一变上限定积分

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1、一、变上限定积分一、变上限定积分一、变上限定积分一、变上限定积分第四章函数的积分学第四章函数的积分学第四章函数的积分学第四章函数的积分学第六节微积分的基本公式第六节微积分的基本公式第六节微积分的基本公式第六节微积分的基本公式二、微积分的基本公式二、微积分的基本公式二、微积分的基本公式二、微积分的基本公式一、变上限定积分一、变上限定积分一、变上限定积分一、变上限定积分如果如果 x 是区间是区间 a, b 上任意一点，定积分上任意一点，定积分表表示示曲曲线线 y = f (x) 在在部部分分区区间间 a, x 上上曲曲边边梯梯形形AaxC 的的面积，面积，如如图图中中阴阴影影部部分分所所示示的的面

2、面积积. 当当 x 在在区间区间 a, b 上上变化时变化时,阴阴影影部部分分的的曲曲边边梯梯形形面面积也随之变化，积也随之变化， 所所以以变变上限定积分上限定积分yxy = f (x)axbOACB是上限变量是上限变量 x 的函数的函数.记作记作 (x)， 即即 (x)定定理理 1 若若函函数数 f (x) 在在区区间间 a, b 上上连连续续，则变上限定积分则变上限定积分在区间在区间 a, b 上可导上可导， 并且它的导数等于被积函数，并且它的导数等于被积函数，即即证证按导数定义，按导数定义，给自变量给自变量 x 以增量以增量 x，x + + x a, b ， 由由 (x) 的定义得对应的

3、函数的定义得对应的函数 (x) 的量的量 (x)，即即 (x) = (x + + x) - - (x)x + xACbBy = f (x)xyxaO (x) 根根据据积积分分中中值值定定理理知知道道，在在 x 与与 x + + x 之之 间间至少存在一点至少存在一点 x x ， (x)又因为又因为 f (x) 在区间在区间 a, b 上连续，上连续， 所所以以，当当 x 0 时有时有 x x x， f (x x) f (x)，从而有从而有 (x)故故使使成立成立.定理定理 1 告诉我们，告诉我们， 是是函函数数 f (x) 在在区区间间 a, b 上的上的一个原函数，一个原函数， 这这就就肯肯

4、定定了了连续函数的原函数是存在的，连续函数的原函数是存在的， 所以，所以，定理定理 1 也称为原函数存在定理也称为原函数存在定理.变变上限定积分上限定积分例例 1 求求 (x).解解根据定理根据定理 1，得，得 例例 2 求求 F (x).解解根据定理根据定理 1，得，得 例例 3 求求 (x).解解 (x)例例 4 解解二、微积分的基本公式二、微积分的基本公式二、微积分的基本公式二、微积分的基本公式定理定理 2 如果函数如果函数 f (x) 在区间在区间 a, b 上连续上连续，F(x) 是是 f (x) 在区间在区间 a, b 上任一原函数上任一原函数， 那么那么证证由定理由定理 1 知道

5、知道f (x) 在在 a, b 上上的的一一个个原原函函数数， 又又由由题题设设知知道道 F(x) 也是也是 f (x) 在在 a, b 上一个原函数，上一个原函数， 由由原原函函数数的的性性质质得得知知，同同一一函函数数的的两两个个不不同同原原函函数数只只相差一个常数，相差一个常数，即即把把 x = a 代入代入式中，式中，则，常数则，常数 C = F(a)，于是得于是得令令 x = b 代入上式中，代入上式中，移项，得移项，得再把再把积分变量积分变量 t 换成换成 x，为了今后使用该公式方便起见，把为了今后使用该公式方便起见，把 式右端的式右端的这样这样 式就写成如下形式：式就写成如下形式：得得例例 5 计算下列定积分计算下列定积分. 解解例例 6 计算下列定积分计算下列定积分. 解解解解把被积函数化简把被积函数化简. .例例 8 计算计算解解例例 9