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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶线性微分方程解的结构 第七节二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 第十二章 n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为方程的共性 为二阶线性微分方程. 例例1例例2 可归结为同一形式:时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程.复习复习: 一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y机动 目录 上页 下页 返回 结束 证毕二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证证:代入方程左边,
2、得(叠加原理) 定理定理1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关, 否则称为线性无关线性无关.例如， 在( , )上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关;又如，若在某区间 I 上则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见在任何区间 I 上都 线性无关线性无关.若存在不全为不全为 0
3、 的常数机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:线性相关存在不全为 0 的使( 无妨设线性无关常数思考思考:中有一个恒为 0, 则必线性相关相关(证明略)线性无关机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 则数) 是该方程的通解.例如例如, 方程有特解且常数,故方程的通解为(自证) 推论推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解, Y (x) 是相应齐次方
4、程的通解,定理定理 3.则是非齐次方程的通解 .证证: 将代入方程左端, 得复习 目录 上页 下页 返回 结束 是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如, 方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 4.分别是方程的特解,是方程的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 5.是对应齐次方程的 n 个线性无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解, 则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 常数, 则该方程的通解是 ( ).设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解, 是任意例例3.提示提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)(89 考研考研 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解 .解解:是对应齐次方程的解, 且常数因而线性无关, 故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三 机动 目录 上页 下页 返回 结束
