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1、第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动 理理 论论 力力 学学(I)(I)2024年9月17日 第二部分第二部分 运运 动动 学学第九章第九章刚刚 体体 的的 平平 面面 运运 动动 1第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动9-5 9-5 如图所示，在筛动机构中，筛子的摆动是由曲柄连杆机构所如图所示，在筛动机构中，筛子的摆动是由曲柄连杆机构所带动。已知曲柄带动。已知曲柄OA的转速的转速nOA= 40 r/min，OA = 0.3m。当筛子。当筛子BC运动到与点运动到与点O在同一水平线上时，在同一水平线上时，BAO = 90 。求此瞬时筛子的。求此瞬时筛子的速度。速度。提示：提示：提示：
2、提示：筛子筛子BC作平移，可用作平移，可用基点法基点法、速度瞬心法速度瞬心法求解，但最好用求解，但最好用速度投影法速度投影法速度投影法速度投影法求解。求解。2第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动解：解：解：解：研究研究AB：由由速度投影定理速度投影定理速度投影定理速度投影定理，有，有，有，有曲柄曲柄OA作定轴转动，连杆作定轴转动，连杆AB作作平面运动，筛子平面运动，筛子BC作平移。作平移。A、B两点的速度方向如图示。两点的速度方向如图示。且有且有筛子筛子BC的速度的速度说明：说明：说明：说明：此题也可用此题也可用基点法基点法、速度瞬心法速度瞬心法求解求解3第九章第九章 刚体的平面运动刚体
3、的平面运动9-8 9-8 四连杆机构中，连杆四连杆机构中，连杆AB上固连一三角板上固连一三角板 ABD，如图所示。，如图所示。已知：曲柄的角速度已知：曲柄的角速度 = 2 rad/s；曲柄；曲柄 O1A = 0.1m，水平距离，水平距离 O1O2= 0.05m，AD = 0.05m；当；当O1A铅直时，铅直时，AB平行于平行于O1O2 ，且，且 AD和和 AO1 在同一直线上；角在同一直线上；角 = 30 。求三角板。求三角板ABD的角速度和的角速度和点点D的速度。的速度。提示：提示：提示：提示：可选点可选点 A为为基点基点，通过求点，通过求点 B的速度求出三角板的角速度；再以点的速度求出三角
4、板的角速度；再以点A基点求出点基点求出点D的速度。的速度。也也也也可通过可通过A、B两点的速度方向确定三角板的速度两点的速度方向确定三角板的速度瞬心，用瞬心，用速度瞬心法速度瞬心法求解。求解。4第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动解：解：解：解：研究研究ABD：杆杆O1A、O2B作定轴转动，三角板作定轴转动，三角板ABD作平面运动。作平面运动。由由A、B两点速度方向确定两点速度方向确定P为速度瞬心。为速度瞬心。用用速度瞬心法速度瞬心法速度瞬心法速度瞬心法（）5第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动9-10 9-10 图示机构中，已知：图示机构中，已知：OA = 0.1m，BD = 0
5、.1m，DE = 0.1m， EF = m； = 4rad/s。在图示位置时，曲柄。在图示位置时，曲柄OA与水平线与水平线OB垂直；且垂直；且B、D和和F在同一铅直线上，又在同一铅直线上，又DE垂直于垂直于EF。求杆。求杆EF的的角速度和点角速度和点F的速度。的速度。 提示：提示：提示：提示：杆杆AB作作瞬时平移瞬时平移瞬时平移瞬时平移，杆，杆BC的速度瞬心在点的速度瞬心在点D，恰好与三角板，恰好与三角板CDE的转轴重合，利用的转轴重合，利用 vA = vB，求得杆，求得杆BC与三角板的角速度，然与三角板的角速度，然后得点后得点E的速度。最后利用的速度。最后利用基点法基点法或或速度瞬心法速度瞬
6、心法即得所求。即得所求。6第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动解：解：解：解： （1）研究杆）研究杆AB 由由A、B两点速度方向，可知杆两点速度方向，可知杆AB作作瞬时平移瞬时平移。（2）研究杆）研究杆BC和三角板和三角板CDE 杆杆BC的的速度瞬心速度瞬心速度瞬心速度瞬心为为D，且三角板，且三角板CDE绕绕D作定轴转动。作定轴转动。（3）研究杆）研究杆EF已已E为为基点基点基点基点，则，则7第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动（3）研究杆）研究杆EF已已E为为基点基点基点基点，则，则大小大小大小大小方向方向方向方向0.4? DE EF铅垂铅垂?作作速度平行四边形速度平行四边形速度
7、平行四边形速度平行四边形如图示。如图示。（）说明：说明：说明：说明：对杆对杆EF，用，用速度瞬心法速度瞬心法求也很方便。求也很方便。8第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动9-12 9-12 在瓦特行星传动机构中，平衡杆在瓦特行星传动机构中，平衡杆O1A绕绕O1轴转动，并借连轴转动，并借连杆杆AB带动曲柄带动曲柄OB；而曲柄；而曲柄OB活动地装置在活动地装置在O 轴上，如图所示。轴上，如图所示。在在O轴上装有齿轮轴上装有齿轮，齿轮，齿轮与连杆与连杆AB固连于一体。已知：固连于一体。已知：r1 = r2= m，O1A = 0.75m，AB = 1.5m；又平衡杆的；又平衡杆的 = 6rad/
8、s。求当求当 = 60且且 = 90 时，曲柄时，曲柄OB和齿轮和齿轮的角速度。的角速度。提示：提示：提示：提示：构件构件AB作作平面运动平面运动平面运动平面运动， 由由A、B两两点的速度方向可确定其点的速度方向可确定其速度瞬心速度瞬心，并由，并由此求得点此求得点B的速度和两齿轮接触点的速的速度和两齿轮接触点的速度。于是，曲柄度。于是，曲柄OB和齿轮和齿轮I的角速度也的角速度也随之可得。随之可得。9第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动解：解：解：解：研究研究AB：杆杆O1A、OB及轮及轮I作定轴转动，作定轴转动，构件构件AB作平面运动。作平面运动。P为速度瞬心。为速度瞬心。用用速度瞬心法
9、速度瞬心法速度瞬心法速度瞬心法（）（）（）10第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动9-19 9-19 曲柄曲柄OA以恒定的角速度以恒定的角速度 = 2 rad/s绕轴绕轴O转动，并借助连转动，并借助连杆杆AB驱动半径为驱动半径为r的轮子在半径为的轮子在半径为R的圆弧槽中作无滑动的滚动。的圆弧槽中作无滑动的滚动。设设OA=AB= R = 2r = 1m，求图示瞬时点，求图示瞬时点B和点和点C的速度和加速度。的速度和加速度。提示：提示：提示：提示：杆杆AB作作瞬时平移瞬时平移瞬时平移瞬时平移，故，故A、B两点的速度相同。轮作平面运动，两点的速度相同。轮作平面运动，与圆弧槽的接触点为速度瞬心，
10、由此求得轮的角速度和点与圆弧槽的接触点为速度瞬心，由此求得轮的角速度和点C的速度。的速度。由瞬时平移时的由瞬时平移时的加速度投影定理加速度投影定理知，点知，点B的切向加速度为零，其法的切向加速度为零，其法向加速度为向加速度为 。取点。取点B为为基点基点基点基点，求得点，求得点C的加速度。的加速度。11第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动解：解：解：解：（1）速度分析）速度分析曲柄曲柄OA作定轴转动，连杆作定轴转动，连杆AB及及滚子滚子作平面运动。作平面运动。连杆连杆AB作作瞬时平移瞬时平移瞬时平移瞬时平移，有，有（）滚子的滚子的速度瞬心速度瞬心速度瞬心速度瞬心为为P。（2）加速度分析）加
11、速度分析因因AB作作瞬时平移瞬时平移瞬时平移瞬时平移，故有，故有12第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动对滚子，取对滚子，取B为为基点基点基点基点，则，则大小大小大小大小方向方向方向方向8? ？作作加速度平行四边形加速度平行四边形加速度平行四边形加速度平行四边形如图示。如图示。0方向如图。方向如图。13第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动9-22 9-22 在图示机构中，曲柄在图示机构中，曲柄OA长为长为r，绕，绕O轴以等角速度轴以等角速度 O 转动，转动， AB = 6r，BC = r。求图示位置时，滑块。求图示位置时，滑块C的速度和加速度。的速度和加速度。提示：提示：提示：提示
12、：杆杆 AB、BC 作作平面运动平面运动平面运动平面运动，可用，可用基点法基点法或或速度瞬心法速度瞬心法先求出先求出滑块滑块C的速度及两杆的角速度；再分别取的速度及两杆的角速度；再分别取A、B为为基点基点基点基点，用，用基点法基点法求得滑块求得滑块C的加速度。的加速度。14第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动解：解：解：解：（1）速度分析）速度分析曲柄曲柄OA作定轴转动，杆作定轴转动，杆AB、BC作平面运动。作平面运动。对杆对杆AB，P为为速度瞬心速度瞬心速度瞬心速度瞬心。（）对杆对杆BC，取，取B为为基点基点基点基点，则，则大小大小大小大小方向方向方向方向? PB CB铅垂铅垂?（）1
13、5第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动BA大小大小大小大小方向方向方向方向?AO PB作作加速度矢量图加速度矢量图加速度矢量图加速度矢量图，?（2）加速度分析）加速度分析对杆对杆AB，取，取A为为基点基点基点基点，则，则 BA其中：其中：其中：其中：向向AB方向投影得方向投影得负号负号表示实际方向与假设方向表示实际方向与假设方向相反相反。16第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动CB大小大小大小大小方向方向方向方向?铅垂铅垂作作加速度矢量图加速度矢量图加速度矢量图加速度矢量图，?对杆对杆BC，取，取B为为基点基点基点基点，则，则 PB其中：其中：其中：其中：向向BC方向投影得方向投影
14、得 CB17第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动9-23 9-23 图示塔轮图示塔轮1半径为半径为r = 0.1m 和和R = 0.2m，绕轴，绕轴O转动的规律转动的规律是是 = t 2 - 3t rad，并通过不可伸长的绳子卷动动滑轮，并通过不可伸长的绳子卷动动滑轮 2，其半径，其半径为为r2 = 0.15m 。设绳子与各轮之间无相对滑动，求。设绳子与各轮之间无相对滑动，求 t = 1s 时，轮时，轮 2的角速度和角加速度；并求该瞬时水平直径上的角速度和角加速度；并求该瞬时水平直径上 C、D、E各点的速各点的速度和加速度。度和加速度。 18第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动提示
15、：提示：提示：提示：先将先将 = t 2-3t rad对时间求一阶和二阶导数，得塔轮的角速对时间求一阶和二阶导数，得塔轮的角速度和角加速度（度和角加速度（注意注意先不把先不把 t = 1s代入）。于是，轮代入）。于是，轮2上点上点D、E的的速度即可求得，由此可确定其速度即可求得，由此可确定其速度瞬心速度瞬心速度瞬心速度瞬心，并用，并用速度瞬心法速度瞬心法求出轮求出轮2的角速度和点的角速度和点C的速度。将的速度。将 2求导得轮求导得轮2的角加速度，将的角加速度，将 求导得求导得点点C的加速度。选点的加速度。选点C为为基点基点基点基点，用，用基点法基点法可分别求得点可分别求得点 D、E 的加的加速
16、度。最后将速度。最后将 t = 1s代入，即得所求。代入，即得所求。19第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动解：解：解：解：塔轮塔轮1作定轴转动，其角速度和角加作定轴转动，其角速度和角加速度分别为速度分别为（1）先对轮）先对轮2速度分析速度分析轮轮2的的速度瞬心为速度瞬心为速度瞬心为速度瞬心为P P，由几何关系得由几何关系得20第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动（1）再对轮）再对轮2加速度分析加速度分析分别作分别作加速度矢量图加速度矢量图加速度矢量图加速度矢量图如图示。如图示。取点取点C为为基点基点基点基点，则点，则点D、E的加速度为的加速度为21第九章第九章 刚体的平面运动刚体
17、的平面运动将以上两式均向将以上两式均向DE方向方向投影投影投影投影，得，得最后将最后将 t = 1s代入各式，得代入各式，得（）（）22第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动9-25 9-25 图示直角刚性杆，图示直角刚性杆，AC = CB = 0.5m。设在图示瞬时，两端。设在图示瞬时，两端滑块沿水平与铅垂轴的加速度如图，其大小分别为滑块沿水平与铅垂轴的加速度如图，其大小分别为 aA = 1 m/s2 ，aB = 3 m/s2 。求这时直角杆的角速度和角加速度。求这时直角杆的角速度和角加速度。提示：提示：提示：提示：取点取点 A（或点（或点 B）为）为基点基点基点基点，用，用基点法基点法
18、求点求点 B（ 或点或点 A ）的）的加速度，因为基点和所求点的加速度已知，列两个加速度，因为基点和所求点的加速度已知，列两个投影方程投影方程投影方程投影方程，即，即可求得直角杆的角速度和角加速度。可求得直角杆的角速度和角加速度。23第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动BA大小大小大小大小方向方向方向方向3 作作加速度矢量图加速度矢量图加速度矢量图加速度矢量图如图示。如图示。?取取A为为基点基点基点基点，则，则 BA解：解：解：解：直角杆直角杆ACB作平面运动。作平面运动。1?将上式分别向将上式分别向 、 方向投影，得方向投影，得24第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动（）25第九
19、章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动9-27 9-27 图示曲柄连杆机构带动摇杆图示曲柄连杆机构带动摇杆O1C绕绕O1轴摆动。在连杆轴摆动。在连杆AB上上装有两个滑块，滑块装有两个滑块，滑块B在水平槽内滑动，而滑块在水平槽内滑动，而滑块D则在摇杆则在摇杆O1C 的的槽内滑动。已知：曲柄长槽内滑动。已知：曲柄长OA = 50mm，绕，绕O轴转动的匀角速度轴转动的匀角速度 = 10rad/s。在图示位置时，曲柄与水平线间成。在图示位置时，曲柄与水平线间成90 角，角，OAB=60 ，摇杆与水平线间成摇杆与水平线间成60 角；距离角；距离O1D = 70mm。求摇杆的角速度和。求摇杆的角速度和角加
20、速度。角加速度。26第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动提示：提示：提示：提示：这是刚体平面运动和点的合成运动的这是刚体平面运动和点的合成运动的综合应用题综合应用题。先分析。先分析杆杆ABD（此瞬时作（此瞬时作瞬时平移瞬时平移瞬时平移瞬时平移），求出杆上点），求出杆上点D（即滑块）的速度（即滑块）的速度和加速度；再以滑块和加速度；再以滑块 D为为动点动点动点动点，动系固结于摇杆，动系固结于摇杆 O1C，利用点的，利用点的合成运动理论合成运动理论求出牵连速度和牵连切向加速度，由此即可求得摇求出牵连速度和牵连切向加速度，由此即可求得摇杆的角速度和角加速度。杆的角速度和角加速度。27第九章第九
21、章 刚体的平面运动刚体的平面运动解：解：解：解：（1）速度分析）速度分析杆杆OA 、O1C作定轴转动，作定轴转动，杆杆ABD作平面运动。作平面运动。杆杆ABD作作瞬时平移瞬时平移瞬时平移瞬时平移，有，有选取选取选取选取动点：动点：大小大小大小大小方向方向方向方向0.5 O1D/O1D?（）滑块滑块 D 动系：动系： 杆杆O1D由由由由?作速度平行四边形如图示。作速度平行四边形如图示。28第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动大小大小大小大小方向方向方向方向? 水平水平作作加速度矢量图加速度矢量图加速度矢量图加速度矢量图，?（2）加速度分析）加速度分析对杆对杆ABD，取，取A为为基点基点基点基点，则点，则点B的加速度为的加速度为 AB向向y方向投影得方向投影得（）29
