大气科学专业流体力学第一章基础概念

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1、 流体力学流体力学 李忠贤李忠贤南京信息工程大学大气科学学院南京信息工程大学大气科学学院 2010201020112011学年第学年第2 2学期课程学期课程引 言 一、流体力学的研究对象流体力学是力学的一个分支，是研究水和空气之类流体力学是力学的一个分支，是研究水和空气之类流体力学是力学的一个分支，是研究水和空气之类流体力学是力学的一个分支，是研究水和空气之类的流体的流体的流体的流体宏观运动规律宏观运动规律宏观运动规律宏观运动规律，以及流体与固体之间相互作，以及流体与固体之间相互作，以及流体与固体之间相互作，以及流体与固体之间相互作用规律的一门学科。用规律的一门学科。用规律的一门学科。用规律的

2、一门学科。流体力学的基本内容流体力学的基本内容流体的运动规律如何？流体的运动规律如何？流体运动时对处于其中的其他物体产生的影响和作用如何？流体运动时对处于其中的其他物体产生的影响和作用如何？问 题：水 液体 空气 气体流体 地球流体海洋 大气2 理论方法二、研究方法流体性质和流动特性的主要因素理论流体力学宏观物理模型或理论模型控制流体运动的闭合方程组问题的求解物理规律数学3存在问题：存在问题： 流体运动方程组通常为包含流体运动方程组通常为包含非线性项非线性项的微分方程所的微分方程所构成。构成。 由于数学上求解的困难，许多实际流动问题由于数学上求解的困难，许多实际流动问题难以精难以精确求解确求解

3、。 4 计算方法（数值方法）通过把流场划分为许多微小的网格或区域，在各个网格点或各小区域中求支配流动方程的近似解，通过数值计算的方法，近似求解运动方程组，最终得到方程数值解。5例如，考虑一维的线性发展方程，求出下一时刻的例如，考虑一维的线性发展方程，求出下一时刻的F值值存在问题：存在问题： 数值方法求解其适用范围受数学模型的正确性、计算精度和计算机性能所限制。 计算方法（数值方法）6实验方法：主要通过设计实验，对实际流动问题进行模拟，并通过对具体流体运动的观察和测量来归纳流体运动规律。实验流体力学存在问题：存在问题： 从实验中得到的经验公式的普适性较差。 7三、应用地球上的大气和海洋是最常见的

4、自然流体，因而相应地形成了地球物理流体力学。研究大气和海洋运动规律的动力气象学、动力气候学和动力海洋学动力气象学、动力气候学和动力海洋学动力气象学、动力气候学和动力海洋学动力气象学、动力气候学和动力海洋学，都是流体力学领域中的不同分支，而流体力学是大气科学、海洋科学的重要的基础理论之一。 后续相关专业课程：动力气象学、数值天气预报等。8四、课程性质和学习目标课程性质：专业基础课，是学习气象、环境等地球物 理学科的基础。学习目标：理解和掌握流体力学的基本概念、方法。9五、教学内容第一章 基础概念第二章 基本方程第三章 相似原理与量纲分析第四章 涡旋动力学基础第五章 流体波动第六章 旋转流体力学第

5、七章 湍流 10参考书目：1.王宝瑞编著，1988年，气象出版社，流体力学2.吴望一编著，1983年，北京大学出版社，流体力学11第一章 基础概念 第一节 流体的物理性质和宏观模型第二节 流体的速度和加速度第三节 迹线和流线第四节 速度分解第五节 涡度、散度和形变率第六节 速度势函数和流函数主要内容主要内容主要介绍流体力学的基本概念(课程基础和核心内容）12一、物理性质第一节 流体的物理性质和宏观模型 自然界的物质凝聚态（分子间的平均间距不同）固体液体气体流体与固体不同：流动性 粘性 压缩性等131、流动性（形变性）流体流动性的特征流体流动性的特征流体流动性的特征流体流动性的特征流体的形状极易

6、发生变化；流体的抗拉强度极小；只有在适当的约束条件下，才能承受压力；处于静止状态的流体不能承受任何剪切力的作用。流体容易发生形变的特性，称为流动性或者形变性。流体容易发生形变的特性，称为流动性或者形变性。流体容易发生形变的特性，称为流动性或者形变性。流体容易发生形变的特性，称为流动性或者形变性。 142、粘 性当流体层之间存在相对运动或切形变时，流体就会反抗这种相对运动或切形变，使流体渐渐失去相对运动或切形变；流体这种抗切变性或阻碍流体相对运动的特性，称之为粘性。15 温度与粘性温度与粘性 粘性是分子之间的吸引力与分子不规则热运动引起的动量粘性是分子之间的吸引力与分子不规则热运动引起的动量交换

7、的结果。温度升高，分子之间的吸引力降低，动量增大；交换的结果。温度升高，分子之间的吸引力降低，动量增大；反之，温度降低，分子之间的吸引力增大，动量减小。反之，温度降低，分子之间的吸引力增大，动量减小。 对液体，分子之间的吸引力是决定性因素，所以液体的粘性随温度升高而减小；对于气体，分子之间的热运动产生动量交换是决定性因素，所以，气体的粘性随温度升高而增大。16牛顿粘性定律（牛顿粘性假设）牛顿粘性定律（牛顿粘性假设）假设：假设：“流体两部分间的阻力，同这两部分彼此分开的速度成流体两部分间的阻力，同这两部分彼此分开的速度成正比正比”。即在。即在图中，粘性切应力为图中，粘性切应力为 上式称为牛顿粘性

8、定律，它表明：上式称为牛顿粘性定律，它表明：粘性切应力与速度梯度成正比；粘性切应力与速度梯度成正比；(2)(2)比例系数称动力学粘性系数。比例系数称动力学粘性系数。 牛顿在牛顿在自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理(1687)(1687)中指出：中指出： 相邻两层流体作相对运动时存在相邻两层流体作相对运动时存在内摩擦内摩擦作用作用, ,称为粘性力。称为粘性力。17当流体粘性很小，且相对速度不大时，流体的粘性力对流动的作用就不重要甚至可以略去，这种不考虑粘性的流体称为理想流体。理想流体的概念理想流体的概念183、压缩性流体的体积元在运动的过程中可以因温度、压力等因素的流体的体积元在运动的过程中可

9、以因温度、压力等因素的流体的体积元在运动的过程中可以因温度、压力等因素的流体的体积元在运动的过程中可以因温度、压力等因素的改变而有所变化的特性，称为流体的压缩性改变而有所变化的特性，称为流体的压缩性改变而有所变化的特性，称为流体的压缩性改变而有所变化的特性，称为流体的压缩性。 按压缩性，通常可把流体分为不可压缩流体可压缩流体19在常温常压的条件下液体压缩性很小，大多数情况下可以看作不可压缩流体来处理；气体的压缩性明显比液体大，通常需要看作可压缩性流体来处理; 不同流体的压缩性：不同流体的压缩性：20流体模型分类流体模型分类流体模型流体模型流体模型流体模型按粘性分类按粘性分类按粘性分类按粘性分类

10、无粘性流体无粘性流体无粘性流体无粘性流体 粘性流体粘性流体粘性流体粘性流体 牛顿流体牛顿流体牛顿流体牛顿流体非牛顿流体非牛顿流体非牛顿流体非牛顿流体 按可压缩性分类按可压缩性分类按可压缩性分类按可压缩性分类可压缩流体可压缩流体可压缩流体可压缩流体不可压缩流体不可压缩流体不可压缩流体不可压缩流体其他分类其他分类其他分类其他分类正压流体正压流体正压流体正压流体斜压流体斜压流体斜压流体斜压流体21 实际流体是由大量的流体分子组成的，而流体分子之间存在空间间隙。对于这种由离散分子构成的真实流体，如何研究它的运动？ 二、流体的连续介质假设宏观理论模型22n若以单个分子单个分子为研究对象，由于其运动的随机

11、性，相应的物理量（如分子速度）随时间作随机变化随时间作随机变化，由于分子间存在间距，则物理量在空间上存在不连续性空间上存在不连续性。n若研究对象扩大到包含大量分子的流体团包含大量分子的流体团，则流体团物理性质表现为其中所有分子的统计平均特性。只要分子数足够大，统计平均值在时间和空间是连续时间和空间是连续，这种特性成为流体团的宏观特性。 流体的微观和宏观特性流体的微观和宏观特性23流体团流体团的体积的体积流体团分子流体团分子速度的统计速度的统计平均值平均值流体团的宏观特性24微观足够大，其统计平均可以反映稳定的宏观值宏观值的大量的流体分子流体分子所组成的流体微团流体微团称之为流点流点。 流点的定

12、义流点的定义流点的定义流点的定义流点的特性：流点的特性：流点的线尺度大于分子运动的线尺度；宏观上充分小，流点的线尺度小于流体运动的线尺度。注意：注意：流点、流体微团、流体微元流点、流体微团、流体微元25流体连续介质假设的内容流体连续介质假设的内容流体连续介质假设的内容流体连续介质假设的内容 把由离散分子离散分子构成的实际流体流体看成是由无数流点流点没有间隙连续分布连续分布构成的，这就是流体连续介质假设。 对于气象学或者大气科学，除高层稀薄大气外，通常是将大气当作连续介质来考虑的。在50公里左右的高空大气，仍然可以作为连续介质；在更高的地方，大气就不能看作连续介质。26 流体力学研究是以流体力学

13、研究是以流体微团（流体元）流体微团（流体元）或者或者流点流点作为研究对象，以作为研究对象，以流体的连续介质模型流体的连续介质模型作为基本假设，作为基本假设，在此基础上再考虑流体的在此基础上再考虑流体的流动性（形变性）、压缩性、流动性（形变性）、压缩性、粘性粘性等特性，并由此来研究流体运动及流体与固体之等特性，并由此来研究流体运动及流体与固体之间相互作用的。间相互作用的。流体力学的研究思路流体力学的研究思路27第二节流体的速度和加速度 一、描写流体运动的两种方法一个实际流体问题：河水流动的描述问题？以河道中的某一个流点某一个流点作为研究对象，跟踪流点的运动，测量并得到其运动状况其运动状况，如果采

14、用同样的方法，对河道中所有的流点所有的流点进行跟踪测量，那么就可以得到整个河道中流动的流速分布流动的流速分布，从而对河水的流动作出正确的描述；28针对河道中的某一固定的空间点某一固定的空间点，测量出该空间点每一时刻的流动速度流动速度，进而通过测量不同空间点不同空间点河水的流动速度，最终得到整个河道中河水的流动情况河水的流动情况。 291、拉格郎日、拉格郎日(Lagrange)方法方法（质点的观点或随体观点）（质点的观点或随体观点）着眼于流点流点，描述每一个流点自始至终的运动过程和它们的运动参数随时间的变化规律；综合所有流体质点运动参数的变化规律，得到了整个流体的运动规律。个别流点的运动特征整个

15、流体运动特征302、欧拉、欧拉(Euler)方法方法（场的观点）（场的观点）又称局地法局地法，着眼于空间点空间点，是从分析流场中每一个空间点上的流点的运动着手，研究流点通过固定空间点时的运动参数随时间的变化规律，如果每一个空间点的流体运动都已知，就可以知道整个流体的运动状态。个别空间点运动特征整个流体运动特征3132流点和空间点是两个截然不同的概念，空间点指固定在流场中的一些点，空间点的速度指某时刻某流体质点正好流过此空间点的速度。流点和空间点的速度流点和空间点的速度流点和空间点的速度流点和空间点的速度331、Lagrange变量变量二、两种变量二、两种变量二、两种变量二、两种变量考虑确定的参

16、考系，取流点的位置矢径为 ，且可以表示为：O Ox xy yz z34假定某一流点的初始时刻 位置位于点：则该流点不同时刻的位置矢径为 ，可以表示为：分量形式：其中：变量x,y,z为Lagrange变量。352 2、EulerEuler变量变量变量变量 流速矢量是空间点和时间的函数: 分量形式：变量u,v,w为Euler变量变量。36分量形式：上式通常称为流场。37若某时刻流场不随空间变化-均匀流场；反之，为非均匀场；若流场不随时间变化-定常（稳定）流场定常（稳定）流场定常（稳定）流场定常（稳定）流场；反之，为非定常（不稳定）场。几个与流场几个与流场几个与流场几个与流场 有关的基本概念有关的基

17、本概念有关的基本概念有关的基本概念问题：定常（稳定）流场是均匀流场吗？问题：定常（稳定）流场是均匀流场吗？38Lagrange变量变量Euler变量变量？39三、两种变量之间的转换三、两种变量之间的转换三、两种变量之间的转换三、两种变量之间的转换1 1、LagrangeLagrange变量转化为变量转化为变量转化为变量转化为EulerEuler变量变量变量变量Lagrange观点下有：据速度的定义，求它们随时间的变化率（流点速度）即：40上式有如下含义：第一，它表示原来位于第一，它表示原来位于第一，它表示原来位于第一，它表示原来位于( ( ( (x x0 0 0 0, , , ,y y0 0

18、0 0, , , ,z z0 0 0 0) ) ) )处流点在时间处流点在时间处流点在时间处流点在时间t t t t的速度的速度的速度的速度Lagrange观点观点41第二，它表示在时间第二，它表示在时间第二，它表示在时间第二，它表示在时间t t t t位于空间点位于空间点位于空间点位于空间点( ( ( (x x, , , ,y y, , , ,z z) ) ) )处的流速处的流速处的流速处的流速Euler观点观点42？函数的自变量存在差异函数的自变量存在差异函数的自变量存在差异函数的自变量存在差异43例1-2-1 已知Lagrange变量 ， 将其转换为Euler变量 。44Lagrange

19、变量 Euler变量的具体方法：利用Lagrange变量，对时间 t 求偏导数，求解各流点的流速；在速度表达式中，将Lagrange参数（x0,y0,z0 ）转换为（x,y,z ） ，即可得到Euler变量。45例1-2-2 已知Lagrange变量 ， 将其转换为Euler变量 。46把x,y,z当作t t 时刻某流点所达到的位置，此时为t t的函数；2、Euler变量转化为Lagrange变量Euler观点下，对于固定的时间 t ：转换47（1）求解微分方程组：Euler变量 Lagrange变量的具体方法：48例1-2-3已知用Euler变量表示的流场速度分布为 试求在t=0时刻位于（1

20、,1）的流体质点的Lagrange变量。 49例1-2-4已知用Euler变量表示的流场速度分布为 试求在t=0时刻位于（2,1）的流体质点的Lagrange变量。 50四、流体的加速度 速度表达式为Euler变量，其流体的加速度的表示方法？51Euler观点的流体加速度52引入哈密顿算符引入哈密顿算符引入哈密顿算符引入哈密顿算符53定义微商算符：定义微商算符：定义微商算符：定义微商算符：上式适用于任意物理量，包括如力、速度、位移等矢量，以及如温度、气压等标量。54其物理意义？其物理意义？55微商算符 的常用形式： 普通情况下：物理量的局地变化由两部分组成，个别变化和平流变化。56这种流动称为

21、定常流动或稳定流场定常流动或稳定流场定常流动或稳定流场定常流动或稳定流场，此时，流场不随时间变化或者说流速的局地变化为零，流场与时间无关，仅仅是空间的函数。问题：定常流体运动的加速度为零？57流体运动加速度产生的原因：流体运动加速度产生的原因：流体运动加速度产生的原因：流体运动加速度产生的原因：流场的非定常性和非均匀性流场的非定常性和非均匀性流场的非定常性和非均匀性流场的非定常性和非均匀性。58例题1-2-5已知流体运动的速度场如下，分别求流体运动的加速度；并说明各种情况下产生加速度的原因。（a为常数）；（m、n为常数）； 59习题1-2-1 如图所示，已知A、B两地相距3600公里，假定A地

22、某时刻的温度为10度，而B地的温度为15度(假定A、B之间的气温是线性分布) ，并且由A向B的气流速度为10米/秒。如果流动过程中空气的温度保持不变，问24小时后B地的温度将下降多少度？由于流动过程中空气的温度的变化为2.5度/天，则24小时后B地的温度变化又将如何？360060习题1-2-2 已知流场为 ，该流场中温度的分布为 ，其中A为已知常数，求初始位置位于 的流点温度随时间的变化率。 61第三节 迹线和流线 流体运动的几何图象？直观和形象地描述流体的运动情况迹线和流线的概念引入62迹线是某个流点在各时刻所行路径的轨迹迹线是某个流点在各时刻所行路径的轨迹迹线是某个流点在各时刻所行路径的轨

23、迹迹线是某个流点在各时刻所行路径的轨迹线，或者说是流体质点运动的轨迹线。线，或者说是流体质点运动的轨迹线。线，或者说是流体质点运动的轨迹线。线，或者说是流体质点运动的轨迹线。一、迹一、迹一、迹一、迹 线线线线它描绘了某一确定流点在不同时刻所处的空间位置和运动方向。63参数方程迹线消去参数 t迹迹迹迹 线线线线-拉格郎日拉格郎日拉格郎日拉格郎日(Lagrange)(Lagrange)变量密切相变量密切相变量密切相变量密切相关关关关64例1-3-1 假设流体运动的Lagrange变量为：解：消去参数 t ，即可得迹线方程： 求迹线方程？65问题：若已知欧拉变量的流点速度场 如何求流点迹线？66根据

24、速度定义，流点在时间 dt 内在迹线上的位移：注意：上式中 t 是独立变量，x、y、z 是 t 的函数：这就是迹线的微分方程，它表明了流体迹线上各点的切向这就是迹线的微分方程，它表明了流体迹线上各点的切向正好与某时刻到达该点的流点的速度矢量方向相吻合。积正好与某时刻到达该点的流点的速度矢量方向相吻合。积分上式并消去分上式并消去 t t 即可以得到迹线方程。即可以得到迹线方程。67流线流线欧拉观点：采用流线来描述流动情况的空间分布。欧拉观点：采用流线来描述流动情况的空间分布。686969二、流二、流二、流二、流 线线线线流线：在某一固定时刻，曲线上的任意一点流速方向与该点切线方向相吻合，这样的曲

25、线称为流线。注意：流线只反映流速方向，而不能反映流速大小。70式中x、y、z、t为四个相互独立的变量，积分时将t作常数处理。积分 流线设 为流线的线元矢量：流线的求解流线的求解流线的求解流线的求解71例1-3-2 流体运动由Euler变量表示为： 其中 k 为常数： （1）求流线； （2）请问同一地点不同时刻流速是否相同？同一流点不 同时刻的流速是否相同？ (3) 求出 t =0时刻，过点（a，b，c）的迹线。72流管的概念（补充）：流线形成的管状的曲面称之为流管。 流管的形状与位置，在定常流动中不随时间 变化;而在非定常流动中，一般将随时间改变。73迹线和流线有关系？迹线（拉格朗日观点） 流

26、线（欧拉观点）流体运动的几何图象流体运动的几何图象流体运动的几何图象流体运动的几何图象74747575迹线和流线是两个不同的概念，通常情况下，二者的表现形式（物理图象）是存在差异的。流场不随时间变化的定常流动流场不随时间变化的定常流动流场不随时间变化的定常流动流场不随时间变化的定常流动条件下，二者是重合的。条件下，二者是重合的。条件下，二者是重合的。条件下，二者是重合的。 流线t迹线76下列有关迹线、流线的描述正确吗？ 定常流动 迹线和流线重合 迹线和流线重合 定常流动 定常流场 流线不随时间变化。 流线不随时间变化 定常流场。77第四节速度分解物体运动速度的构成：物体运动速度的构成：物体运动

27、速度的构成：物体运动速度的构成：经典力学中，质点的速度只有平移速度经典力学中，刚体的速度有平移和旋转速度流体质点运动速度的构成？流体质点运动速度的构成？流体质点运动速度的构成？流体质点运动速度的构成？78流动性和压缩性等形变形变形变形变流点速度的构成流点速度的构成流点速度的构成流点速度的构成平移、旋转平移、旋转平移、旋转平移、旋转79Tailor展开的简单回顾：?速度分析的方法速度分析的方法速度分析的方法速度分析的方法TailorTailor展开式展开式展开式展开式80选择参考点 及邻近一点81将 以参考点速度 作Tailor展开：(x方向为例)8283定义:84y方向作类似处理：85z方向作

28、类似处理：8687形变张量矩阵形变张量矩阵形变张量矩阵形变张量矩阵88流体旋转角速度流体旋转角速度流体旋转角速度流体旋转角速度89于是，可将速度写为:亥姆霍兹速度分解定理：流体微团的运动可分解为平动速度、转动线速度和变形运动引起的变形线速度三部分。其中：909192 流点的速度分析不同刚体，它只适用于很靠近的范围，且出现了形变线速度。刚体运动：转动是作为一个整体来进行的； 流体运动：流点的转动角速度仅是一个局地量，流体域内各点可以以不同的角速度转动。 93例1-4-1 已知流场： 其中 m为常数，计算坐标原点O 附近点 的转动线速度和形变线速度。O94第五节 涡度、散度和形变率 引进其他的物理

29、量，表征流点在运动过程中的各种特征。流点运动位置变化形状大小变化流点自身还可以滚动旋转。95一、涡一、涡一、涡一、涡 度度度度定义涡度矢为矢量微商符 和速度矢 的矢性积，即：涡度的定义96首先引入速度环流的概念涡度的物理意义称为速度环流，记作 。在流体中取任一闭合有向曲线取任一闭合有向曲线取任一闭合有向曲线取任一闭合有向曲线 ，沿闭合曲线 对该闭合曲线上的流速分量求和：97表示流体沿闭合曲线流动趋势的程度。98应用斯托克斯（Stokes）公式，线积分 曲面积分：99当闭合曲线当闭合曲线l l向内无限收缩（闭合曲线所围面积趋向零）：向内无限收缩（闭合曲线所围面积趋向零）：涡度的物理意义：流体某点

30、的涡度矢量在单位面元涡度的物理意义：流体某点的涡度矢量在单位面元涡度的物理意义：流体某点的涡度矢量在单位面元涡度的物理意义：流体某点的涡度矢量在单位面元的法向分量等于单位面积速度环流的极限值，它是度量的法向分量等于单位面积速度环流的极限值，它是度量的法向分量等于单位面积速度环流的极限值，它是度量的法向分量等于单位面积速度环流的极限值，它是度量流体旋转程度的物理量。流体旋转程度的物理量。流体旋转程度的物理量。流体旋转程度的物理量。100涡度与流体旋转角速度的关系101二维水平运动：考虑满足以下条件的流体运动涡度与流体旋转角速度的关系涡度与流体旋转角速度的关系涡度与流体旋转角速度的关系涡度与流体旋

31、转角速度的关系102103OABOABAB旋转角速度旋转角速度涡度涡度104与涡度有关的几个问题：A 直线有旋运动B 无旋圆周运动C 有旋圆周运动105特别说明：流体涡度是一个局地概念；流点作圆周运动相当于围绕原点的“公转”；而流体涡度反映的则是流点自身的“自转”。106二、散度二、散度二、散度二、散度定义散度为矢量微商符 和速度矢 的数性积，即：散度的定义107为了说明散度的概念及意义，引入流体通量F散度的物理意义为流体中的任一封闭曲面108流体散度即为单位体积的流体通量当曲面面元向内无限收缩时，即体积元趋向于零：应用奥高公式，将以上曲面积分转化为体积分，则有：OstrovskiOstrov

32、ski-Gauss formula -Gauss formula 109流体净流出 源(辐散) 流体净流入 汇(辐合)场的观点若流体中的任一封闭曲面为几何面时：散度的物理意义一：110封闭曲面向外膨胀 封闭曲面向内收缩流体中的任一封闭曲面为流点组成的物质面时：体现了流体体积的变化散度的物理意义二：111 取体积为 的小正方体，其单位体积的体积变率（体胀速度）：体胀速度散度物理意义三：散度也是度量流点体积膨胀或收缩的一个量，反映单位体积的流点体胀速度。112三、形变率三、形变率三、形变率三、形变率 流点可以看作既大又小的流体微团，它不但会转动和发生体积的膨胀、收缩，而且还会发生形变。流体的形变包

33、括：法形变（轴形变）和切形变（剪形变）。 113 法形变法形变法形变率（线形变率）：即单位长度的速度变化率（单位长度单位时间内的伸长和缩短率)。 =MOMO114散度，其实就是一种形变，称为体形变，散度的三个部分，分别表示了沿三个坐标轴伸长和缩短的形变率，称为轴形变或法形变。二维平面流动：二维散度面积形变115 切形变切形变切形变切形变切形变是指流体质点线间夹角的相向改变率。116考虑满足以下条件的流体运动117OABOABAB118 形变张量形变张量形变张量对称矩阵119习题1-5-1已知流体二维速度场为 ，分别计算涡度和散度。习 题120习题1-5-2已知流体速度场分别为：分别判断上述流体

34、运动是否有旋、是否有辐散和形变？（1 1）（2 2）121第六节 速度势函数和流函数 速度势函数 速度流函数 二维流动的表示122一、速度势函数 定义（速度势函数的引入）流体运动无旋流动涡旋流动否则，则称之为涡旋流动：如果在流体域内涡度为零，即: 无旋流动；123 据矢量分析知识，任意一函数的梯度，再取旋度恒等于零：所以，对于无旋流动，必定存在一个函数 满足如： 函数 称为速度的（位）势函数，可以用这个函数来表示无旋流动的流场。通常将无旋流动称为有势流动或势流。注：实际计算中势函数与无旋运动的关系式常采用下式注：实际计算中势函数与无旋运动的关系式常采用下式注：实际计算中势函数与无旋运动的关系式

35、常采用下式注：实际计算中势函数与无旋运动的关系式常采用下式124势函数与对应的无旋风场（辐散风场）势函数与对应的无旋风场（辐散风场）势函数与对应的无旋风场（辐散风场）势函数与对应的无旋风场（辐散风场）注意：注意：125由流速场与势函数的关系可知：流速矢与等位势面相垂直，由高位势流向低位势，等位势流速矢与等位势面相垂直，由高位势流向低位势，等位势流速矢与等位势面相垂直，由高位势流向低位势，等位势流速矢与等位势面相垂直，由高位势流向低位势，等位势面紧密处，位势梯度大，相应的流速大；等位势面稀疏处，面紧密处，位势梯度大，相应的流速大；等位势面稀疏处，面紧密处，位势梯度大，相应的流速大；等位势面稀疏处

36、，面紧密处，位势梯度大，相应的流速大；等位势面稀疏处，位势梯度小，相应的流速大。位势梯度小，相应的流速大。位势梯度小，相应的流速大。位势梯度小，相应的流速大。对于某一固定时刻为一空间曲面，称为等势函数面或者等位势面。126例1-6-1 已知流体作无旋运动，对应的等势函数线分布如 图所示（其中， ）的，请判断并在图 中标出A、B两处流体速度的方向，并比较A、B 两处流速的大小。127 假如流体的散度为： 根据势函数的定义有： 其中， 为三维拉普拉斯算子。 可以看出，如果给定D，通过求解泊松（Poisson）方程，即可求得势函数。势函数的求解势函数的求解势函数的求解势函数的求解128定义 二、速度

37、流函数无辐散流辐散流流体运动引入流体散度的概念之后，可将流体运动分为：129考虑二维无辐散流动，即满足： 引入函数流速与该函数满足：130流速与流函数的关系式矢量形式：131流函数与对应的无辐散风场（旋转风场）流函数与对应的无辐散风场（旋转风场）流函数与对应的无辐散风场（旋转风场）流函数与对应的无辐散风场（旋转风场）132流函数与流线的关系？流函数与流线的关系？133同样，求解流函数的方法为： （1）已知涡度，直接求解泊松（Poisson）方程； （2）已知速度场，先求出涡度，然后求解泊松方程。由涡度的定义 ，可得到用流函数来表示的涡度表达式：可见，对流函数取拉普拉斯运算即可得到流体的涡度。求

38、解流函数求解流函数求解流函数求解流函数134三、三、2维流动维流动135 一般二维流动，既不满足无旋条件，也不满足无辐散条件，流动是有旋有辐散的。此时，其涡度和散度均不为零，即满足： 136上式为大气动力学中广泛采用的形式。 137习题1-6-1 已知二维流速场为：分别求势函数和流函数单独存在的条件。 课 后 习 题138139习题1-6-2 请证明无辐散的平面无旋流动：（1）流函数和势函数都是调和函数（满足二维拉普拉斯方程)（2）等势函数线和等流函数线正交。习题1-6-3 平面流动的流线方程为： ； 由流函数全微分 ； 当取 常值时，也可以得到 试问两式是否等价？请说明理由？140本章小结1

39、流体的物理性质和宏观模型 流体的主要物理性质主要物理性质：流动性、粘性和压缩性； 流点的概念流点的概念和流体的宏观模型-连续介质假设连续介质假设。 2流体的速度和加速度 描写流体运动的两种观点： Lagrange观点和Euler观点及其差别以及两种变量的相互转换 流体加速度的计算计算； 微商算符 的物理实质及其应用物理实质及其应用。 1413迹线和流线迹线和流线的概念、迹线和流线的物理实质迹线和流线的概念、迹线和流线的物理实质； 迹线和流线方程的求解迹线和流线方程的求解；迹线、流线的差别以及迹线、流线重合的条件迹线、流线重合的条件4速度分解亥姆霍兹速度分解定理的主要内容及其有关计算1425涡度、散度和形变率涡度、散度和形变率的物理含义物理含义；涡度、散度和形变率的计算计算；形变张量的概念。6速度势函数和流函数势函数的定义、表示流体运动的方法；势函数的定义、表示流体运动的方法；流函数的定义、表示流体运动的方法流函数的定义、表示流体运动的方法；速度势函数、流函数表示二维流动。143