些种模式切割，每种模式切割多少根原料钢管，最哪些种模式切割，每种模式切割多少根原料钢管，最为节省？为节省？合理切割模式合理切割模式钢管下料问题钢管下料问题1 模式模式4米钢管根数米钢管根数 6米钢管根数米钢管根数 8米钢管根数米钢管根数余料余料( (米米) )1 4 0 032 3 1 013 2 0 134 1 2 035 1 1 116

18、0 3 017 0 0 239/17/202424泰州学院数学建模教案节省的标准有两种节省的标准有两种2. 所用原料钢管总根数最少所用原料钢管总根数最少 1. 原料钢管剩余总余量最小原料钢管剩余总余量最小xi 按第按第i 种模式切割的原料钢管的根数种模式切割的原料钢管的根数( (i= =1,2,7) ) 决策变量决策变量 9/17/202425泰州学院数学建模教案目标目标1（总余量最小）（总余量最小）结论：结论：按模式按模式2切割切割12根根, ,按模式按模式5切割切割15根，余料根，余料27米米 模模式式4米米根数根数6米米根数根数8米米根数根数余余料料1400323101320134120

19、3511116030170023需求需求502015最优解：最优解： x2=12, x5=15, 其余为其余为0最优值：最优值：27Lingo编程求解编程求解9/17/202426泰州学院数学建模教案最优解：最优解：x1=5, x2=5, x5=15, 其余为其余为0最优值：最优值：25结论：结论： 按模式按模式1切割切割5根根 按模式按模式2切割切割5根根 按模式按模式5切割切割15根根 共共25根，余料根，余料35米米 目标目标2（总根数最少）（总根数最少）Lingo编程求解编程求解9/17/202427泰州学院数学建模教案增加了约束：增加了约束：4种需求：种需求：4米米50根，根，5米米

20、10根，根，6米米20根，根，8米米15根根钢管下料问题钢管下料问题2 规格上规格上 5米米10根根方式上方式上 切割切割模式不超过模式不超过3种种原料钢管总根数下界：原料钢管总根数下界： 一种经验下料方式：对原料钢管一种经验下料方式：对原料钢管模式模式1：切割成：切割成4根根4米钢管，需米钢管，需13根；根；模式模式2：切割成：切割成1根根5米和米和2根根6米钢管，需米钢管，需10根；根；模式模式3：切割成：切割成2根根8米钢管，需米钢管，需8根。根。原料钢管总根数：原料钢管总根数：13+10+8=31 最最优优方方案案？9/17/202428泰州学院数学建模教案对大规模问题，用模型的约束条

21、件界定合理模式对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式由于切割规格的多样化（由于切割规格的多样化（4米，米，5米，米，6米，米，8米），米），如果用枚举法确定合理切割模式，则过于复杂如果用枚举法确定合理切割模式，则过于复杂决策变量决策变量 xi 按第按第i 种模式切割的原料钢管根数种模式切割的原料钢管根数( (i= =1,2,3) )，设设 r1i, r2i, r3i, r4i 第第i 种切割模式下，每根原料钢管种切割模式下，每根原料钢管生产生产4米、米、5米、米、6米和米和8米长的钢管的数量米长的钢管的数量9/17/202429泰州学院数学建模教案整数非整数非线性规线性规划模型划模型目标函

22、数（目标函数（总根数最少）总根数最少）9/17/202430泰州学院数学建模教案 ）的的包包装装箱箱装装到到 3辆辆铁铁路路平平板板车车上上去去。已已知知包包装装箱箱内内装装有有工工业业用用品品或或生生活活用用品品（不不可可混混装装），其其中中 1、2号号平平板板车车装装工工业业用用品品， 3号号平平板板车车装装生生活活用用品品（也也不不可可混混装装）。包包装装箱箱的的宽宽和和高高都都是是相相同同的的，但但厚厚度度 t （以以厘厘米米计计要把七种规格（记为要把七种规格（记为 （以吨计）却不同。每种规格包装箱（以吨计）却不同。每种规格包装箱的厚度、重量及工业用品箱数、生活用品箱数如的厚度、重量及

23、工业用品箱数、生活用品箱数如下表所示：下表所示： ）及重量）及重量 每每辆辆平平板板车车有有 10.2米米长长的的地地方方可可以以用用来来装装箱箱（像像面面包包片片那那样样），载载重重为为 40吨吨。由由于于当当地地货货运运的的限限制制，每每辆辆平平板板车车上上对对装装有有 三三种种规规格格工工业业用品的包装箱，其总厚度不得超过用品的包装箱，其总厚度不得超过3米。米。六、铁路平板车的装载问题六、铁路平板车的装载问题9/17/202431泰州学院数学建模教案 试将这些包装箱装到平板车上去（每辆平板车仅试将这些包装箱装到平板车上去（每辆平板车仅装一次车，不一定装完），使得浪费的空间最小；装一次车，

24、不一定装完），使得浪费的空间最小； 规格规格c1c2c3c4c5c6c7厚度厚度t (厘米厘米)48.7 52 61.3 72 48.7 5264重量重量w (吨吨)2310.5421工业用品箱数工业用品箱数6676435生活用品箱数生活用品箱数23343349/17/202432泰州学院数学建模教案符号引入符号引入符号符号 意意 义义 第第i 种规格的包装箱在第种规格的包装箱在第j 辆平板车上的箱数辆平板车上的箱数第第i 种规格包装箱的厚度种规格包装箱的厚度由题目得：由题目得：第第i 种规格包装箱的重量种规格包装箱的重量第第i 种规格种规格工业用品包装箱的箱数工业用品包装箱的箱数第第i 种规

25、格种规格生活用品包装箱的箱数生活用品包装箱的箱数且且 、 、 、 均为已知数均为已知数9/17/202433泰州学院数学建模教案模型建立模型建立整数线性规划模型整数线性规划模型9/17/202434泰州学院数学建模教案模型求解模型求解编写编写Lingo程序求解模型程序求解模型9/17/202435泰州学院数学建模教案七、原料的供应问题七、原料的供应问题 某建筑公司有某建筑公司有10个建筑工地，每个工地的位置个建筑工地，每个工地的位置（用平面坐标系的坐标（用平面坐标系的坐标a、b表示，距离的单位：公表示，距离的单位：公里）及水泥、黄沙日用量里）及水泥、黄沙日用量c、d（单位：吨）由下表给（单位：

26、吨）由下表给出。已知有三个原料供应场，分别位于出。已知有三个原料供应场，分别位于 、 及及 ，日储量各有水泥，日储量各有水泥17吨、黄沙吨、黄沙28吨。假设从料场到工地之间均有直线道路相连，吨。假设从料场到工地之间均有直线道路相连，且供应量按整吨数计算。且供应量按整吨数计算。试以每天的供应计划为决试以每天的供应计划为决策变量，以总运量（吨公里数）最小为目标，建立策变量，以总运量（吨公里数）最小为目标，建立优化模型。优化模型。9/17/202436泰州学院数学建模教案123456789102.02.33.84.15.55.67.2 8.9 10.5 12.13.50.26.33.30.85.21

27、.9 4.05.82.343376355849541010779146工地的位置（工地的位置（a, ,b）及水泥日用量及水泥日用量c、黄沙日用量、黄沙日用量d9/17/202437泰州学院数学建模教案符号引入符号引入符号符号 意意 义义 工地工地 i 的位置的位置工地工地 i 水泥的日用量水泥的日用量料场料场 j 的位置的位置从料场从料场 j 向工地向工地 i 供应的水泥量供应的水泥量， 工地工地 i 黄沙的日用量黄沙的日用量从料场从料场 j 向工地向工地 i 供应的黄沙量供应的黄沙量9/17/202438泰州学院数学建模教案模型建立模型建立整数线性规划模型整数线性规划模型9/17/20243

28、9泰州学院数学建模教案模型求解模型求解9/17/202440泰州学院数学建模教案问问题题 现有一个圆柱形容器中装有一些液体，试讨现有一个圆柱形容器中装有一些液体，试讨论当容器绕其对称的竖直轴旋转时，旋转液体论当容器绕其对称的竖直轴旋转时，旋转液体的表面形状。的表面形状。模型建立模型建立在液面上点在液面上点( (x, ,y) )处取一个质量元处取一个质量元dm受力分析受力分析重力：重力：dmg液体对它的支承力：液体对它的支承力：FN八、旋转液体表面的形状问题八、旋转液体表面的形状问题9/17/202441泰州学院数学建模教案两式相除，得两式相除，得液体表面曲线所满足的微分方程模型为：液体表面曲线

29、所满足的微分方程模型为：由由 是曲线上点是曲线上点( (x, ,y) )处切线与处切线与x 轴的夹角，所以轴的夹角，所以 液体表面形状是由抛物线旋转而成的抛物面，其液体表面形状是由抛物线旋转而成的抛物面，其方程为方程为9/17/202442泰州学院数学建模教案游戏技法游戏技法（1 1）第）第1 环可以自由上下环可以自由上下（2 2）第）第n 环上、下环上、下 ( n 1 ) 应应满足的条件满足的条件（a）第第n -1-1个环在架上个环在架上（b）前前n -2-2个环全部在架下个环全部在架下讨论完成讨论完成九九连环所需的操作步数连环所需的操作步数九、九连环问题九、九连环问题9/17/202443泰州学院数学建模教案模型建立模型建立设完成设完成n 连环所需的操作步数为连环所需的操作步数为，则，则差分方程模型差分方程模型9/17/202444泰州学院数学建模教案模型求解模型求解特征方程特征方程令令，根，根齐次方程通解齐次方程通解，则，则非齐次方程通解非齐次方程通解特解特解由初始条件，得由初始条件，得令令，则，则9/17/202445泰州学院数学建模教案请认真复习9/17/202446