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1、线性代数下页结束返回本章作业19220211线性代数下页结束返回第第4 4节节 分块矩阵分块矩阵 用用假假设干干条条横横线和和纵线把把矩矩阵A分分成成假假设干干小小块，每每一一个小个小块作作为一个矩一个矩阵，称，称为A的子的子块(或子矩或子矩阵). 把把A的每一个子的每一个子块作作为一个元素构成的矩一个元素构成的矩阵称称为分分块矩矩阵.例如例如其中，子其中，子块 下页4.1 4.1 分块矩阵的概念分块矩阵的概念线性代数下页结束返回有有时候，也常把矩候，也常把矩阵按列分按列分块： 称之称之为列分列分块矩矩阵，其中，其中 假假设按行分按行分块 称称为行分行分块矩矩阵，其中，其中 下页线性代数下页结
2、束返回4.2 4.2 分块矩阵的运算分块矩阵的运算1. 分分块矩矩阵的加法的加法 设A,B都是都是nm矩矩阵，用一，用一样的分法将的分法将A,B分分块为 都是同型矩都是同型矩阵，那么，那么 下页线性代数下页结束返回例例1. 设有矩阵设有矩阵 2.数乘分数乘分块矩矩阵 用数用数k k乘分乘分块矩矩阵 A A，等于用数，等于用数k k乘矩乘矩阵A A的每一个子的每一个子块，即，即 下页那么那么线性代数下页结束返回3.分分块矩矩阵的的转置置 是一个是一个rsrs型分型分块矩矩阵，它的，它的转置是一个置是一个srsr型分型分块矩矩阵： 例例2. ,那么那么下页线性代数下页结束返回4.分块矩阵的乘法分块
3、矩阵的乘法 设A为ml矩矩阵，B为ln矩矩阵，对A,B分分块 且子且子块 的列数分的列数分别等于子等于子块 的行数，的行数， 那么那么其中其中 下页线性代数下页结束返回例例3. 用分用分块法法计算算AB ,其中其中 解解: A,B如上分如上分块 其中其中 下页线性代数下页结束返回其中其中 同理得同理得0C21=C22=C23=故故下页线性代数下页结束返回 设A A是一个是一个mnmn矩矩阵，B B是一个是一个nsns矩矩阵，将，将B B的每一列分的每一列分成一个子成一个子块，变为列分列分块矩矩阵，即，即 此此时把把A A看作只需一看作只需一块的矩的矩阵，那么，那么 Abj (j=1,2,.,n
4、) Abj (j=1,2,.,n)有意有意义, ,从而有从而有下页5.特殊分块矩阵的乘法特殊分块矩阵的乘法 ( (验证，见下例下例.).)线性代数下页结束返回B = ，求AB. A= ， 例例4设设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0 解：解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=5-38注：用先列后行法注：用先列后行法线性代数下页结束返回 解：解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=5-38 -70-7B = ，求AB. A= ， 例例4设设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0注：用先列后行法注：用先列后行法线性代数下页结束返回 解：解：2
5、31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=5-38 -70-7-6-9-32 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=2 31 -23 1= =122 31 -23 1-2-12 31 -23 1-30即B = ，求AB. A= ， 例例4设设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0下页注：用先列后行法注：用先列后行法线性代数下页结束返回4.3 分块对角矩阵和分块三角矩阵分块对角矩阵和分块三角矩阵设A A是是n n阶方方阵，假假设A A的的分分块矩矩阵除除主主对角角线上上有有非非零零子子块外外，其他子其他子块都是零子都是零子块，即，即都是方阵，那么称方阵为分块对角矩阵，都是方阵，那么称方阵为分块对角矩阵，其中，其中，或称或称为准准对角矩角矩阵. . 下页线性代数下页结束返回如如可将矩可将矩阵表示成分表示成分块对角角阵 其中其中 下页线性代数下页结束返回设有两个分块对角矩阵设有两个分块对角矩阵 其中，其中，A,B同同阶，且子，且子块Ai，Bi同同阶，i=1,2,s，可以，可以证明明 12下页线性代数下页结束返回34特特别地，假地，假设A1A1，A2A2分分别为m m阶和和n n阶方方阵，那么，那么 下页线性代数下页结束返回特特别地：地：下页线性代数下页结束返回 例例3解解: 把矩把矩阵A进展分展分块下页
