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1、Graduate Engineering Mathematics同济大学数学系同济大学数学系 2021-3-22 2021-3-22工科研讨生数学工科研讨生数学 -矩阵论矩阵论第第 4 章章 内积空间内积空间吴吴 群群同济大学数学系同济大学数学系wuquntongji.eduG E MG E M4.1 实内积空间实内积空间定定义. .设V V 是一个是一个实线性空性空间，R R为实数域，数域，2假假设a, b V, 存在独一的存在独一的 rR与之与之对应，记作作(a, b ) = r, 并且并且满足足(1) (a, b ) = (b, a ) (2) (a +b, g ) = (a, g )
2、+ (b, g )(3) (ka, b ) = k(a, b )(4) (a, a )0, (a, a ) = 0 a = 0那么称那么称 (a, b ) (a, b ) 为a a 与与b b 的内的内积，V V 为实内内积空空间。实内内积空空间也称欧几里得也称欧几里得(Euclid)空空间。对称性对称性线性性线性性非负性非负性G E MG E M3定定义内内积例例. 线性空间线性空间称为内积空间称为内积空间 的规范内积。的规范内积。G E MG E M4定定义内内积A为 n 阶实正定矩正定矩阵，例例. 线性空间线性空间G E MG E M5定定义内内积例例. 线性空性空间Ca, b，f ,
3、gCa, bG E MG E M6由定由定义知知(5) (a , b +g ) = (a, b ) + (a, g )(6) (a, kb ) = k(a, b )G E MG E M向量长度向量长度, Cauchy-Schwarz不等式不等式定义定义. 设设V 为实内积空间，称为实内积空间，称 为向量为向量a 的长度，的长度，记作作 |a | |a |。定理定理. 设V 是是实内内积空空间，a , b V , k R ，那么，那么等号成立当且等号成立当且仅当当a , b a , b 线性相关；性相关；Cauchy-Schwarz不等式不等式三角不等式三角不等式正定性正定性齐次性齐次性G E
4、MG E M8例：利用例：利用Cauchy-Schwaz不等式不等式证明明G E MG E M向量的夹角向量的夹角由由Cauchy-Schwaz不等式可知不等式可知G E MG E M向量的正交向量的正交定定义. 设V 是是实内内积空空间，a , b V , 假假设 (a , b ) = 0 , 那么称那么称 a 与与b 正交，正交，记作作 a b 。a a 与与b b 正交正交这就是就是实内内积空空间中的勾股定理。中的勾股定理。G E MG E M11向量向量a a 与与b b 在在该基下的坐基下的坐标为G E MG E M12G E MG E M度量矩阵度量矩阵矩矩阵 A 称称为基的度量矩
5、基的度量矩阵。即即 A 为实对称矩称矩阵。即即 A 为实正定矩正定矩阵。G E MG E M定理：定理：设内内积空空间V V 的两个基是：的两个基是：它它们的度量矩的度量矩阵分分别为A A与与B B，那么，那么A A与与B B是合同的，是合同的，即存在可逆矩即存在可逆矩阵P ，使得，使得其中可逆矩其中可逆矩阵P 是由前是由前组基到后基到后组基的基的过渡矩渡矩阵。G E MG E M4.2 规范正交基规范正交基假假设它它们两两正交，那么称其两两正交，那么称其为一个正交向量一个正交向量组。定理：正交向量定理：正交向量组必是必是线性无关的。性无关的。G E MG E M16且其中每个向量的且其中每个
6、向量的长度都是度都是 1，留意：留意：(1) 规范正交基的度量矩范正交基的度量矩阵是是单位矩位矩阵，即，即(2) 向量在向量在规范正交基下的坐范正交基下的坐标是是该向量在向量在对应的的基向量上的正投影，即基向量上的正投影，即G E MG E MGram-Schmidt 正交化过程正交化过程Gram-Schmidt 正交化正交化过程：程：设设是内积空间是内积空间V 中线性无关的向量组，中线性无关的向量组，使得，使得那么那么V 中存在正交向量组中存在正交向量组G E MG E MGram-Schmidt 正交化过程正交化过程 图解图解G E MG E M19令令是正交向量组，并且是正交向量组，并且
7、那么那么G E MG E M记记G E MG E M或或留意到留意到K K是可逆矩是可逆矩阵，因此，因此G E MG E M是正交向量组是正交向量组下面用归纳法阐明下面用归纳法阐明由由归纳法假法假设可知可知是正交向量组。是正交向量组。即即G E MG E M矩阵矩阵A的的QR分解分解推推论1：n 维实内内积空空间V 必存在必存在规范正交基。范正交基。推推论2：n 维实内内积空空间V 中任一正交向量中任一正交向量组都可都可扩展成展成V 的一个正交基。的一个正交基。推推论3: 设A为可逆可逆阵，那么存在正交，那么存在正交阵Q和可逆上三角和可逆上三角阵R使得使得 A = QR ，称，称为矩矩阵A的的
8、QR分解。分解。G E MG E M24设A为 n 阶可逆可逆阵，那么利用，那么利用Gram-Schmidt正交化正交化过程，程，G E MG E M25G E MG E M26例例: : 求矩求矩阵A A的的QRQR分解，分解，G E MG E M4.3 正交子空间正交子空间定定义: : 设W, UW, U是是实内内积空空间V V 的子空的子空间，(1) a V , 假假设b W, 都有都有(a, b ) = 0, 那么称那么称a 与与W 正交，正交，记作作a W ;(2) 假假设a W, b U, 都有都有(a, b ) = 0, 那么称那么称W 与与U 正交，正交，记作作W U ;(3)
9、 假假设W U，并且，并且W + U = V, 那么称那么称U 为W 的正交的正交补。留意：假留意：假设W U，那么，那么 W与与U 的和必是直和。的和必是直和。G E MG E M正交补的存在独一性正交补的存在独一性定理定理: : 设W W 是是实内内积空空间V V 的子空的子空间，那么，那么W W 的正交的正交补存在且独一，记该正交补为存在且独一，记该正交补为 ，并且，并且G E MG E M向量的正投影向量的正投影定义定义: : 设设W W 是实内积空间是实内积空间V V 的子空间，的子空间，那么称向量那么称向量b 为向量向量a 在在W上的正投影，上的正投影，称向量称向量长度度|g |为
10、向量向量a 到到W 的的间隔。隔。Wd db bOa ag gG E MG E M垂线最短定理垂线最短定理定理定理: : 设W W 是是实内内积空空间V V 的子空的子空间，a aV , b V , b 为a a 在在W W上的正投影，那么上的正投影，那么 dW, 有有并且等号成立当且并且等号成立当且仅当当 b = d。Wd db ba aG E MG E M4.4 正交变换正交变换定定义: : 设T T 是是实内内积空空间V V 的的线性性变换，假，假设a aV V 有有那么称那么称T T 为V V 的正交的正交变换。G E MG E M正交变换的特征描写正交变换的特征描写定理定理: : 设
11、T T 是是实内内积空空间V V 的的线性性变换，a, b a, b V V ，那么以下命题等价，那么以下命题等价，G E MG E M33推推论：(1) 两个正交两个正交变换的的积仍是正交仍是正交变换；(2) 正交正交变换的逆的逆变换仍是正交仍是正交变换。G E MG E MHouseholder 变换变换构造构造 的正交变换的正交变换讨论正交正交变换H H 的几何意的几何意义。G E MG E M故故H(a)H(a)是是a a关于子空关于子空间的反射，的反射，d da ag gb bw wO-g-g矩矩阵H 称称为Householder矩矩阵，变换H 称称为Householder变换，变换
12、H 也称初等反射也称初等反射变换。G E MG E M36求一个初等反射求一个初等反射变换H，使，使H(a)=b。只需求一个只需求一个w 使得使得b 是是a 关于子空间关于子空间 的反射，的反射，于是于是w w 与与a - b a - b 平行，故可取平行，故可取G E MG E M4.5 复内积空间复内积空间定定义. .设V V 是一个复是一个复线性空性空间，C C 为复数域，复数域，37假假设a, b V, 存在独一的存在独一的 cC与之与之对应，记作作(a, b ) = c, 并且并且满足足(2) (a +b, g ) = (a, g ) + (b, g )(3) (ka, b ) =
13、k(a, b )(4) (a, a )0, (a, a ) = 0 a = 0那么称那么称 (a, b ) (a, b ) 为a a 与与b b 的内的内积，V V 为复内复内积空空间。复内复内积空空间也称酉空也称酉空间。对称性对称性线性性线性性非负性非负性(1) (a, b ) = (b, a ) G E MG E M38定定义内内积例例. 线性空间线性空间称为复内积空间称为复内积空间 的规范内积。的规范内积。G E MG E M39在复内在复内积空空间中中还有有(5) (a , b +g ) = (a, b ) + (a, g )(6) (a, kb ) = k(a, b )(8) Cau
14、chy-Schwaz不等式不等式且且 (a , b ) = 0 a 与与b 正交正交(10) Schmidt正交化正交化过程把程把线性无关的向量性无关的向量组变成正交成正交组G E MG E M40向量向量a a 与与b b 在在该基下的坐基下的坐标为G E MG E M41G E MG E M度量矩阵度量矩阵矩矩阵 A 称称为基的度量矩基的度量矩阵。，即，即 A 为复正定矩阵。为复正定矩阵。，那么称，那么称 A 为为Hermite矩阵。矩阵。，即，即A 为为Hermite矩阵。矩阵。称称 A 为复正定矩阵。为复正定矩阵。G E MG E M设T T 是复内是复内积空空间V V 的的线性性变换
15、，假，假设a aV V 有有那么称那么称T T 为V V 的酉的酉变换。G E MG E M定理定理: : 设T T 是复内是复内积空空间V V 的的线性性变换，a, b a, b V V ，那么以下命题等价，那么以下命题等价，G E MG E M4.6 正规矩阵正规矩阵例如，例如，对角角阵，酉矩，酉矩阵，Hermite阵都是正都是正规阵。定定义2：设 A, B是复方是复方阵，假，假设存在酉矩存在酉矩阵U，使，使那么称那么称A与与B酉酉类似。似。G E MG E M定理定理1：恣意复方：恣意复方阵必与上三角必与上三角阵酉酉类似。似。对复方复方阵的的阶数用数用归纳法。法。引理引理1：正：正规的三
16、角的三角阵必是必是对角角阵。定理定理2：复方：复方阵A与与对角角阵酉酉类似的充分必要条件是似的充分必要条件是A是正是正规阵。推推论：实对称称阵必与必与对角角阵类似的。似的。G E MG E MVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjR
17、gOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1
18、z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWl
19、ThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3Bu$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+
20、x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUi
21、RfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C
22、0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnV
23、kShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%sWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1
24、z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0yrZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShP
25、dMaJ7B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%rWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!
26、pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#ShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMa3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*
27、u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F
28、4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&slTiQeNb
29、K8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoSgPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9HA-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnV
30、kSgPdLaI7F3C0z)v&oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9HA-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r
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