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1、第2课时 进位制1.1.通过阅读进位制的算法案例，体会进位制的算法思想；通过阅读进位制的算法案例，体会进位制的算法思想；2.2.初步学会几种进位制之间的转换，初步理解几种进位制之初步学会几种进位制之间的转换，初步理解几种进位制之间的转换的算法思想；间的转换的算法思想；3.3.能运用几种进位制之间的转换，解决一些有关的问题能运用几种进位制之间的转换，解决一些有关的问题. .1.1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的算法，秦九韶算法是求多项式的值的算法，将这些算数的算法，秦九韶算法是求多项式的值的算法，将这些算法转化为程序，就可以由
2、计算机来完成相关运算法转化为程序，就可以由计算机来完成相关运算. .2.2.人们为了计数和运算方便，约定了各种进位制，这些进人们为了计数和运算方便，约定了各种进位制，这些进位制是什么概念，它们与十进制之间是怎样转化的？对此，位制是什么概念，它们与十进制之间是怎样转化的？对此，我们从理论上进行了解和研究我们从理论上进行了解和研究. .进位制的概念进位制的概念 思考思考1:1:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，如逢十进一，就是十进制；每七天为一周，就是七进制；如逢十进一，就是十进制；每七天为一周，就是七进制；每十二个月为一年，就是十二进制；每六
3、十秒为一分钟，每十二个月为一年，就是十二进制；每六十秒为一分钟，每六十分钟为一个小时，就是六十进制；等等每六十分钟为一个小时，就是六十进制；等等. .一般地，一般地，“满满k k进一进一”就是就是k k进制，其中进制，其中k k称为称为k k进制的基数进制的基数. .那么那么k k是一是一个什么范围内的数？个什么范围内的数？ 思考思考2:2:十进制使用十进制使用0 09 9十个数字，那么二进制、五进制、十个数字，那么二进制、五进制、七进制分别使用哪些数字？七进制分别使用哪些数字？ 思考思考3:3:在十进制中在十进制中1010表示十，在二进制中表示十，在二进制中1010表示表示2.2.一般地，一
4、般地，若若k k是一个大于是一个大于1 1的整数，则以的整数，则以k k为基数的为基数的k k进制数可以表示进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式：为一串数字连写在一起的形式：a an na an-1n-1a a1 1a a0(k)0(k). .其中各个数位上的数字其中各个数位上的数字a an n，a an-1n-1，a a1 1，a a0 0的取值范围如的取值范围如何？何？思考思考4:4:十进制数十进制数45284528表示的数可以写成表示的数可以写成4 410103 3+5+510102 2+2+210101 1+8+810100 0，依此类比，二进制数，依此类比，二进制数1100111
5、10011（2 2）, ,八进制数八进制数 73427342（8 8）分别可以写成什么式子？分别可以写成什么式子？110011110011（2 2）=1=12 25 5+1+12 24 4+0+02 23 3+0+02 22 2+1+12 21 1+1+12 20 073427342（8 8）=7=78 83 3+3+38 82 2+4+48 81 1+2+28 80 0. .思考思考5:5:一般地，如何将一般地，如何将k k进制数进制数a an na an-1n-1a a1 1a a0(k)0(k)写成各数位写成各数位上的数字与基数上的数字与基数k k的幂的乘积之和的形式？的幂的乘积之和的形
6、式？a an na an-1n-1a a1 1a a0(k)0(k)=a=an nk kn n+a+an-1n-1k kn-1n-1+ +a+a1 1k k1 1+a+a0 0k k0 0k k进制化十进制的算法进制化十进制的算法例例1 1 把二进制数把二进制数110011110011（2 2）化为十进制数是什么数？化为十进制数是什么数？110011110011（2 2）=1=12 25 5+1+12 24 4+0+02 23 3+0+02 22 2+1+12 21 1+1+12 20 0 =32+16+2+1=51. =32+16+2+1=51. 思考思考1:1:二进制数右数第二进制数右数第
7、i位数字位数字a ai化为十进制数是什么数？化为十进制数是什么数？a ai2 2i-1-1例例2 2 利用利用a an na an-1n-1a a2 2a a1(2)1(2)=a=an n2 2n-1n-1+a+an-1n-12 2n-2n-2+ + + a + a2 22 21 1+a+a1 12 20 0运用循环结构，设计一个算法，把运用循环结构，设计一个算法，把k k进制数进制数a a化为十化为十进制数进制数b b的算法步骤如何设计？的算法步骤如何设计？第一步第一步: :输入输入a,ka,k和和n n的值的值. .第二步第二步: :令令b=0b=0，i=1.=1.第三步第三步: :b=b
8、+ab=b+aik ki-1-1，i= =i+1.+1.第四步第四步: :判断判断in n 是否成立是否成立. .若是，则输出若是，则输出b b的值；否则，返的值；否则，返回第三步回第三步. .第五步第五步: :输出输出b b的值的值. .思考思考2:2:上述把上述把k k进制数进制数a=aa=an na an-1n-1a a2 2a a1(k)1(k)化为十化为十进制数进制数b b的算法的程序框的算法的程序框图如何表示？图如何表示？ 开始开始输入输入a，k，nb=0i=1把把a的右数第的右数第i位数字赋给位数字赋给tb=b+tki- -1i=i+1in?结束结束是是输出输出b否否思考思考3:
9、3:该程序框图对应的程序如何表述？该程序框图对应的程序如何表述？INPUT aINPUT a，k k，n nb=0b=0i=1=1t=a MOD10t=a MOD10DODOb=b=b+tb+t*k*k（i-1-1）a=a/10a=a/10t=a MOD10t=a MOD10i= =i+1+1LOOP UNTIL LOOP UNTIL innPRINT bPRINT bENDEND例例3 3 已知已知10b110b1（2 2）=a02=a02（3 3）, ,求数字求数字a a，b b的值的值. .10b110b1（2 2）=1=12 23 3+b+b2+1=2b+9.2+1=2b+9.a02a
10、02（3 3）=a=a3 32 2+2=9a+2.+2=9a+2.所以所以2b+9=9a+22b+9=9a+2，即，即9a-2b=7. 9a-2b=7. 故故a=1a=1，b=1. b=1. 除除k k取余法取余法思考思考1:1:二进制数二进制数101101101101（2 2）化为十进制数是什么数？化为十进制数是什么数？101101101101（2 2）=2=25 5+2+23 3+2+22 2+1=45. +1=45. 例例4 4 把把8989化为二进制数化为二进制数. .解：解：根据二进制数根据二进制数“满二进一满二进一”的原则，可以用的原则，可以用2 2连续去连续去除除8989或所得商
11、，然后取余数或所得商，然后取余数. .具体计算方法如下：具体计算方法如下：因为因为 89=289=244+1,44+1, 44=2 44=222+0,22+0, 22=2 22=211+0,11+0, 11=2 11=25+1,5+1, 5=2 5=22+1,2+1, 2=2 2=21+0,1+0, 1=2 1=20+1,0+1,所以所以 89=289=2(2 (2 (2 (2 (2 (2 (2(22 2+1)+1)+0)+0)+1+1)+1)+0)+0)+1 =2 =2(2 (2 (2 (2 (2 (2 (2(22 2+1)+1)+0)+0)+1+1)+1)+0)+0)+1 = = =1 =
12、12 26 6+0+02 25 5+1+12 24 4+1+12 23 3+0+02 22 2+0+02 21 1+1+12 20 0 =1011001 =1011001(2)(2)上述化十进制数为二进制数的算法叫做上述化十进制数为二进制数的算法叫做除除2 2取余法取余法，还可以用下面的除法算式表示：还可以用下面的除法算式表示：21222502112222442891001101余数余数思考思考2:2:上述方法也可以推广为把十进制数化为上述方法也可以推广为把十进制数化为k k进制数的算进制数的算法，称为法，称为除除k k取余法取余法，那么十进制数，那么十进制数191191化为五进制数是什化为五
13、进制数是什么数？么数？0515753851911321余数余数191=1231191=1231（5 5）思考思考3:3:若十进制数若十进制数a a除以除以2 2所得的商是所得的商是q q0 0，余数是，余数是r r0 0， 即即a=2a=2q q0 0+ r+ r0 0； q q0 0除以除以2 2所得的商是所得的商是q q1 1，余数是，余数是r r1 1，即，即q q0 0=2=2q q1 1+ r+ r1 1； q qn-1n-1除以除以2 2所得的商是所得的商是0 0，余数是，余数是r rn n，即，即q qn-1n-1= = r rn n，那么十进制数那么十进制数a a化为二进制数是
14、什么数？化为二进制数是什么数？a=ra=rn nr rn-1n-1r r1 1r r0(2)0(2)思考思考4:4:根据上面的分析，将十进制数根据上面的分析，将十进制数a a化为二进制数的化为二进制数的算法步骤如何设计？算法步骤如何设计？第一步：第一步：输入十进制数输入十进制数a a的值的值. .第二步：第二步：求出求出a a除以除以2 2所得的商所得的商q q，余数，余数r.r.第三步：第三步：把所得的余数依次从右到左排列把所得的余数依次从右到左排列. .第四步：第四步：若若q0q0，则，则a=qa=q，返回第二步；否则，输出全，返回第二步；否则，输出全部余数部余数r r排列得到的二进制数排
15、列得到的二进制数. .例例5 5 根据上面的分析，设计一个程序，实现根据上面的分析，设计一个程序，实现“除除k k取余法取余法”（k kN N，2 2k k9 9）. .第一步：第一步：输入十进制数输入十进制数a a和基数和基数k k的值的值. .第二步：第二步：求出求出a a除以除以k k所得的商所得的商q q，余数，余数r.r.第三步：第三步：把所得的余数依次从右到左排列把所得的余数依次从右到左排列. .第四步：第四步：若若q0q0，则，则a=qa=q，返回第二步；否则，输出全部余，返回第二步；否则，输出全部余数数r r排列得到的排列得到的k k进制数进制数. .程序框图程序框图开始开始输
16、入输入a，k 求求a除以除以k的商的商q求求a除以除以k的余数的余数r把所得的余数依次从右到左排列把所得的余数依次从右到左排列a=qq=0？结结 束束输出全部余数输出全部余数r排排列得到的列得到的k k进制数进制数是是否否程序程序INPUT aINPUT a，k kb=0b=0i=0=0DODO q=a/k q=a/k r=a MOD k r=a MOD k b= b=b+rb+r*10*10i i= =i+1+1 a=q a=qLOOP UNTIL q=0LOOP UNTIL q=0PRINT bPRINT bENDEND例例6 6 将十进制数将十进制数458458分别转化为四进制数和六进制
17、数分别转化为四进制数和六进制数. .041474284114445822031余数余数06261267664582402余数余数458=13022458=13022（4 4）=2042=2042（6 6）例例7 7 将五进制数将五进制数32413241（5 5）转化为七进制数转化为七进制数. . 3024130241（5 5）=3=35 54 4+2+25 52 2+4+45+1=1946. 5+1=1946. 0757397278719460545余数余数3024130241（5 5）=5450=5450（7 7） 完成下列进位制之间的转化：完成下列进位制之间的转化：（1 1）1023110
18、231（4 4）= = （1010）；（2 2）235235（7 7）= = （1010）；（3 3）137137（1010）= = （6 6）；（4 4）12311231（5 5）= = （7 7）；3013013453451241243623621 1进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值置表示不同的数值. .可使用数字符号的个数称为基数，可使用数字符号的个数称为基数，基数为基数为k k，即可称，即可称k k进位制，简称进位制，简称k k进制进制.k.k进制需要使用进制需要使用k k个数字个数字. .2 2十进制与二进制之间
19、转换的方法：十进制与二进制之间转换的方法： 先把这个先把这个k k进制数写成用各位上的数字与进制数写成用各位上的数字与k k的幂的乘的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果. .3 3十进制数转化为十进制数转化为k k进制数的方法：（除进制数的方法：（除k k取余法）取余法） 用用k k连续去除该十进制数或所得的商，直到商为零为连续去除该十进制数或所得的商，直到商为零为止，然后把每次所得的余数倒着排成一个数，就是相应止，然后把每次所得的余数倒着排成一个数，就是相应的的k k进制数进制数. .要想利用风驰电掣的机会，不仅要做好物质上的准备，更重要的是要做好精神上的准备。
