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1、电电磁磁场场与与电电磁磁波波2.7 2.7 静电场的边界条件静电场的边界条件2.8 2.8 导体系统的电容导体系统的电容1 1电电磁磁场场与与电电磁磁波波2.7 2.7 静电场的边界条件静电场的边界条件问题的提出一般情况下求电位或场强一般情况下求电位或场强 两个两个“方程方程”：无源无源Laplaces EquationLaplaces Equation有源有源Poissions EquationPoissions Equation边值问题边值问题：在给定：在给定边界边界条件下求解偏微分方程。条件下求解偏微分方程。边界条件就是不同介质边界条件就是不同介质( (或导体或导体) )分界面两侧的场量
2、之间分界面两侧的场量之间的关系。的关系。边界条件的作用：边界条件的作用：确定方程的解中的待定因素；确定方程的解中的待定因素；使方程通解成为适用于具体问题的特解。使方程通解成为适用于具体问题的特解。2 2电电磁磁场场与与电电磁磁波波边界的分类边界的分类边界的分类：第第1 1类类: : 已知整个边界上的电位已知整个边界上的电位Dirichlet Problems Dirichlet Problems 狄理赫利问题狄理赫利问题第第2 2类类: : 已知整个边界上电位的法导已知整个边界上电位的法导Neumann Problems Neumann Problems 纽曼问题纽曼问题第第3 3类类: :
3、已知部分边界电位已知部分边界电位+ +另一部分边界电位法另一部分边界电位法导导Hybrid ProblemsHybrid Problems 混合问题混合问题3 3电电磁磁场场与与电电磁磁波波处于自由空间中导体的边界条件1.导体本身：等势体2.导体表面：3.导体内部：电场为零新问题：静电场中的电介质呢？4 4电电磁磁场场与与电电磁磁波波1. 1. 电位移矢量的边界条件电位移矢量的边界条件- -法向利用Gauss定理做一个很扁很扁的“扁盒子”-界面上自由电荷面密度5 5电电磁磁场场与与电电磁磁波波6 6电电磁磁场场与与电电磁磁波波讨讨 论论界面上没有自由电荷时导体表面7 7电电磁磁场场与与电电磁磁
4、波波2. 2. 电场强度的边界条件电场强度的边界条件- -切向切向利用静电场的斯托科斯定理8 8电电磁磁场场与与电电磁磁波波介质分界面上电位的连续性介质分界面上电位的连续性a ab b9 9电电磁磁场场与与电电磁磁波波电介质的边界条件-小结1. 法向：2. 切向：3. 电位的连续性：1010电电磁磁场场与与电电磁磁波波边界条件积分之，得通解 例例 设有电荷均匀分布在半径为设有电荷均匀分布在半径为a a的介质球型区域中，电荷体密度的介质球型区域中，电荷体密度为为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。解: 采用球坐标系,分区域建立方程参考
5、点电位1111电电磁磁场场与与电电磁磁波波解得 电场强度（球坐标梯度公式）：对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由 得到电场强度E的分布。电位：1212电电磁磁场场与与电电磁磁波波2.8 2.8 导体系统的电容导体系统的电容电容的定义1.1.传统的定义：两个导体传统的定义：两个导体, , 分别带电分别带电q q和和q q, , 电位电位差差U U，则，则C C = = q/Uq/U; ;2.2.自电容：孤立导体自电容：孤立导体; ;3.3.部分电容：多个导体部分电容：多个导体, , 较复杂的带电情
6、况较复杂的带电情况, , 两两两两导体之间的相对电容参数导体之间的相对电容参数是一种分布参数是一种分布参数. .电容的大小与导体系统的尺寸和介电常数有关，与它是否带电无关。只探讨传统定义电容的计算。1313电电磁磁场场与与电电磁磁波波2.8 2.8 2.8 2.8 电容及部分电容电容及部分电容电容及部分电容电容及部分电容 电容只与两导体的几何形状、尺寸、相互位置及导体周围的介质有关。电容的计算思路: 1 工程上的实际电容：电力电容器，电子线路用的各种小电容器。定义： 单位：试求球形电容器的电容。解：设内导体的电荷为 ,则同心导体间的电压球形电容器的电容当时（孤立导体球的电容）1414电电磁磁场
7、场与与电电磁磁波波 2 2，U E Q U E Q 理想电容器理想电容器vv电容器电容器 Capacitor Capacitor，电容，电容CapacitanceCapacitancevv平板电容平板电容, , 两块板面积两块板面积S S, , 间距间距d d, , 板间介质板间介质 , , 求电容。求电容。vv假设有电压假设有电压U, U, 板间无电荷板间无电荷, Laplaces Equ., Laplaces Equ.1515电电磁磁场场与与电电磁磁波波边界条件：边界条件：Dirichlet Problems Problems建议记住1616电电磁磁场场与与电电磁磁波波解：忽略边缘效应图（
8、a）图（b） 例 如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知 和 ,图(a)已知极板间电压U0 , 图(b)已知极板上总电荷 ,试分别其电容。（a）（b）1717电电磁磁场场与与电电磁磁波波例例4. 4. 特殊特殊同轴线同轴线求单位长度上的电容？分析：(1) 求电容有几种方法？(2) 有没有对称性？什么座标？1818电电磁磁场场与与电电磁磁波波(1)(1)设零电位设零电位(2)(2)设边界条件：设边界条件：(3)(3)柱座标系下拉氏方程柱座标系下拉氏方程(4)(4)利用对称性利用对称性( (与与z z座标无关座标无关) )，猜，猜“仅与仅与r r相关相关”1 1 1 12 2 2 2代入边界条
9、件发现：代入边界条件发现：1919电电磁磁场场与与电电磁磁波波1 1 1 12 2 2 22020电电磁磁场场与与电电磁磁波波一般同轴线的电容一般同轴线的电容2121电电磁磁场场与与电电磁磁波波ThinkingThinking平行双导线, 直径d, 间距D, 求单位长度电容.D Dd d2222电电磁磁场场与与电电磁磁波波部分电容2323电电磁磁场场与与电电磁磁波波假设：假设：1、多导体系统是静电独立系统、多导体系统是静电独立系统 系统中电场的分布只和系统内各带电体的形系统中电场的分布只和系统内各带电体的形状、尺寸、相互位置、介电常数有关，和系统状、尺寸、相互位置、介电常数有关，和系统以外的带
10、电体无关以外的带电体无关2、所有的电位移线全部从系统内的带电体发出，、所有的电位移线全部从系统内的带电体发出，终止于系统内的带电体终止于系统内的带电体2424电电磁磁场场与与电电磁磁波波2525电电磁磁场场与与电电磁磁波波对于对于n个导体和大地构成的系统，有：个导体和大地构成的系统，有：2626电电磁磁场场与与电电磁磁波波-自电位系数自电位系数-互电位系数互电位系数电位系数都为正值，且：电位系数都为正值，且：2727电电磁磁场场与与电电磁磁波波电容系数和感应系数电容系数和感应系数-电容系数电容系数-感应系数感应系数2828电电磁磁场场与与电电磁磁波波kkkkkkkk为正，为正，为正，为正， k
11、kkkkkkk为负为负为负为负2929电电磁磁场场与与电电磁磁波波部分电容部分电容3030电电磁磁场场与与电电磁磁波波式中：式中：自有部分电容：自有部分电容：C Ckkkkkkkk互有部分电容：互有部分电容：C Cknknknkn所有的部分电容都大于所有的部分电容都大于0 03131电电磁磁场场与与电电磁磁波波例例例例 2.10 2.10 2.10 2.10 半径半径半径半径a a a a1 1 1 1，a a a a2 2 2 2，球心距离为，球心距离为，球心距离为，球心距离为d d d d，dadadada，求导，求导，求导，求导体系统的电容体系统的电容体系统的电容体系统的电容C C C
12、C11111111，C C C C22222222，C C C C12121212，C C C C21212121。另金属球分别带电另金属球分别带电q q1 1，q q2 2，电位为，电位为1，2，无穷远，无穷远处电位为处电位为0：3232电电磁磁场场与与电电磁磁波波3333电电磁磁场场与与电电磁磁波波2.9 静电场的能量与静电力静电场的能量与静电力对于一个带电量为对于一个带电量为q q1 1, q, q2 2, , q, , qn n，电位分别为，电位分别为1 1, , 1 1 1 1, , n n n n的的的的点电荷系统，可以证明，系统点电荷系统，可以证明，系统总的电场储能为：总的电场储
13、能为：对于连续分布的带电系统，对于连续分布的带电系统，系统总的电场储能为系统总的电场储能为系统总的电场储能为系统总的电场储能为：3434电电磁磁场场与与电电磁磁波波静电场的能量密度静电场的能量密度3535电电磁磁场场与与电电磁磁波波把积分区域扩大到整个区域把积分区域扩大到整个区域高斯散度定理高斯散度定理3636电电磁磁场场与与电电磁磁波波于是于是反射静电场不为零的反射静电场不为零的反射静电场不为零的反射静电场不为零的空间都储存着静电能空间都储存着静电能空间都储存着静电能空间都储存着静电能能量密度：能量密度：各向同性各向同性各向同性各向同性3737电电磁磁场场与与电电磁磁波波在半径为在半径为在半
14、径为在半径为R R的球内电荷均匀分布，密度的球内电荷均匀分布，密度的球内电荷均匀分布，密度的球内电荷均匀分布，密度，计算静电能，计算静电能，计算静电能，计算静电能1 1、用、用、用、用已经得到已经得到已经得到已经得到3838电电磁磁场场与与电电磁磁波波2 2、用、用、用、用已经得到已经得到已经得到已经得到3939电电磁磁场场与与电电磁磁波波静电力静电力虚位移法虚位移法o odxdxx xF F设静电力与位移方向一致设静电力与位移方向一致设静电力与位移方向一致设静电力与位移方向一致电容器储能：电容器储能：电容器储能：电容器储能：电容器电容：电容器电容：电容器电容：电容器电容：得到：得到：得到：得到：4040电电磁磁场场与与电电磁磁波波把一个电量为把一个电量为把一个电量为把一个电量为q q，半径为，半径为，半径为，半径为a a的导体球切成两的导体球切成两的导体球切成两的导体球切成两半，求两半球之间的电场力半，求两半球之间的电场力半，求两半球之间的电场力半，求两半球之间的电场力作业作业4141
