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1、第二节一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质二、二、 对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 一、一、 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功.(其中 为 n 个小弧段的最大长度)2. 定义定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑弧有向光滑弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分第二类曲线积分.在 L 上定义了一
2、个向量函数极限记作称为对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分.L 称为积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线 .称为被积函数被积函数 , 其中,3. 性质性质(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明: : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向 !二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,存在, 且有 如果 L 的方程为则空间光滑曲线弧 :有例例1. 计算其中L 为沿抛物线从点的一段. 例例2. 计算其中 L 为(1)
3、 半径为 a 圆心在原点的上半圆周, 方向为逆时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 例例3. 计算其中L为(1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 例例4. 设在力场作用下, 质点由沿移动到试求力场对质点所作的功.其中为点 O 的距离成正比,例例 5. 设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. 例例6. 求从 z 轴正向看为顺时针方向.例例7. 已知为折线 ABCOA(如图), 计算三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长
4、为参数 的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是令记投影为例例9.9.将积分化为对弧长的积分, 其中L 沿上半圆周例例8. 设曲线段 L 的长度为s, 证明续,在L上连 1. 定义2. 性质(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2) L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结3. 计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧4. 两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧 :作业作业 P200 3(2), (4), (6), (8) 7 8第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用 区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞”区域 )复连通区域 ( 有“洞”区域 ) 域 D 边界L 的正向正向: 观察者左侧观察者左侧定理定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有( 格林公式格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,一、一、 格林公式格林公式推论推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积格林公式格林公式例如例如, 椭圆所围面积
