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1、能量是定域于场的，静电能是定域于静电场的。能量是定域于场的，静电能是定域于静电场的。10-8 静电场的能量静电场的能量 一个带电体系所具有的静电能就是该体系所具有一个带电体系所具有的静电能就是该体系所具有的电势能，它等于把各电荷元从无限远离的状态聚的电势能，它等于把各电荷元从无限远离的状态聚集成该带电体系的过程中，外界所作的功。集成该带电体系的过程中，外界所作的功。 带电体系所具有的静电能是由电荷所携带呢，还带电体系所具有的静电能是由电荷所携带呢，还是由电荷激发的电场所携带？能量定域于电荷还是是由电荷激发的电场所携带？能量定域于电荷还是定域于电场？在静电场中没有充分的理由，但在电定域于电场？在
2、静电场中没有充分的理由，但在电磁波的传播中能充分说明场才是能量的携带者。磁波的传播中能充分说明场才是能量的携带者。1 在电容器充电过程中在电容器充电过程中,设某时刻两极板间的电压为设某时刻两极板间的电压为UAB , 在外力作用下持续地将在外力作用下持续地将 dq 电量从负极板移到电量从负极板移到正极板时，外力因克服静电场力作的功为：正极板时，外力因克服静电场力作的功为：所以在电容器中储存的能量为：所以在电容器中储存的能量为：+外力作外力作功功2因为电容器中的电量、场强和电压分别为因为电容器中的电量、场强和电压分别为Q = S = E S , E=E/ r= / ,UAB = Ed 由此可以求得
3、电容器中由此可以求得电容器中静电能量静电能量电容器中静电能的电容器中静电能的能量密度能量密度对于非匀强电场，在体对于非匀强电场，在体元元d 内的电场能量为内的电场能量为整个电场的能量可以表示为整个电场的能量可以表示为3在各向异性电介质中，一般说来在各向异性电介质中，一般说来D与与E的方向不的方向不同，这时电场能量密度应表示为同，这时电场能量密度应表示为球坐标的体元球坐标的体元4心脏起搏器心脏起搏器(利用电容器储利用电容器储存的能量存的能量) 注意注意:大电容千万不能摸大电容千万不能摸(指极板处指极板处)！应用：应用：(1)照相机闪光灯照相机闪光灯 (2)心脏起搏器心脏起搏器5例例题题1 1 计
4、计算算均均匀匀带带电电球球体体的的电电场场能能量量，设设球球半半径径为为R，带电量为带电量为q，球外为真空。球外为真空。解：解：均匀带电球体内外的电场强度分布为均匀带电球体内外的电场强度分布为相应的，球内外的电场能量密度为相应的，球内外的电场能量密度为6在半径为在半径为r厚度为厚度为dr的球壳内的电场能量的球壳内的电场能量整个带电球体的电场能量整个带电球体的电场能量7例例2：一个半径为：一个半径为R，带电荷为，带电荷为q的的金属球金属球浸没在电容浸没在电容率为率为 的无限大均匀电介质中，求空间的电场能量。的无限大均匀电介质中，求空间的电场能量。 rS解解：因为球内没有电场，电场能：因为球内没有
5、电场，电场能为零，由高斯定理求得球外的电为零，由高斯定理求得球外的电场强度为场强度为即即 4 r2 D = q解得电感应强度为解得电感应强度为 该处的能量密度为该处的能量密度为8在半径为在半径为 r 与与 r+dr 之间的球壳的能量为之间的球壳的能量为空间的总能量为空间的总能量为 q R dr rdq9例例3 3 如图所示如图所示, ,球形电容器的内、外半径球形电容器的内、外半径分别为分别为R1和和R2 ，所带电荷为，所带电荷为Q若在两球若在两球壳间充以电容率为壳间充以电容率为 的电介质，问此电容器的电介质，问此电容器贮存的电场能量为多少？贮存的电场能量为多少？Q-Q10解解Q-Q11（球形电
6、容器）（球形电容器）讨讨 论论（1）（2）（孤立导体球）（孤立导体球）12例例4：圆柱形电容器（同轴电缆），中间是空气，：圆柱形电容器（同轴电缆），中间是空气，其击穿电场其击穿电场 ，外半径，外半径R2= 0.01 m。 求空气不被击穿时内半径求空气不被击穿时内半径 R1 取多大值可使电容器取多大值可使电容器 存储的能量最多。存储的能量最多。 解解:由高斯定理知由高斯定理知不击穿时：不击穿时：13电场能量也可写成：电场能量也可写成：要使电容器储能最多，可对上式求导：要使电容器储能最多，可对上式求导：电容器的内半径：电容器的内半径：电容器不被击穿时的最大电势差：电容器不被击穿时的最大电势差：14
7、例5圆柱形电容器由半径为R1的导线和与它同轴的导体圆筒构成，圆筒内半径为R2，长为L，其间充满相对介电常数为r的均匀介质（如图），设沿轴线单位长度上的导线的电荷为0，圆筒的电荷为0，略去边缘效应。求：（1）介质中的电位移D，电场强度E，极化强度P （2）两极的电势差U （3）介质内外表面的极化电荷面密度15解：（1）由高斯定理得，16（2） （3） ， 17例例6有一圆柱形电容器，极板的半径分别为有一圆柱形电容器，极板的半径分别为R1和和R2（R1R2），设极板间为真空，两极的电势差为），设极板间为真空，两极的电势差为U，若电子（质量为若电子（质量为m，电量为，电量为-e）能在其间绕轴作圆周）
8、能在其间绕轴作圆周运动，试求电子应有的速率运动，试求电子应有的速率v（忽略边缘效应及重力）（忽略边缘效应及重力）解： 18例题例题7.7.一平行板空气电容器的板极面积为一平行板空气电容器的板极面积为S，间距，间距为为d，用电源充电后两极板上带电分别为，用电源充电后两极板上带电分别为 Q。断开。断开电源后再把两极板的距离拉开到电源后再把两极板的距离拉开到2d。求（。求（1 1）外力克）外力克服两极板相互吸引力所作的功；（服两极板相互吸引力所作的功；（2 2）两极板之间的）两极板之间的相互吸引力。相互吸引力。 （空气的电容率取为（空气的电容率取为 。）。）板极上带电板极上带电 Q时所储的电能为时所
9、储的电能为解解: :（1 1）两极板的间距为）两极板的间距为d和和2 2d时，平行板电容器的时，平行板电容器的电容分别为电容分别为19（2）设两极板之间的相互吸引力为）设两极板之间的相互吸引力为F ，拉开两极板，拉开两极板时所加外力应等于时所加外力应等于F ，外力所作的功，外力所作的功A=Fd ，所以，所以故两极板的间距拉开到故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的后电容器中电场能量的增量为增量为20例题例题8. 8. 物理学家开尔文第一个把大气层构建为一个物理学家开尔文第一个把大气层构建为一个电容器模型，地球表面是这个电容器的一个极板，带电容器模型，地球表面是这个电容器的一个极板，带有有
10、5 510105 5C C的电荷，大气等效为的电荷，大气等效为5km5km的另一块极板，带的另一块极板，带正电荷。如下页图所示。（正电荷。如下页图所示。（1 1）试求这个球形电容器的）试求这个球形电容器的电容；（电容；（2 2）求地球表面的能量密度以及球形电容器的）求地球表面的能量密度以及球形电容器的能量；（能量；（3 3）已知空气的电阻率为）已知空气的电阻率为3 310101313，求球形电，求球形电容器间大气层的电阻是多少？（容器间大气层的电阻是多少？（4 4）大气电容器的电容）大气电容器的电容和电阻构成一个和电阻构成一个RC放电回路，这个放电回路的时间常放电回路，这个放电回路的时间常数是
11、多少？（数是多少？（5 5）经研究，大气电容器上的电荷并没有）经研究，大气电容器上的电荷并没有由于由于RC回路放电而消失是因为大气中不断有雷电补充回路放电而消失是因为大气中不断有雷电补充的结果，如果平均一个雷电向地面补充的结果，如果平均一个雷电向地面补充2525C的电荷，那的电荷，那么每天要发生多少雷电？么每天要发生多少雷电？21解：解： 如图为地球表面外如图为地球表面外的大气层电容模型的大气层电容模型（1 1）球形电容器的电容）球形电容器的电容公式为公式为地球半径地球半径电离层高度电离层高度负极板负极板负极板负极板（地球表面）（地球表面）（地球表面）（地球表面）极板间的极板间的极板间的极板间
12、的大气电阻大气电阻大气电阻大气电阻正极板正极板正极板正极板（大气电荷）（大气电荷）（大气电荷）（大气电荷）22（2 2）地球表面电场强度为）地球表面电场强度为可得地球表面的能量密度为可得地球表面的能量密度为可得电能为可得电能为J/m3 3J（3 3）由于）由于h 0 W = W末末 -W初初=Q22C末末-Q22C初初= Q212( ) 0S2d12( ) 0S d-(2)外力外力作功作功 = Q( ) dQ 2 0S= 0Q 2d 2 0SA外外 = F外外d = F电电d = Q(E上上)d可见，是外力作功使电容器能量增加。可见，是外力作功使电容器能量增加。 练习：练习：如电容器始终与一个
13、端电压为如电容器始终与一个端电压为V的电源相的电源相连，板间距由连，板间距由d2d，再作此题。，再作此题。34例题例题3 3一平行板空气电容器的板极面积为一平行板空气电容器的板极面积为S，间距，间距为为d，用电源充电后两极板上带电分别为，用电源充电后两极板上带电分别为 Q。断开。断开电源后再把两极板的距离拉开到电源后再把两极板的距离拉开到2d。求（。求（1 1）外力克）外力克服两极板相互吸引力所作的功；（服两极板相互吸引力所作的功；（2 2）两极板之间的）两极板之间的相互吸引力。（空气的电容率取为相互吸引力。（空气的电容率取为 。）。）板极上带电板极上带电 Q时所储的电能为时所储的电能为解解:
14、 :（1 1）两极板的间距为）两极板的间距为d和和2 2d时，平行板电容器的时，平行板电容器的电容分别为电容分别为35（2）设两极板之间的相互吸引力为）设两极板之间的相互吸引力为F ，拉开两极板，拉开两极板时所加外力应等于时所加外力应等于F ，外力所作的功，外力所作的功A=Fd ，所以，所以故两极板的间距拉开到故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的后电容器中电场能量的增量为增量为36 W = W末末 -W初初Q22C末末=Q22C初初-=- Q24C0 0Q22(2C0)=Q22C0-QQ-Q-Q00初初态态末末态态例例4. 求两电容器并联前后，电容器组的能求两电容器并联前后，电容器组的能 量变化量变化(设每个电容器的电容量为设每个电容器的电容量为C0)。 解：解： 能量哪儿去了？能量哪儿去了？ 第第10章结束章结束37
