函数的实践与探索

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1、第十五讲 函数的实践与探索1.1.能：根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解能：根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解. .2.2.会：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解会：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. .3.3.能：用一次函数解决实际问题能：用一次函数解决实际问题, ,用反比例函数解决某些实际问用反比例函数解决某些实际问题题, ,用二次函数解决简单的实际问题用二次函数解决简单的实际问题. .一、一次函数与方程一、一次函数与方程( (组组) )、不等式、不等式1.1.解一元一次方程解一元一次方程kx+b=0(k0)kx+b=0(k0)可以转化为：当一次函数可以转化为

2、：当一次函数y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)值为值为_时时, ,求相应的自变量的值求相应的自变量的值. .从图象上看从图象上看, ,相当于已知直线相当于已知直线y=kx+by=kx+b的图象的图象, ,确定它与确定它与x x轴交轴交点的点的_坐标坐标. .0 0横横2.2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于( (或小于或小于)0)0时时, ,求自变量相应的求自变量相应的_._.3.3.每个二元一次方程组都对应两个一次函数每个二元一次方程组都对应两个一次函数, ,于是也对应两条于是也对应两条直线直线, ,从从“数数”的角度看的角度看, ,

3、解方程组相当于考虑自变量为何值时解方程组相当于考虑自变量为何值时, ,两个函数值两个函数值_,_,以及这个值是多少以及这个值是多少; ;从从“形形”的角度看的角度看, ,解解方程组相当于确定两条直线交点的方程组相当于确定两条直线交点的_._.取值范围取值范围相等相等坐标坐标【即时应用】【即时应用】1.1.直线直线y=x+5y=x+5与与x x轴的交点坐标是轴的交点坐标是_._.2.2.直线直线y=3-xy=3-x与与y=3x-5y=3x-5在直角坐标系内的交点坐标是在直角坐标系内的交点坐标是_._.3.3.一次函数一次函数y=kx+b(ky=kx+b(k，b b为常数，为常数，k0)k0)的图

4、象如图所示，则不的图象如图所示，则不等式等式kx+bkx+b0 0的解集是的解集是_._.(-5,0)(-5,0)(2,1)(2,1)x x-1-1二、二次函数与一元二次方程二、二次函数与一元二次方程1.1.一元二次方程的解就是二次函数的图象与一元二次方程的解就是二次函数的图象与x x轴交点的轴交点的_._.2.2.抛物线与抛物线与x x轴的交点轴的交点(1)(1)当当b b2 2-4ac-4ac0 0时，抛物线与时，抛物线与x x轴有轴有_个交点；个交点；(2)(2)当当b b2 2-4ac=0-4ac=0时，抛物线与时，抛物线与x x轴有且只有轴有且只有_个交点；个交点；(3)(3)当当b

5、 b2 2-4ac-4ac0 0时，抛物线与时，抛物线与x x轴轴_交点交点. .横坐标横坐标两两一一没有没有【即时应用】【即时应用】1.1.已知抛物线已知抛物线y=(x-4)y=(x-4)2 2-3-3，则方程，则方程(x-4)(x-4)2 2-3=0-3=0的解为的解为_._.2.2.抛物线抛物线y=-xy=-x2 2+bx+c+bx+c的部分图象如图，若的部分图象如图，若y0y0，则，则x x的取值范的取值范围是围是_._.-3x1-3x1【核心点拨】【核心点拨】1.1.一次函数关系式中含有两个变量，当把两个变量分别看作两一次函数关系式中含有两个变量，当把两个变量分别看作两个未知数时，一

6、次函数便成为二元一次方程个未知数时，一次函数便成为二元一次方程. .2.2.对于二次函数对于二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c，当，当y=0y=0时，便成为一元二次方程，时，便成为一元二次方程，而函数图象上满足而函数图象上满足y=0y=0的点在的点在x x轴上，因此，方程轴上，因此，方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的的两个根便是抛物线与两个根便是抛物线与x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标. .3.3.函数值大于零，所对应的函数图象在函数值大于零，所对应的函数图象在x x轴的上方，函数值等于轴的上方，函数值等于零，所对应的函数图象在零，所对应的函数图象在x x轴上，

7、函数值小于零，所对应的函数轴上，函数值小于零，所对应的函数图象在图象在x x轴的下方，因此，利用函数的图象，可以求出相应不等轴的下方，因此，利用函数的图象，可以求出相应不等式的解集式的解集. .一次函数与方程一次函数与方程( (组组) ) 中考指数中考指数知知识识点点睛睛1.1.二元一次方程与一次函数二元一次方程与一次函数以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形恰好是这个以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形恰好是这个二元一次方程所表示的一次函数的图象二元一次方程所表示的一次函数的图象. .一次函数图象上一次函数图象上点的坐标一定满足一次函数关系式点的坐标一定满足一次函数关系式. .2.2.

8、二元一次方程组与一次函数二元一次方程组与一次函数两个一次函数的图象的交点坐标，即是它们的关系式所组两个一次函数的图象的交点坐标，即是它们的关系式所组成的方程组的解成的方程组的解. .特特别别提提醒醒两直线两直线y=ky=k1 1x+bx+b1 1,y=k,y=k2 2x+bx+b2 2的交点与方程组的交点与方程组的解的三种关系的解的三种关系(1)(1)当当k k1 1=k=k2 2,b,b1 1=b=b2 2时两直线重合，方程组有无数组解；时两直线重合，方程组有无数组解；(2)(2)当当k k1 1=k=k2 2,b,b1 1bb2 2时两直线平行，方程组无解；时两直线平行，方程组无解；(3)

9、(3)当当k k1 1k k2 2时两直线相交，方程组有唯一解时两直线相交，方程组有唯一解. . 【例【例1 1】(2011(2011杭州中考杭州中考) )点点A,B,C,DA,B,C,D的坐标如图，求直线的坐标如图，求直线ABAB与与直线直线CDCD的交点坐标的交点坐标. .【教你解题】【教你解题】求关系式求关系式由待定系数法可得，直线由待定系数法可得，直线ABAB的关系式为的关系式为y=2x+6y=2x+6，直线，直线CDCD的关系式为的关系式为y=y=解方程组解方程组解方程组解方程组 得得交点坐标交点坐标直线直线ABAB与与CDCD的交点坐标为的交点坐标为(-2,2)(-2,2)【对点训

10、练】【对点训练】1.(20111.(2011咸宁中考咸宁中考) )如图，在平面直角坐标如图，在平面直角坐标系中，系中，OABCOABC的顶点的顶点A A在在x x轴上，顶点轴上，顶点B B的坐的坐标为标为(6(6，4).4).若直线若直线l经过点经过点(1(1，0)0)，且将，且将OABCOABC分割成面积相等的两部分，则直线分割成面积相等的两部分，则直线l的函数关系式是的函数关系式是( )( )(A)y=x+1 (B)y=(A)y=x+1 (B)y=(C)y=3x-3 (D)y=x-1(C)y=3x-3 (D)y=x-1【解析】【解析】选选D.D.OABCOABC对角线的交点为线段对角线的交

11、点为线段OBOB的中点的中点, ,坐标为坐标为(3,2),(3,2),过两点过两点(1,0),(3,2)(1,0),(3,2)的直线即为直线的直线即为直线l. .设直线设直线l的关系式的关系式为为y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)，由题意得方程组，由题意得方程组 解得解得故选故选D.D.2.(20122.(2012威海中考威海中考) )如图，直线如图，直线l1 1, ,l2 2交于点交于点A.A.观察图象，点观察图象，点A A的的坐标可以看作方程组坐标可以看作方程组_的解的解. .【解析】【解析】设设l1 1, ,l2 2的直线关系式分别为的直线关系式分别为y y1 1=k=k1 1x+

12、bx+b1 1与与y y2 2=k=k2 2x+bx+b2 2. .由由图象可得图象可得解得解得所以方程组为所以方程组为答案：答案：3.(20113.(2011漳州中考漳州中考) )如图，直线如图，直线y=-2x+2y=-2x+2与与x x轴、轴、y y轴分别交于轴分别交于A,BA,B两点，将两点，将OABOAB绕点绕点O O逆时针方向旋转逆时针方向旋转9090后得到后得到OCD.OCD.(1)(1)填空：点填空：点C C的坐标是的坐标是(_(_，_)_)； 点点D D的坐标是的坐标是(_(_，_)._).(2)(2)设直线设直线CDCD与与ABAB交于点交于点M M，求线段，求线段BMBM的

13、长；的长；【解析】【解析】(1)(1)点点C C的坐标为的坐标为(0(0，1)1)，点，点D D的坐标为的坐标为(-2(-2，0).0).(2)(2)设直线设直线CDCD的函数关系式为的函数关系式为y=kx+by=kx+b，可得：过，可得：过CDCD的直线关系的直线关系式为式为y=y=所以所以 解得解得所以点所以点M M的坐标为的坐标为过点过点M M作作MEyMEy轴于点轴于点E E，则，则由勾股定理得由勾股定理得, ,一次函数与一元一次不等式一次函数与一元一次不等式中考指数中考指数知知识识点点睛睛一次函数与一元一次不等式的关系一次函数与一元一次不等式的关系1.1.从数的角度看从数的角度看不等

14、式不等式kx+b0kx+b0的解集为使函数的解集为使函数y=kx+by=kx+b的值大于零的值大于零( (即即kx+b0)kx+b0)的的x x的取值范围的取值范围. .2.2.从形的角度看从形的角度看一次函数的图象在一次函数的图象在x x轴上方时轴上方时,y0,y0，因此，因此kx+b0kx+b0的解集为的解集为一次函数在一次函数在x x轴上方的图象所对应的轴上方的图象所对应的x x的值的取值范围的值的取值范围. .特特别别提提醒醒1.1.可运用图象解不等式可运用图象解不等式, ,也可运用解不等式研究函数问题也可运用解不等式研究函数问题. .2.2.虽然用一次函数图象来解不等式未必简单，但从

15、函数角虽然用一次函数图象来解不等式未必简单，但从函数角度看问题，能发现一次函数与一元一次不等式之间的联系，度看问题，能发现一次函数与一元一次不等式之间的联系，直观地看出怎样用图形来表示不等式的解直观地看出怎样用图形来表示不等式的解. .【例【例2 2】(2012(2012襄阳中考襄阳中考) ) 如图，直线如图，直线y=ky=k1 1x+bx+b与双曲线与双曲线y=y=相交于相交于A(1A(1，2)2)，B(mB(m，-1)-1)两点，两点，(1)(1)求直线和双曲线的关系式；求直线和双曲线的关系式；(2)(2)若若A A1 1(x(x1 1,y,y1 1),A),A2 2(x(x2 2,y,y

16、2 2),),A A3 3(x(x3 3,y,y3 3) )为双曲线上的三点，为双曲线上的三点，且且x x1 1x x2 20 0x x3 3, ,请直接写出请直接写出y y1 1,y,y2 2,y,y3 3的大小关系式；的大小关系式；(3)(3)观察图象，请直接写出不等式观察图象，请直接写出不等式k k1 1x+bx+b 的解集的解集. .【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)将点将点A(1A(1，2)2)代入双曲线代入双曲线y= y= 求出求出k k2 2的值，的值，将将B(mB(m，-1)-1)代入双曲线的关系式求出代入双曲线的关系式求出m m的值，再用待定系数法的值，再用待定系数法求出求

17、出k k1 1和和b b的值，可得两函数的关系式的值，可得两函数的关系式; ;(2)(2)根据反比例函数的增减性在不同分支上进行研究；根据反比例函数的增减性在不同分支上进行研究；(3)(3)根据根据A A，B B点的横坐标结合图象进行解答点的横坐标结合图象进行解答. .【自主解答】【自主解答】(1)(1)双曲线双曲线y= y= 经过点经过点A(1A(1，2)2)，kk2 2=2=2，双曲线的关系式为：双曲线的关系式为：点点B(mB(m，-1)-1)在双曲线在双曲线y= y= 上，上，m=-2m=-2，则，则B(-2B(-2，-1).-1).由点由点A(1A(1，2)2)，B(-2B(-2，-1

18、)-1)在直线在直线y=ky=k1 1x+bx+b上，得上，得解得解得 直线的关系式为直线的关系式为y=x+1.y=x+1.(2)y(2)y2 2y y1 1y y3 3. .(3)x(3)x1 1或或-2-2x x0.0.【对点训练】【对点训练】4.(20124.(2012河南中考河南中考) )如图，函数如图，函数y=2xy=2x和和y=ax+4y=ax+4的图象相交于点的图象相交于点A(mA(m，3)3)，则不等，则不等式式2x2xax+4ax+4的解集为的解集为( )( )(A)x(A)x (B)x (B)x3 3(C)x(C)x (D)x (D)x3 3【解析解析】选选A.A.由题意可

19、求得点由题意可求得点A A的坐标为的坐标为( 3)( 3)，结合图形可，结合图形可知，当知，当x x 时，不等式时，不等式2x2xax+4.ax+4.5.(20125.(2012恩施中考恩施中考) )如图，直线如图，直线y=kx+by=kx+b经过经过A(3A(3，1)1)和和B(6B(6，0)0)两点，则不等式组两点，则不等式组0 0kx+bkx+b 的解集为的解集为_._.【解析】【解析】如图，直线如图，直线y= y= 是一条过点是一条过点A A和原点的直线，不等式和原点的直线，不等式组组0 0kx+bkx+b 的解集可以看作直线的解集可以看作直线y=kx+by=kx+b位于直线位于直线y

20、=0y=0与直与直线线y= y= 之间的部分的之间的部分的x x的取值，即线段的取值，即线段ABAB所对应的所对应的x x的取值，的取值，所以不等式组的解集为所以不等式组的解集为3 3x x6.6.答案：答案：3 3x x6 66.(20116.(2011来宾中考来宾中考) )已知反比例函已知反比例函数数y y1 1= = 的图象与一次函数的图象与一次函数y y2 2=ax+b=ax+b的图象交于点的图象交于点A(1A(1，4)4)和和B(m,-2).B(m,-2).(1)(1)求这两个函数的关系式求这两个函数的关系式. .(2)(2)观察图象，写出使得观察图象，写出使得y y1 1y y2

21、2成立成立的自变量的自变量x x的取值范围的取值范围. .【解析】【解析】(1)(1)把把A(1A(1，4)4)代入代入y y1 1= = 得得4= 4= 则则k=4k=4，yy1 1= =把把B(m, -2)B(m, -2)代入代入y y1 1= = 得得m=-2m=-2，B(-2, -2).B(-2, -2).把把A(1A(1，4)4)，B(-2, -2)B(-2, -2)代入代入y y2 2=ax+b=ax+b得得, ,yy2 2=2x+2.=2x+2.(2)(2)当当x x-2-2或或0 0x x1 1时，时，y y1 1y y2 2. .二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程中

22、考指数中考指数知识知识点睛点睛二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系1.1.从形到数从形到数抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c(a0),+bx+c(a0),当当y=0y=0时，求自变量时，求自变量x x的值，的值，相当于解方程相当于解方程axax2 2+bx+c=0(a0).+bx+c=0(a0).2.2.从数到形从数到形方程方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的解是抛物线的解是抛物线y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)与与x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标. .特别特别提醒提醒抛物线与抛物线与x x轴的交点个数与一元

23、二次方程根的判别式轴的交点个数与一元二次方程根的判别式b b2 2-4ac-4ac的值有关的值有关. .【例【例3 3】(2011(2011绵阳中考绵阳中考) )若若x x1 1，x x2 2(x(x1 1x x2 2) )是方程是方程(x-a)(x-b)(x-a)(x-b)1(ab)1(a0(+bx+c0(或或0)0(y0(或或0)0)的自变量的自变量x x的取值范围的取值范围. .2.2.当函数值当函数值y y的取值在某一范围内时的取值在某一范围内时, ,在图象上可以找出自在图象上可以找出自变量变量x x对应的取值范围对应的取值范围. .解解题题启启示示1.1.通过观察二次函数的图象通过观

24、察二次函数的图象, ,可以得出当自变量可以得出当自变量x x的取值在的取值在一定的范围内对应的函数值一定的范围内对应的函数值y y的取值范围的取值范围. .2.2.设二次函数设二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c开口向上，与开口向上，与x x轴的两个交点为轴的两个交点为(x(x1 1,0),(x,0),(x2 2,0),0),且且x x1 1x x2 2, ,(1)(1)当当x x1 1x xx x2 2时时,y,y0;0;(2)(2)当当x xx x1 1, ,或或x xx x2 2时时,y,y0.0.1.(20121.(2012资阳中考资阳中考) )如图是二次函数如图是二次函

25、数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的部分图象，的部分图象，由图象可知不等式由图象可知不等式axax2 2+bx+c+bx+c0 0的解集是的解集是( )( )(A)-1(A)-1x x5 5 (B)x (B)x5 5(C)x(C)x-1-1且且x x5 5(D)x(D)x-1-1或或x x5 5【解析】【解析】选选D.D.由图象得由图象得, ,对称轴是对称轴是x=2x=2，其中图象与其中图象与x x轴的一个交点的坐标为轴的一个交点的坐标为(5(5，0)0)，图象与图象与x x轴的另一个交点坐标为轴的另一个交点坐标为(-1(-1，0)0)利用图象可知：利用图象可知：axax2 2+bx

26、+c+bx+c0 0的解集即是的解集即是y y0 0的解集，的解集，xx-1-1或或x x5 5故选故选D.D.2.(20112.(2011常州中考常州中考) )已知二次函数已知二次函数y=-xy=-x2 2+x+x当自变量当自变量x x取取m m时，对应的函数值大于时，对应的函数值大于0 0，当自变量，当自变量x x分别取分别取m-1m-1，m+1m+1时对应的时对应的函数值分别为函数值分别为y y1 1,y,y2 2，则函数值，则函数值y y1 1,y,y2 2 满足满足( )( )(A)y(A)y1 10,y0,y2 20 0(B)y(B)y1 10,y0,y2 20 0(C)y(C)y

27、1 10,y0,y2 20 0(D)y(D)y1 10,y0,y2 20 0【解析】【解析】选选B.B.的图象开口向的图象开口向下，与下，与x x轴两交点的横坐标都在轴两交点的横坐标都在0 0到到1 1之间，由当自变量之间，由当自变量x x取取m m时，时，对应的函数值大于对应的函数值大于0 0，得，得0 0m m1,-11,-1m-1m-10, 10, 1m+1m+12,2,画画出草图可得出草图可得y y1 100，y y2 20.0.故选故选B.B.3.(20113.(2011龙东中考龙东中考) )已知：抛物线与直已知：抛物线与直线线y=x+3y=x+3分别交于分别交于x x轴和轴和y y

28、轴上同一点，轴上同一点，交点分别是点交点分别是点A A和点和点C C，且抛物线的对称，且抛物线的对称轴为直线轴为直线x=-2.x=-2.(1)(1)求出抛物线与求出抛物线与x x轴的两个交点轴的两个交点A A，B B的的坐标坐标. .(2)(2)试确定抛物线的关系式试确定抛物线的关系式. .(3)(3)观察图象，请直接写出二次函数值小于一次函数值的自变量观察图象，请直接写出二次函数值小于一次函数值的自变量x x的取值范围的取值范围. .【解析】【解析】(1)y(1)yx x3 3中，中，当当y y0 0时，时，x x-3-3，点点A A的坐标为的坐标为(-3(-3，0)0)；当当x x0 0时

29、，时，y y3 3，点点C C的坐标为的坐标为(0(0，3)3)，抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x x-2-2，点点A A与点与点B B关于直线关于直线x x-2-2对称，对称，点点B B的坐标是的坐标是(-1(-1，0).0).(2)(2)设二次函数的关系式为设二次函数的关系式为y yaxax2 2bxbxc.c.二次函数的图象经过点二次函数的图象经过点C(0C(0，3)3)和点和点A(-3A(-3，0)0)，且对称轴是，且对称轴是直线直线x x-2-2可列得方程组：解得：可列得方程组：解得：二次函数的关系式为二次函数的关系式为y yx x2 24x4x3.3.( (或将点或将点A A、点、点B B、点、点C C的坐标依次代入关系式中求出的坐标依次代入关系式中求出a,b,ca,b,c的值也的值也可可) )(3)(3)观察图象可知，当观察图象可知，当-3-3x x0 0时，二次函数值小于一次函数值时，二次函数值小于一次函数值. .