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1、第三章第三章 控制系统的稳定性及特性控制系统的稳定性及特性n3.1 引言引言n3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数反馈控制系统的结构及其传递函数 n3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性 n3.4 反馈控制系统的特性反馈控制系统的特性 n3.5 复杂反馈控制系统的基本结构及其特性复杂反馈控制系统的基本结构及其特性 n3.6 利用利用MATLAB分析系统的稳定性及特性分析系统的稳定性及特性n3.7 小结小结3.1引言引言控制系统的结构控制系统的结构及其传递函数及其传递函数 闭环系统的闭环系统的稳定性稳定性反馈控制系反馈控制系统的特性统的特性复杂反馈控制复杂反馈控制系统的基本结系统的基本结构及
2、其特性构及其特性利用利用MATLABMATLAB分分析系统的稳定析系统的稳定性及特性性及特性反馈控制反馈控制系统系统本章知识体系本章知识体系3.1引言引言n一般来讲，根据应用的需求或者对象本身的特性，被一般来讲，根据应用的需求或者对象本身的特性，被控对象既可以是稳定的也可以是不稳定的。控对象既可以是稳定的也可以是不稳定的。n反馈控制系统的典型结构和常用传递函数。反馈控制系统的典型结构和常用传递函数。n如何系统稳定性定义？如何系统稳定性定义？n什么样的系统才是稳定的系统？什么样的系统才是稳定的系统？n反馈控制系统的特性如何？有什么优势？反馈控制系统的特性如何？有什么优势？3.2 反馈控制系统的结
3、构及其传递函数反馈控制系统的结构及其传递函数 典型的反馈控制系统典型的反馈控制系统如右图所示。如右图所示。3.2.1 开环传递函数开环传递函数3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数反馈控制系统的结构及其传递函数 开环控制系统的控制器与反馈控制系统的控制器都串联在控制开环控制系统的控制器与反馈控制系统的控制器都串联在控制系统的前向通道中，其区别在于：系统的前向通道中，其区别在于：1）开环控制基于对被控对象进行补偿的原理来实现控制）开环控制基于对被控对象进行补偿的原理来实现控制 ，以，以Gc(s)Gp(s)=1为理想要求。为理想要求。2）反馈控制的原理是基于偏差来产生控制作用。反馈控制系统的）反馈
4、控制的原理是基于偏差来产生控制作用。反馈控制系统的控制器也称为串联校正装置，其输入为偏差信号。控制器也称为串联校正装置，其输入为偏差信号。3）若控制器的输入是系统的偏差信号，则为串联校正装置，若直若控制器的输入是系统的偏差信号，则为串联校正装置，若直接为参考输入信号，则为开环控制器。接为参考输入信号，则为开环控制器。 3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数反馈控制系统的结构及其传递函数3.2.2 闭环传递函数闭环传递函数 3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数反馈控制系统的结构及其传递函数n参考输入和干扰输入同时作用下系统的总输出：两种情况参考输入和干扰输入同时作用下系统的总输出：两种情况的线
5、性叠加结果为的线性叠加结果为 闭环是实现了负反馈还是正反馈由信号闭环是实现了负反馈还是正反馈由信号B(s)进入相加点的符号和进入相加点的符号和GL(s)的符号共同决定。的符号共同决定。闭环系统可能是负反馈系统，也可能为闭环系统可能是负反馈系统，也可能为正反馈系统。正反馈系统。 3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数反馈控制系统的结构及其传递函数3.2.3 偏差传递函数偏差传递函数 1 1）参考输入）参考输入R(s)R(s)作作用下的偏差传递函数用下的偏差传递函数 2 2）干扰输入）干扰输入D(s)D(s)作作用下的偏差传递函数用下的偏差传递函数 3 3）总偏差）总偏差3.2 反馈控制系统的结构
6、及其传递函数反馈控制系统的结构及其传递函数3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数反馈控制系统的结构及其传递函数n闭环传递函数各表达式的公共分母多项式均为：闭环传递函数各表达式的公共分母多项式均为：n特征多项式方程：特征多项式方程：若考虑多项式有理分式形式若考虑多项式有理分式形式NL和和DL和均为首一多项式，即最高阶系数为和均为首一多项式，即最高阶系数为1，而，而Kg称称为开环增益。为开环增益。3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性 系统能否工作及工作状态如何？系统能否工作及工作状态如何？1 1、能够工作：、能够工作：稳定性稳定性( (稳稳) )2 2、反应能力：、反应能力：动态特性动态特性(
7、 (快快) )3 3、工作效果：、工作效果：稳态特性稳态特性( (准准) )1.1.系系统稳统稳定性一般概念可表述定性一般概念可表述 假假设设某一有界外部干某一有界外部干扰输扰输入瞬入瞬间间作用于一个作用于一个处处于平衡于平衡状状态态的系的系统统，并且，并且导导致其偏离平衡状致其偏离平衡状态态。若在瞬。若在瞬间间干干扰扰消消失后，系失后，系统统最最终终能能够够回到原来的平衡状回到原来的平衡状态态，则则称称该该系系统统是是稳稳定的，否定的，否则则，称，称该该系系统统是不是不稳稳定的。定的。 2.2.定义定义3-13-1（稳定的动态系统定义）（稳定的动态系统定义） 在零初始条件下，若一个闭环系统在
8、有界输入（参考在零初始条件下，若一个闭环系统在有界输入（参考输入或干扰输入）的作用下，其输出响应也有界。输入或干扰输入）的作用下，其输出响应也有界。3.3.定义定义3-23-2（数学上严格的有界输入（数学上严格的有界输入- -有界输出稳定性定义）有界输出稳定性定义）输入：输入：r(t),|r(t)| N (t 0)输出：输出：y(t), ), 3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性3.3.1 稳定性的概念和定义稳定性的概念和定义3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性其中，单实极点个数其中，单实极点个数n n1 1，共轭极点对，共轭极点对(n-n(n-n1 1)/2 )/2 则要求则要求t
9、t时，时，|g(|g( )|)|趋近于趋近于0 0。从。从g(t)g(t)入手分析系统稳入手分析系统稳定的充分必要条件与闭环传递函数零极点之间的关系。定的充分必要条件与闭环传递函数零极点之间的关系。1 1、稳定充要条件的推导、稳定充要条件的推导闭环传递函数的一般形式为：闭环传递函数的一般形式为：共轭极共轭极点对点对3.3.2 闭环传递函数的极点与系统的稳定性闭环传递函数的极点与系统的稳定性3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性情况情况1：对：对T(s)的单实数极点的单实数极点-p，情况情况2：对：对T(s)的的k重极点重极点-p，g(t)的表达式：的表达式：3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的
10、稳定性情况情况3：对于：对于T(s)的共轭复数极点，的共轭复数极点，均为实数均为实数3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性g(t)中的两种响应曲线中的两种响应曲线响应中的两种类型：响应中的两种类型：3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性g(t)存在上界的充分必要条件：存在上界的充分必要条件：即，系统的闭环传递函数极点均具有负实部。即，系统的闭环传递函数极点均具有负实部。 闭环系统稳定性的充分必要条件：闭环系统稳定性的充分必要条件： 3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性n如何判定系统的稳定性？如何判定系统的稳定性？n直接求解出系统的闭环特征根直接求
11、解出系统的闭环特征根n根据劳斯判据通过特征方程的系数判定根的分布根据劳斯判据通过特征方程的系数判定根的分布n劳斯判据劳斯判据 n系统稳定关键看特征根的分布，而根是由方程的系数系统稳定关键看特征根的分布，而根是由方程的系数决定的。劳斯判据是由特征方程的系数来分析系统的决定的。劳斯判据是由特征方程的系数来分析系统的稳定性的一种判据。稳定性的一种判据。n闭环系统的特征方程的一般形式：闭环系统的特征方程的一般形式： 3.3.3 劳斯判据及其应用劳斯判据及其应用3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性1.1.稳定性的必要条件稳定性的必要条件 各因子相乘展开所得的多项式的系数就是这些正数的乘各因子相乘展开
12、所得的多项式的系数就是这些正数的乘积组成的，因此也必定为正数，即方程（积组成的，因此也必定为正数，即方程（3-25）的所有）的所有系数均为正，系数均为正， al0。3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性2. 劳斯表劳斯表说明：任意正数乘或除表中某一说明：任意正数乘或除表中某一行不会影响其下面导出行的符号行不会影响其下面导出行的符号3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性3.3.劳斯判据劳斯判据 特征方程特征方程 (s)=0(s)=0具有正具有正实部根的数目部根的数目与劳斯表第与劳斯表第1 1列中符号变化的次数相同。列中符号变化的次数相同。 4.4.利用劳斯判据判断系统的稳定性利用劳斯判据判断
13、系统的稳定性n各项系数是否都大于各项系数是否都大于0 0；n列写劳斯表；列写劳斯表；n若若第一列元素第一列元素出现符号改变出现符号改变, , 则系统不稳定则系统不稳定; ; 第一列元素符号改变次数第一列元素符号改变次数 = = 实部为正的闭环极点实部为正的闭环极点个数个数; ;(1) 稳定的充要条件：稳定的充要条件：a003.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性(2) 稳定的充要条件：稳定的充要条件：ai0例例3-1 3-1 3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性例例3-2：第第1 1列中符号改变了列中符号改变了2 2次，根据劳斯判据该特征方程次，根据劳斯判据该特征方程有有2 2个根在右半个
14、根在右半s s平面，所以系统是不稳定的平面，所以系统是不稳定的. . 3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性例例3-33-3：考虑单位负反馈系统稳定的：考虑单位负反馈系统稳定的K K的范围的范围 解：闭环系统的特征方程为解：闭环系统的特征方程为根据劳斯判据得使系统稳定的充要条件是根据劳斯判据得使系统稳定的充要条件是劳斯劳斯表为：表为：3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性5. 劳斯表的特殊情况劳斯表的特殊情况 n情况情况1 劳斯表首列中出现零元素，但其所在行其余各元劳斯表首列中出现零元素，但其所在行其余各元素不全为零。素不全为零。n处理方法：处理方法：用一个很小的正数用一个很小的正数代替首
15、列中的零元素来代替首列中的零元素来参与劳斯表的计算，在构成劳斯表后，再令参与劳斯表的计算，在构成劳斯表后，再令0 0 进行进行判定即可。判定即可。 稳定性判定：稳定性判定：劳斯表首列有劳斯表首列有2 2次符号变化，所以有次符号变化，所以有2 2个特征根位于个特征根位于s s平面的右半平面，平面的右半平面，系统是不稳定的。系统是不稳定的。该特征方程的根为：该特征方程的根为：-1.9571，-0.0686 j1.2736和和-0.0901 j0.5532。 3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性n情况情况2 劳斯表首列中出现零元素，且其所在行的其他元劳斯表首列中出现零元素，且其所在行的其他元素均
16、为零。素均为零。（1）特征多项式中存在一对根形如）特征多项式中存在一对根形如(s)(s+ )或者或者(s j )(s+j )的因子；的因子；（2）特征多项式中存在两对根形如）特征多项式中存在两对根形如(s+j )(sj )和和(s+ +j )(s+j )的因子。的因子。n处理方法：处理方法：利用全零行的前一行构造一个辅助多项式方利用全零行的前一行构造一个辅助多项式方程程 ,对辅助多项式方程求导，得到多项式的系数对辅助多项式方程求导，得到多项式的系数代替原来的全零行，继续完成劳斯表。代替原来的全零行，继续完成劳斯表。 3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性稳定性判定：稳定性判定：完成的劳斯表中
17、第完成的劳斯表中第1 1 列元素全部为正，特征方程在列元素全部为正，特征方程在s s平面平面的右半平面没有根。的右半平面没有根。但是，上述劳斯表是借助辅助多项式方程完成的，这意味着但是，上述劳斯表是借助辅助多项式方程完成的，这意味着存在对称于原点的一对特征根或者两对特征根，根据稳定性存在对称于原点的一对特征根或者两对特征根，根据稳定性定义，两类情况均意味着系统是不稳定的。借助计算机可求定义，两类情况均意味着系统是不稳定的。借助计算机可求得该特征方程的根为：得该特征方程的根为： j, j2和和 ，系统有系统有2个个虚根，临界稳定。虚根，临界稳定。3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性例例3-6
18、 稳定性判定：劳斯表首列有稳定性判定：劳斯表首列有2 2次符次符号变化，所以有号变化，所以有2 2个特征根位于个特征根位于s s平平面的右半平面，系统是不稳定的。面的右半平面，系统是不稳定的。注意到注意到劳斯表采用辅助多项式方劳斯表采用辅助多项式方程才完成程才完成，说明，说明存在对称于原点存在对称于原点的特征根的特征根。事实上，可求得该特。事实上，可求得该特征方程的根为：征方程的根为： 1 j2和和1 j2。 6、相对稳定性、相对稳定性n定义定义3-3（相对稳定性）（相对稳定性）:设一个设一个n阶闭阶闭环系统的特征根为环系统的特征根为 pl(l=1,2,.,n)，且，且对于所有对于所有l=1,
19、2,.,n，特征根的实部均，特征根的实部均满足满足Re( pl)0使得对于所有使得对于所有l=1, 2, ., n，有有Re( pl)delta=1,1,6,5,9,4,4; %输入多项式输入多项式r=roots(delta); %求求 (s)=0的根的根运结果检验：运结果检验：rr=-0.0000 + 2.0000i-0.0000 - 2.0000i-0.5000 + 0.8660i-0.5000 - 0.8660i-0.0000 + 1.0000i-0.0000 - 1.0000i3.6.1 判定系统的稳定性判定系统的稳定性1、解特征方程法：、解特征方程法：求出特征方程的根。求出特征方程的
20、根。求多项式方程的根可调用的函数求多项式方程的根可调用的函数roots( ) ；例例3-8：可知，系统处于临界响可知，系统处于临界响应，故是不稳定的。应，故是不稳定的。3.6 利用利用MATLAB分析系统的稳定性及特性分析系统的稳定性及特性npzmap(num,den) 来绘制系统特征方程的零极点图；通过来绘制系统特征方程的零极点图；通过零极点位置判断系统的稳定性。零极点位置判断系统的稳定性。n例例3-9 输入以下输入以下MATLAB命令命令 num=0 3 2 5 4 6 ; den=1 3 4 2 7 2; pzmap(num, den);title(系统的零极点图系统的零极点图)计算结果
21、可知，特征根中有两计算结果可知，特征根中有两个根的实部为正，所以闭环系个根的实部为正，所以闭环系统是不稳定的。统是不稳定的。3.6.2 绘制零极点图判定系统的稳定性绘制零极点图判定系统的稳定性 3.6 利用利用MATLAB分析系统的稳定性及特性分析系统的稳定性及特性nMATLAB没有直接求解灵敏度的调用函数，所以需要根据没有直接求解灵敏度的调用函数，所以需要根据灵敏度公式来写程序来计算。灵敏度公式来写程序来计算。n例例3-10先建立一个先建立一个M文件：文件：sensifcn1.m，然后输入以下，然后输入以下MATLAB命令：命令：G=tf(3,18,1,12,35,24,0); Gc=tf(
22、5,4,6,2);H=tf(0.01,6,2,4);S=feedback(1,Gc*G*H);zpk(S)3.6.3 求解灵敏度函数求解灵敏度函数3.7 小结小结n（1）反馈控制系统的典型结构）反馈控制系统的典型结构n讨论贯穿于全书的反馈控制系统的典型结构，推导其开讨论贯穿于全书的反馈控制系统的典型结构，推导其开环传递函数、闭环传递函数以及偏差传递函数，正负反环传递函数、闭环传递函数以及偏差传递函数，正负反馈的识别；馈的识别；n开环控制系统和反馈控制系统的区别：参考输入信号产开环控制系统和反馈控制系统的区别：参考输入信号产生控制作用和偏差信号产生控制作用。生控制作用和偏差信号产生控制作用。n（
23、2）闭环系统的稳定性和劳斯判据）闭环系统的稳定性和劳斯判据n建立系统的有界输入建立系统的有界输入-有界输出稳定性定义。有界输出稳定性定义。n劳斯判据，稳定充要条件：特征方程的跟位于劳斯判据，稳定充要条件：特征方程的跟位于s平面的平面的左半平面；左半平面；3.7 小结小结n（3）反馈控制系统的特性：）反馈控制系统的特性：n改进系统的瞬态响应；改进系统的瞬态响应；n减小系统的稳态误差；减小系统的稳态误差；n减小内部模型参数变化的灵敏度减小内部模型参数变化的灵敏度n提高对外部扰动的抑制能力。提高对外部扰动的抑制能力。n（4）复杂反馈控制系统的结构与特性）复杂反馈控制系统的结构与特性n多回路或者多通道的控制系统；多回路或者多通道的控制系统；n两种构成方式：形成局部反馈内回路、添加前馈补偿通道。两种构成方式：形成局部反馈内回路、添加前馈补偿通道。n内环反馈校正、串级控制和前馈内环反馈校正、串级控制和前馈-反馈控制三种基本结构。反馈控制三种基本结构。本章结束！本章结束！
