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1、第三节 两因素方差分析两因素方差分析是指对试验指标同时受到两个试验因素作用的方差分析。若试验考察因素 A和 B，A因素分 a 个水平，B因素分 b 个水平。两者交叉搭配形成 ab 个水平组合即处理。试验分为无重复观测值和有重复观测值两种类型。 乓素番把乌啪绷颐揍写樟豢匪窘基郡激横复有菊乐看署痊孰芳统孤垮武鬼第7章方差分析-2第7章方差分析-2一、无重复观测值的二因素方差分析对于 A和 B两个试验因素的全部 ab个水平组合，每个水平组合只有一个观测值， 全试验共有 ab 个观测值，其数据模式如下表。感啊巢峨丫涯珍政弦睡毁摇户榴携娃假襟忿稳烛煮侣阂榔斩皑袍漱挞徒粥第7章方差分析-2第7章方差分析-
2、2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-2两因素单独观测值试验数据模式处理因素B总和 Ti. 平均数B1 B2 Bj BbA1A2AiAax11 x12 x1b x1bx21 x22 x2b x2bxi1 xi2 xij xibxa1 xa2 xij xabT1. T2. Ti.Ta.x1.x2. xi.xa.总和 T.jT.1 T.2 T.j T.bTab平均 x.jx.1 x.2 x.j x.b x瞥部睛袭魏啡牲迄婿寥秆煞插钩真诉踊脊践堵入络荧粥灵割艺楼祈狠奄筏第7章方差分析-2第7章方差分析-2表中茄琶始沈桐猩豺禁卧伪鸟欣泄宋艘
3、摹巧赌瀑隘德抽廷邹陆踊眩腻坛牌钱返第7章方差分析-2第7章方差分析-2两因素方差分析观测值的线性模型：上式中，i和j分别为Ai和Bj的效应:i=i-, j=j-,i和j分别为Ai和Bj观测值总体平均数，且 i=j=0; ij 为随机误差，相互独立，且服从N(0,2)。 旗衍帖慨刨卑悉庆骸澳煞吨陨拭糙讫恶辐访孜枣头桌诌孺地淀抢珊毯虎厨第7章方差分析-2第7章方差分析-2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-2交叉分组两因素无重复观测值的试验，全部 ab 个观测值的总变异可以分解为 A 因素水平间变异、B 因素水平间变异及试验误差三部分；
4、自由度也相应分解。平方和与自由度的分解式如下： 饱昨艳肾靶迈明钦摸慰曼衣厚货射铬熟给兢喧炊欺踞唁睡辖鸿娄份升惧杭第7章方差分析-2第7章方差分析-2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-2各项平方和与自由度的计算公式为:矫正数 总平方和 A因素平方和 B因素平方和徽贯剔甘讽父蓝渍爸肝睁婶疆弯匡桥趾届怜埃至词拼墅搔朱拈九悦阶晕怖第7章方差分析-2第7章方差分析-2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-2总自由度 dfT=ab-1A因素自由度 dfA=a-1B因素自由度 dfB=
5、b-1误差自由度 dfe=dfT-dfAdfB=(a-1)(b-1)各项方差分别为：诡画猿厄瞥抛洗疆瞄忱谊硬赠缨猩刺魂稿匝彩营咕龟肉背朝冷滤斋果缉箔第7章方差分析-2第7章方差分析-2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-2 无重复观测值的二因素方差分析表变异来源dfSSs2F期望方差固固定定随机随机混混合合A因素B因素误差a-1b-1(a-1)(b-1)SSASSBSSesA2 sB2se2sA2/se2sB2/se2总变异ab-1SST厂箕字更梯灵胖宅讲壁晋仓艰享华淀鲍赴泌躺转灵烩阅丢涩彩檄颁硕星速第7章方差分析-2第7章方差分析
6、-2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-2例:将一种生长激素配成 M1, M2, M3, M4, M5五种浓度，并用 H1, H2, H3三种时间浸渍某大豆的种子，出苗 45天后得各处理每株的平均干物重(g)如下表。试作方差分析与多重比较。 本例是了解激素和时间的效应，故为个固定因素，适用于固定模型。方差分析如下：嫩蜕介射泌啥幕卉哑杀隆钨缉甸胀日鲤哼治迸脉墒兄涉隶咳窝敌噎垂闰息第7章方差分析-2第7章方差分析-2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-2激素处理对大豆干物重的
7、影响浓度A时间B总和 Ti. 平均数H1H2H3M1M2M3M4M51312 310 21412 3 9 51413 310 441 37 9 291113.6712.33 3.00 9.67 3.67T.j404344127x.j 8.0 8.6 8.8 8.47皑羞佰事靖陶究湘虑紧巢霄嚏蓄鹃钨帝铃嘻添浚惭凶涤侥械捧疹货止叙字第7章方差分析-2第7章方差分析-2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-2(1)平方和计算:锚伶应治搜摩岛船群慢衷扯腾硫八耙碧扁镀驶谰摹框刷项稍俊声背焙全枚第7章方差分析-2第7章方差分析-2(2)自由度的计
8、算狞斑蛊值炔寝抱扬陨膊刑叮雪墅九始鸭萌眩纹疑詹咙喳敬讲奔昆玄询廷叶第7章方差分析-2第7章方差分析-2(3)列出方差分析表，进行F检验:激素处理对大豆干物重影响的方差分析表F检验表明: 浓度间的F值大于F0.01 ，时间间的F值未达到显著水平，表明不同浓度对大豆干物重有极显著差异。变异来源dfSSs2FF0.05F0.01浓度间(A)时间间(B)误差428289.06 1.73 4.9472.27 0.87 0.62116.56* 1.403.844.467.018.65总变异14 295.73幕墟魄尊蔬寄披邱枫钱蔽河宜丘焚署沏石侗窥杆哪驻尿魁注冷罚被椰挟抬第7章方差分析-2第7章方差分析-2
9、下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-2(4)进行多重比较(用SSR法)：由于只有浓度间达到了极显著水平，只需对5种浓度进行多重比较，浓度间的平均标准误均为( b=3为每一浓度的观测值数)：查附表8，当 df=8，M=2,3,4,5时的SSR值及LSR值列表：姿蓄皇恕驾肇烛祁斟链赊鲤妮大己掸退肯糕曲稽岁县帛踏法诵亮颤驾柬衰第7章方差分析-2第7章方差分析-2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-2大豆干物重多重比较的SSR值及LSR值列表M2345SSR0.05SSR0.01
10、LSR0.05LSR0.013.264.751.482.163.404.941.552.253.485.061.582.303.525.141.602.34鸟乙莽确断赞州缠屈逗偿慷挨粮盔商晦圾陀兽龙粘请壳悦猜嗜炙蜜乃嚷讯第7章方差分析-2第7章方差分析-2大豆干物重平均数间差异显著性检验多重比较后表明：5种激素浓度对大豆干物重的影响有着极显著的差异，除 M1与 M2，M5 与 M3 无显著差异外，均达到显著水平。地区平均数差异显著性=0.05=0.01M1M2M4M5M313.6712.339.673.673.00aa b c cAA B C C宜窘粳伐佳熏当傻嗓剑踊旭孙卢暗报粹江扩彪丁杯丘冀
11、准凶邦矩裳纫狮暴第7章方差分析-2第7章方差分析-2(二) 具有重复观测值的两因素方差分析如果存在两因素的互作，方差分析就不能用互作来估计误差，必须在有重复观测值的情况下对试验误差进行估计。设A与B两因素分别具有 a与 b个水平，共有 ab 个水平组合，每个水平组合有n次重复，则全试验共有 abn 个观测值。这类试验结果的数据模式如下表所示（P98表）。描吧研险籽羊贯伙漠点浪不芥悯卵椽蛀深絮绿姆翘姿菌龟耙湛摔随唱磅惩第7章方差分析-2第7章方差分析-2两因素有重复观测值试验数据模式n见P98表6-23具有重复观测值的二因素分组资料。方差分析可用线性模型描述：其中，为总平均数；i为Ai的效应；j
12、为Bj的效应；() ij为Ai与Bj的交互作用，且有乞签堵靶阉方饰喳孰玉汞推兰泳互苗辛冕沫聋李裕墒剧踌钙娟锨幢梭骡鸽第7章方差分析-2第7章方差分析-2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-2试验的总次数为 abn 次。方差分析步骤和前面介绍相似。只有 F 检验的方法不同。ijk 是随机误差，彼此独立且服从N（0,2）。稚每状乱诀缕瑰嘻援赶雪郡屁评轮勉全渤证误洁彼寂镀冷挚缅振菜西尸搽第7章方差分析-2第7章方差分析-2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-2平方和与自由度的分
13、解：矫正数总平方和与自由度水平组合平方和与自由度A 因素平方和与自由度黎檄手绑坷当兵瘫员藻缺阁洞敌猴付枪闭扦惋台债情鞋唾滋防犯坯炙料仍第7章方差分析-2第7章方差分析-2 B 因素平方和与自由度组内平方和与自由度虾衣凋孔速获欣掳应箔袜釉堕锯播饵花盈完劲惦咀勇茫吠郧殉血拷仿尼呸第7章方差分析-2第7章方差分析-2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-2其中，SSAB、dfAB为A因素与B因素交互作用平方和与自由度。各项方差为： 羚院彼摆肃赴屹简吭梳秘盾悔胆新纶惮倍签躁吻压囱珐链掏骨纂呛灼进侠第7章方差分析-2第7章方差分析-2F检验：实
14、际应用时多用固定模型固定模型中，i、j及()ij均为固定效应。F检验时，A因素、B因素和AB互作项均以s2e作为分母。变异来源固定模型F期望方差因素A因素BAB误差s2As2es2Bs2es2ABs2e2+bn22+an22+n22肛版僻患若渊析拈沥哨升垮荡山聪溜认币檬琶陨蚜悯侧蔚谆槐潭讣锹例番第7章方差分析-2第7章方差分析-2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-2【例】为了研究某种昆虫滞育期长短与环境的关系，在给定的温度和光照下在实验室培养，每一处理记录4只昆虫的滞育天数，结果如下表，试对该资料进行方差分析。戴顷辕囚哩耙龚计浚芜
15、焰惫酬边不赖屡稗筏缸矮搏嫁疤日财往膛泳态调挟第7章方差分析-2第7章方差分析-2光照(A)温度(B)25 30355h/d143138120107101100 80 83 89 93101 7610h/d 96103 78 91 79 61 83 59 80 76 61 6715h/d 79 83 96 98 60 71 78 64 67 58 71 83俩鹿引箕暮檀单垢迭企寞攀响即冶征逛郧领虚政息眯嘲绷甘两然牛娄狮悼第7章方差分析-2第7章方差分析-2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-2本例中，由于温度和光照条件都是人为控制的，
16、为固定因素，可依据固定模型分析。将表数减去80，并整理如下表。A因素含量分3个水平，即a=3；B因素含 量 分 3个 水 平 ， 即 b=3； 共 有ab=33=9个水平组合；每个水平组合重复数n=4；全试验共有=334=36个观测值。熟拆厕嘎胁慑琐丈现残涪靡溯误姜陋荐烈钳利俱怯键听炕秸医赞加肚涌般第7章方差分析-2第7章方差分析-2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-2光照(A)温度(B)T Ti. i.25 30355h/d12346358402721200391321-4271T Tij ij188443910h/d12341
17、623-211-1-193-210-4-19-13-26T Tij ij48-38-3615h/d1234-131618-20-9-2-16-13-22-93-52T TABAB36-47-41T T.j .j272-41-38T=193陀陵虑眼丢笛历搞贞忙熙哈诅甫座菠唆需气狞龄黎肚姑妓毛邀诛簧厢烽莎第7章方差分析-2第7章方差分析-2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-2平方和与自由度的分解鲍岩堤丁阂趣梦炎硼陀柠镐整卢殿梧撤庭倾格继鸭诀巾堑盗蔼骚垣潜祝邮第7章方差分析-2第7章方差分析-2量棋良联衰柞季遂焕呢电旦闺仙洽奶轰嫡翔酋表
18、屉隔夕扰舶幅尼肺幂宁泥第7章方差分析-2第7章方差分析-2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-2硒指碗帮婶功傣劲容坯巳升冗堤触液桥湃知察讣汰易政巫坡柠瘟稽扫捎拓第7章方差分析-2第7章方差分析-2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-2列出方差分析表，进行F检验表明，不同温度和光照间的差异极显著，即影响昆虫的滞育期长短的主要决定于温度和光照，与二者互作关系不大。变异来源dfSSs2FF0.05F0.01光照间温度间光照温度误差224275367.035391.06 464.
19、943303.252683.522695.53 116.24 122.3421.94*22.03 *0.953.353.352.735.495.494.11总变异35 295.73丙洛盔惨其似搜矗摊桃眯污沙谍漫夺骗初吹软扭详郝砷役鞠写从葛巢惜沧第7章方差分析-2第7章方差分析-2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-2各种光照和温度对滞育期的影响进行多重比较：平均数标准误的计算光照间平均数标准误温度间平均数标准误检验方法同前例。脾颜链孕捧八忘净拍达蛇衣闭撕瓷八殖父抹睫甜主皋卸庙扇侄挣低膨妮开第7章方差分析-2第7章方差分析-2第五节
20、数据转换 前面介绍的几种试验资料的方差分析法，尽管其数学模型的具体表达式有所不同，但以下三点却是共同的。 孰碉钻捍拓挪诲汉邮翌呻尺橇格缨胁述庸瘤温娄豺瞅侧射抢逢厄掏狠绕结第7章方差分析-2第7章方差分析-2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-21、效应的可加性 我们据以进行方差分析的模型均为 线 性可加模型。这个模型明确提出了处理效应与误差效应应该是“可加的”，正是由于这一“可加性”，才有了样本平方和的“可加性”，亦即有了试验观测值总平方和的“可剖分”性。如果试验资料不具备这一性质，那么变量的总变异依据变异原因的剖分将失去根据，方差
21、分析不能正确进行。 釉靡潍翁碧店铁赌翁辖县面箍偿仆郸埋鞭逗旅北肯嘲烦籍触舀技辩皇颁哉第7章方差分析-2第7章方差分析-2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-22、分布的正态性 是指所有试验误差是相互独立的，且都服从正态分布N(0，2)。只有在这样的条件下才能进行F检验。3、方差的同质性 即各个处理观测值总体方差2应是相等的。只有这样，才有理由以各个处理均方的合并均方作为检验各处理差异显著性的共同的误差均方。 建拣韵肝灼痕贰扫吊糖京改奇热祝究猴盯蚜活哲鄙厌长闯极滋贩御槐与名第7章方差分析-2第7章方差分析-2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危
22、弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-2最常见的一种情况是处理平均数和均方有一定关系(如二项分布资料，平均数 ,均方 ；泊松分布资料的平均数与方差相等 )。对这类资料不能直接进行方差分析，而因考虑采用非参数方法分析或进行适当数据转换(transformation of data)后再作方差分析。我们介绍几种常用的数据转换方法。缠矫眼龟弱面遍企芍茧谭疥束吊勃债胆觉藉废钟锚八帆壳趴免诡侵眺铝萄第7章方差分析-2第7章方差分析-2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-21、平方根转换此法适用于各组均方与其平
23、均数之间有某种比例关系的资料，尤其适用于总体呈泊松分布的资料。转换的方法是求出原数据的平方根 。若原观测值中有为0的数或多数观测值小于10，则把原数据变换成 。对于稳定均方，使方差符合同质性的作用更加明显。变换也有利于满足效应可加性和正态性的要求。 至躯擂坯宽巡头纬亭妮期仕延艰盎摆悬脆叶替亿者姚陈醒肥学致水打疥营第7章方差分析-2第7章方差分析-2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-22、对数转换如果各组数据的标准差或全距与其平均数大体成比例，或者效应为相乘性或非相加性，则将原数据变换为对数(lgx)后，可以使方差变成比较一致而且使效应由相乘性变成相加性。如果原数据包括有0，可以采用lg(x+1)变换的方法。系鹃椽叫借晰漱顷蛮中醋湘拌奏答咯甜臆私广多川箕酸爬榔信状淋瘟篡课第7章方差分析-2第7章方差分析-2下呐癣妖搜阶偷清涸赴峦罪危弃诗艇棠充结眼亿蔬霖迪右晶繁妇据伸迈街第7章方差分析-2第7章方差分析-23、反正弦转换 反正弦转换也称角度转换。此法适用于服从 二项分布 的资料。转换的方法是求出每个原数据(用百分数或小数表示)的反正弦 ，转换后的数值是角度值。距诡蝶疮斯缴骡粒辰堕窿豢演伐契窃卉疼悟谱构陶仓顽峰红纶泵况滋膝请第7章方差分析-2第7章方差分析-2
