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1、第三章第三章 网络方程的拓扑分析网络方程的拓扑分析回路方程回路方程3-1 割集方程与回路方程的拓扑解割集方程与回路方程的拓扑解（ZL是是L阶非奇异系数方阵）阶非奇异系数方阵）其中：其中： I Ilklk是第是第k回路的回路电流。若取基本回路，则回路的回路电流。若取基本回路，则I Ilklk是是第第k连支的电流，连支的电流， U Ullilli是第是第i回路的电压源电压；回路的电压源电压； Z Zliklik是行列是行列式式| |Z Zl l | |的的ikik余因式余因式。割集方程割集方程（Yt是是b-n+1阶非奇异系数方阵）阶非奇异系数方阵）11、分母求法、分母求法其中：其中：（C CfTT
2、fTT那些列对应的支路能构成一个那些列对应的支路能构成一个树时，则树时，则1成立）成立） 当当T T条支路构成一树时，行列式条支路构成一树时，行列式|(|(C Cf f Y Yb b) )TT TT | | 对于树支导纳对于树支导纳的乘积；若不构成的乘积；若不构成树时，则其值为树时，则其值为0。TYP: TYP: 树支导纳积树支导纳积2回路方程回路方程其中：其中：（B BfTTfTT那些列对应的支路能构成一个那些列对应的支路能构成一个树余时，则树余时，则1成立）成立） 当当T T条支路构成一树余时，行列式条支路构成一树余时，行列式|(|(B Bf f Z Zb b) )TT TT | | 对于
3、连支阻对于连支阻抗的乘积；若不构成抗的乘积；若不构成树余时，则其值为树余时，则其值为0。LZP: LZP: 连支阻抗积连支阻抗积3例例1：求图示拓扑图的求图示拓扑图的| |Y Yt t | |。解：解：选一个树（选一个树（1，3，5）可得基本割集多项式：可得基本割集多项式：计算该多项式为基底的乘积计算该多项式为基底的乘积所以，所以， 有有4例例2：求图示拓扑图的求图示拓扑图的| |Z Zl l | |。解：解：选一个树（选一个树（1，3，5）可得基本回路多项式：可得基本回路多项式：计算该多项式为基底的乘积计算该多项式为基底的乘积所以，所以， 可得可得52、分子求法、分子求法 其中：其中： Y
4、Ytiktik =(-1)i+k | |Y Ytiktik| | 即从即从Y Yt t中消去中消去i行行k列之后留下的矩阵行列式，其符号列之后留下的矩阵行列式，其符号则为则为(-1)i+k 。要从要从Y Yt t中消去中消去i行行k列，只要在列，只要在( (C Cf f Y Yb b C Cf fT T）中消去中消去i行行k列即可。列即可。CTYP: CTYP: 共有树共有树的导纳的导纳积积N Nsisi ：将原网络第：将原网络第i个树支短路所得网络。个树支短路所得网络。N Nsksk ：将原网络第：将原网络第k个树支短路所得网络。个树支短路所得网络。6分子分子Y Ytiktik求法求法（1）
5、若）若i=k时，时，Y Ytiktik =(-1)i+k | |Y Ytiktik| |（2）若）若i k时，时， CTYP CTYP（共有树导纳积）的总符号由考察传输路径来确定。共有树导纳积）的总符号由考察传输路径来确定。共有树恰在指定的输入和输出之间提供了这个传输路径：共有树恰在指定的输入和输出之间提供了这个传输路径： 若两树支方向箭头连接成头对头，则若两树支方向箭头连接成头对头，则CTYPCTYP的符号为正；的符号为正； 若两树支方向箭头连接成头对尾，则若两树支方向箭头连接成头对尾，则CTYPCTYP的符号为负。的符号为负。7 例：例：图示网络拓扑图以支路图示网络拓扑图以支路2，3，5为
6、树，为树，求求解：解： 短路第一树支（支路短路第一树支（支路2），得），得Ns1短路第二树支（支路短路第二树支（支路3），得），得Ns2短路第三树支（支路短路第三树支（支路5），得），得Ns3Ns1的树：的树： （3+43+4）（）（1+4+51+4+5）=13+14+34+35+45=13+14+34+35+45Ns2的树：的树：Ns3的树：的树：（1+21+2）（）（1+4+51+4+5）（1+21+2）（）（3+43+4）=12+14+15+24+25=12+14+15+24+25=13+14+23+24=13+14+23+248分子分子Zlik求法求法 其中：其中： Z Zliklik
7、 =(-1)i+k | |Z Zliklik| | 即从即从Z Zl l中消去中消去i行行k列之后留下的矩阵行列式，其符号列之后留下的矩阵行列式，其符号则为则为(-1)i+k 。要从要从Z Zl l中消去中消去i行行k列，只要在列，只要在( (B Bf f Z Zb b B Bf fT T）中消去中消去i行行k列即可。列即可。CLZP: CLZP: 共有树共有树余的阻余的阻抗积抗积N Noioi ：将原网络第：将原网络第i个连支开路所得网络。个连支开路所得网络。N Nokok ：将原网络第：将原网络第k个连支开路所得网络。个连支开路所得网络。9分子分子Z Zliklik求法求法（1）若）若i=
8、k时，时，Z Zliklik =(-1)i+k | |Z Zliklik| |（2）若）若i k时，时， CLZP CLZP（共有连支阻抗积）的总符号由考察传输路径来确定。共有连支阻抗积）的总符号由考察传输路径来确定。移去共有连支观察移去共有连支观察Noi与与Nok 第第i i个连支与第个连支与第k k个连支传输回路：个连支传输回路： 若两连支方向箭头连接成头对尾，则若两连支方向箭头连接成头对尾，则CLZPCLZP的符号为正；的符号为正； 若两连支方向箭头连接成头对头，则若两连支方向箭头连接成头对头，则CLZPCLZP的符号为负。的符号为负。10 例：例：图示网络拓扑图以支路图示网络拓扑图以支
9、路2，3，5为树，为树，求求解：解： 开路第一连支（支路开路第一连支（支路1），得），得No1开路第二连支（支路开路第二连支（支路4），得），得No2No1的连支集：的连支集：3 3，4 4，5 5No2的连支集：的连支集：1 1，2 2，5 5No1与与No2的共有连支：的共有连支： 5 5移去共有连支移去共有连支5 5，观察第，观察第1 1个连支与第个连支与第2 2个连支传输回路：个连支传输回路：两连支连接成头对头，故两连支连接成头对头，故CLZPCLZP的符号为负。的符号为负。113-2 驱动点函数的拓扑公式驱动点函数的拓扑公式 在有限网络中，零状态情况下，某响应的拉式变换在有限网络中，
10、零状态情况下，某响应的拉式变换与某激励的拉式变换之比。与某激励的拉式变换之比。1、网络函数：、网络函数：2 2、网络的接入点网络的接入点钳入钳入(Pliers):把网络的一个支路切断造成一对端子。把网络的一个支路切断造成一对端子。驱动点函数：驱动点函数： 激励与响应在同一端口激励与响应在同一端口传输函数：传输函数： 激励和响应激励和响应不不在同一端口在同一端口焊入焊入(S0lder):在网络的两个节点连接引线造成一对端子。在网络的两个节点连接引线造成一对端子。钳入电压源钳入电压源钳入电流源钳入电流源焊入电压源焊入电压源焊入电流源焊入电流源激励接入：激励接入：123、驱动点函数的拓扑确定法驱动点
11、函数的拓扑确定法 （1）钳入法：）钳入法： 选一个树，在某一连支钳入电压源，则选一个树，在某一连支钳入电压源，则钳入导纳钳入导纳钳入阻抗钳入阻抗 （2）焊入法：）焊入法： 选一个树，在某一树支焊入电流源，则选一个树，在某一树支焊入电流源，则焊入阻抗焊入阻抗焊入导纳焊入导纳13例：例：求在第求在第1支路图钳入的驱动点阻抗和驱动点导纳；支路图钳入的驱动点阻抗和驱动点导纳； 求在第求在第5支路图焊入的驱动点阻抗和驱动点导纳。支路图焊入的驱动点阻抗和驱动点导纳。解：解：143-3 传输函数的拓扑公式传输函数的拓扑公式1、传输阻抗和传输导纳的拓扑确定法、传输阻抗和传输导纳的拓扑确定法152、基尔霍夫第三
12、定律、基尔霍夫第三定律 设有设有b条支路条支路n个节点的无耦合网络，其拓扑图是连通的，则个节点的无耦合网络，其拓扑图是连通的，则网络的传输导纳网络的传输导纳 D为网络为网络N的连支阻抗积之和；的连支阻抗积之和； 每个阻抗积的符号，要看所留回路中每个阻抗积的符号，要看所留回路中U Ulili电压升的方向电压升的方向与与I Ilklk 的方向是否一致，若一致取正，反之取负。的方向是否一致，若一致取正，反之取负。V求法：从网络求法：从网络N中移去中移去L-1个支路，使留下的子图中只出个支路，使留下的子图中只出现一个回路，且包含现一个回路，且包含U Ulili与与I Ilklk 在内。然后对所有能形成
13、这在内。然后对所有能形成这种情况的阻抗积求和。种情况的阻抗积求和。16例：例：求图示网络的求图示网络的解：解：拓扑图如右。由拓扑图如右。由基尔霍夫第三定律基尔霍夫第三定律，有，有D为网络为网络N的连支阻抗积之和的连支阻抗积之和V求法：从网络求法：从网络N中中1个支路，使留下的子图中只出现一个包个支路，使留下的子图中只出现一个包含含U Us s与与I I4 4回路，则只能移去支路回路，则只能移去支路5。所留回路中。所留回路中U Us s与与I I4 4方向不方向不一致，故取负。一致，故取负。173、基尔霍夫第四定律、基尔霍夫第四定律 设有设有b条支路条支路n个节点的无耦合网络，其拓扑图是连通的，
14、则个节点的无耦合网络，其拓扑图是连通的，则网络的传输阻抗网络的传输阻抗 D为网络为网络N的树支导纳积之和；的树支导纳积之和； V求法：网络求法：网络Nsisi与与Nsksk移共有树的导纳积之和。移共有树的导纳积之和。 注意式中：注意式中： I Ititi为仅有的电流源，焊入于第为仅有的电流源，焊入于第i i树支；树支； U Utktk为第为第k k树支电压。树支电压。18例：例：图示网络，求图示网络，求解：解：拓扑图如右。由拓扑图如右。由基尔霍夫第四定律基尔霍夫第四定律，有，有D为网络为网络N的树支导纳积之和的树支导纳积之和网络网络Ns1s1：网络网络Ns5s5：共有树：共有树：24193-4
15、 节点方程的拓扑解节点方程的拓扑解1、不含受控源情况、不含受控源情况（Yn是是n阶非奇异系数方阵）阶非奇异系数方阵）节点方程节点方程 当当不含受控源时不含受控源时，节点导纳矩阵的行列式，节点导纳矩阵的行列式| |Y Yn n| | 为为20分子求法分子求法N Nkrkr ：将原网络中节点：将原网络中节点k与参考节点与参考节点r短路所得网络短路所得网络N Nirir ：将原网络中节点：将原网络中节点i与参考节点与参考节点r短路所得网络短路所得网络212、含受控源情况、含受控源情况(1) (1) 不定导纳矩阵和伴随有向图不定导纳矩阵和伴随有向图在在网络之外选一个参考点，网络节点方程：网络之外选一个
16、参考点，网络节点方程：Y Yindind称为不定导纳矩阵称为不定导纳矩阵例：例：写出图示网络的写出图示网络的不定导纳矩阵不定导纳矩阵22不定导纳矩阵的性质：不定导纳矩阵的性质： （1） Y Yindind每行元素之和等于零，每列元素之和等于零，称每行元素之和等于零，每列元素之和等于零，称作作“零和特性零和特性”。 （2） Y Yindind所有的一阶代数余子式都相等。所有的一阶代数余子式都相等。 （3） 去掉去掉Y Yindind中的第中的第k行和第行和第k列，则得到以节点列，则得到以节点k为参考为参考节点的节点导纳矩阵节点的节点导纳矩阵Y Yn n。不定导纳矩阵的标准形式不定导纳矩阵的标准形
17、式： 标准形式的不定导纳矩标准形式的不定导纳矩阵可导出伴随有向图。阵可导出伴随有向图。23(2) (2) 不定导纳矩阵的伴随有向图不定导纳矩阵的伴随有向图 ：有有n个顶点的加权有向图个顶点的加权有向图。 顶点的标号与网络的节点标号一一对应；顶点的标号与网络的节点标号一一对应； 若元素若元素y yijij 0 0，则从顶点则从顶点i i到到j j之间有一个有向边，该边的权之间有一个有向边，该边的权就是就是y yijij 。例：例：画出所示画出所示不定导纳矩阵不定导纳矩阵的伴随的伴随有向图有向图 。 所对应的不定导纳矩阵所对应的不定导纳矩阵的伴随有向图如右图所示。的伴随有向图如右图所示。24(3)
18、 (3) 有向树矩阵有向树矩阵T(GT(Gd d) ) ：n n阶方阵阶方阵 主对角线元素主对角线元素t tiiii为为G Gd d中节点中节点i射出边的度数；射出边的度数； 非主对角线元素非主对角线元素t tijij为为G Gd d中从节点中从节点i指向节点指向节点j的边数的负值。的边数的负值。 例：例：写出所示写出所示伴随有向图的矩阵伴随有向图的矩阵T(GT(Gd d) ) 。 有向树矩阵有向树矩阵T(GT(Gd d) ) 之第之第i i行的任一元素的代数余子式的数值行的任一元素的代数余子式的数值等于等于G Gd d 之中以节点之中以节点i i为参考节点的有向树的数目。为参考节点的有向树的
19、数目。25(4)(4)节点导纳矩阵的行列式节点导纳矩阵的行列式|Y Yn n |求法求法节点导纳矩阵的行列式，即节点导纳矩阵的行列式，即Y Yindind的一阶代数余子式，的一阶代数余子式，等于以任一节点等于以任一节点r为参考点的有向树树支导纳积之和。为参考点的有向树树支导纳积之和。( () ) Y Ynik nik 的求法的求法Y Yniknik是是不定导纳矩阵不定导纳矩阵Y Yindind的二阶代数余子式。的二阶代数余子式。以节点以节点r为参考点为参考点,以以i,k为两分离部分的为两分离部分的2-树。树。26习题三习题三、图图3-1所所示示网网络络拓拓扑扑图图，以以支支路路2、3、5、7为为树树，求求|Yt|和和余余因式因式Yt22、Yt21。图图3-1 2、写出图、写出图3-2所示网络的所示网络的不定导纳矩阵不定导纳矩阵；作出；作出伴随有向图伴随有向图G Gd d ；求出有向树矩阵求出有向树矩阵T(GT(Gd d) )；求出以节点求出以节点1为参考点的为参考点的有向树的数目有向树的数目。图图3-227
