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1、2.2 随机变量的数学期望分赌本问题(17世纪) 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元.无平局，谁先赢3局，则获全部赌注.当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博.问如何分赌本?2021/6/161两种分法 1. 按已赌局数分： 则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2. 按已赌局数和再赌下去的“期望” 分： 因为再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4 2021/6/1622.2.1 数学期望的概念 1654年帕斯卡提出如下的分法：设想再赌下年帕斯卡提出如下的分法：设想再赌下去，则甲最终所得去，则甲最终所得X为一个随机变量，其可能为一个随机变
2、量，其可能的取值为的取值为0或或100，分布列为，分布列为 X 0 100P 1/4 3/4甲的“期望” 所得是：01/4 +100 3/4 = 75.2021/6/163上式中上式中 为各种可能的身高，而为各种可能的身高，而2021/6/1642021/6/1652.2.2 数学期望的定义数学期望的定义2021/6/1662021/6/167E(X)=2021/6/168例2.2.1解E(X) = 10.2+00.1+10.4+20.3 = 0.8.X 1 0 1 2P 0.2 0.1 0.4 0.32021/6/1692021/6/16102021/6/16112021/6/1612202
3、1/6/1613数学期望简称为期望.数学期望又称为均值.数学期望是一种加权平均.注 意 点2021/6/16142.2.3 数学期望的性质定理2.2.1 设 Y=g(X) 是随机变量X的函数， 若 E(g(X) 存在，则2021/6/1615例2.2.5 设随机变量 X 的概率分布为求 E(X2+2).X 0 1 2P 1/2 1/4 1/42021/6/16162021/6/1617例2.2.7 某公司经销某种原料,根据历史资料表明:这种原料的市场需求量X(单位:吨)服从(300,500)上的均匀分布.每售出1吨该原料,公司可获利1.5(千元);若积压1吨,则公司损失0.5(千元).问公司该
4、组织多少货源,可使平均收益最大?2021/6/16182021/6/1619数学期望的性质(1) E(c) = c(2) E(aX) = aE(X)(3) E(g1(X)+g2(X) = E(g1(X)+E(g2(X)2021/6/1620练习1设 X 求下列 X 的函数的数学期望.(1) 2X1, (2) (X 2)2解: (1) E(2X 1) = 1/3, (2) E(X 2)2 = 11/6. 2021/6/16212.3 随机变量的方差与标准差日走时误差（秒）-3-2-10123概率（甲）0.10.150.150.20.150.150.1概率（乙）0.050.050.10.60.10
5、.050.05引例： 两个牌号手表的日走时误差情况如下表。问哪一种牌号的手表走时更为准确？2021/6/1622问题：能否用一个数值来刻画随机变量X与其数学期望的偏离程度呢？2021/6/16232.3.1 方差与标准差的定义定义2.3.1 若 E(XE(X)2 存在，则称 E(XE(X)2 为 X 的方差，记为Var(X)=D(X)= E(XE(X)2 2021/6/1624该公式是计算方差一个很重要的公式2021/6/1625(2) 称注 意 点X = (X)=(1) 方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度. 方差越大, 则随机变量的取值越分散.为X 的标准差.标准差的量纲与随机变量的量纲
6、相同.2021/6/16262.3.2 方差的性质(1) Var(c)=0. 性质 2.3.2(2) Var(aX+b) = a2 Var(X). 性质 2.3.3(3) Var(X)=E(X2)E(X)2. 性质 2.3.12021/6/1627例2.3.1 设 X , 求 E(X), Var(X).解: (1) E(X)= 1(2) E(X2) = 7/6所以, Var(X) = E(X2)E(X)2= 7/6 1 = 1/62021/6/1628课堂练习 设则方差 Var(X)=( )。2021/6/1629随机变量的标准化 设 Var(X)0, 令则有 E(Y)=0, Var(Y)=1
7、.称 Y 为 X 的标准化.2021/6/16302.3.3 切比雪夫不等式 设随机变量X的方差存在(这时均值也存在), 则 对任意正数，有下面不等式成立2021/6/1631切比雪夫不等式也可以写成2021/6/1632 在概率论中注 意 点称为大偏差.称为大偏差发生的概率。 其概率2021/6/1633 例2.3.2设 X证明证明:E(X) = n+1E(X2) = (n+1)(n+2)所以,Var(X) = E(X2)(EX)2 = n+1,(这里, = n+1)由此得2021/6/1634定理 2.3.2 Var(X)=0P(X=a)=12021/6/1635 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
