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1、第四节第四节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分一、弧微分一、弧微分二、对弧长的曲线积分的计算二、对弧长的曲线积分的计算（第十章（第十章 第一节）第一节）G 表示的几种表示的几种几何形体以及其上的积分几何形体以及其上的积分：D闭区间闭区间a,ba,bL( (平面有界平面有界 闭区域闭区域) )（平面有限平面有限 曲线段）曲线段）（有限曲（有限曲 面面片）片）( (空间有界空间有界 闭区闭区域域) )( (空间有限空间有限 曲线段曲线段) )二重积分二重积分三重积分三重积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分几何形体上的积分几何形体上的积分重积分重积分对弧长的（第一类）
2、曲线积分对弧长的（第一类）曲线积分对面积的（第一类）曲面积分对面积的（第一类）曲面积分当当G为平面或空间有限光滑为平面或空间有限光滑(或分段光滑或分段光滑)曲线曲线(L或或 )时，积分称为时，积分称为对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分或或第一类曲线积分第一类曲线积分,即即当当L(或或 )为为简单闭曲线简单闭曲线时时,对弧长的积分记为对弧长的积分记为计算思路计算思路：化为定积分来计算化为定积分来计算点在点在L上变化上变化 复习弧长微分概念复习弧长微分概念对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算(1)(1)直角坐标情形直角坐标情形对对x取取有有弧长微分公式弧长微分公式 以直代曲以直代曲一、弧长微
3、分一、弧长微分过点过点M作切线，作切线，(2) 参数方程情形参数方程情形曲线弧为曲线弧为且在且在上具有连续导数上具有连续导数弧长微分公式弧长微分公式( (化为定积分化为定积分) )（1 1）参数方程情形）参数方程情形其中其中且且设曲线设曲线二、对弧长二、对弧长曲线积分的计算曲线积分的计算1. 1. 平面曲线积分平面曲线积分(化为对化为对t t 的定积分的定积分)因此因此计算公式计算公式第一类曲线积分的计算公式第一类曲线积分的计算公式注注1 1: :故右端的定积分存在故右端的定积分存在.注注2:在第一型曲线积分的计算中在第一型曲线积分的计算中,定积分的定积分的下限一定要小于上限下限一定要小于上限
4、.（2）直角坐标情形）直角坐标情形化成参数方程化成参数方程若若例例1 1计算计算其中其中L的方程是的方程是解解 先求参数形式的弧微分先求参数形式的弧微分例例2 2计算计算其中其中L是以是以为顶点的为顶点的三角形边界三角形边界.L是分段光滑弧段是分段光滑弧段,解解在在OA上，上，故故在在AB上，上，故故故故在在BO上，上，因此因此2. 空间对弧长的曲线积分计算空间对弧长的曲线积分计算( (参数情形参数情形) )曲线曲线平面情形的推广平面情形的推广例例3 3计算计算其中其中是螺线是螺线的的第一圈第一圈解解以圆弧的圆心为坐标原点以圆弧的圆心为坐标原点,例例4 4 有一段铁丝成半圆形有一段铁丝成半圆形
5、L， 半径为半径为R，其上任一点的其上任一点的线密度的大小等于该点线密度的大小等于该点到其到其两端点连线的距离，两端点连线的距离，求其质量求其质量.L的对称轴为的对称轴为y 轴轴. 则则建立坐标系建立坐标系:解解线密度为线密度为质量为质量为 L(半圆弧半圆弧) 的参数方程为的参数方程为小小 结结对弧长的对弧长的曲线积分的计算曲线积分的计算-化为定积分化为定积分1.把积分路径把积分路径L代入代入被积函数；被积函数；2.根据积分路径根据积分路径L的不同的表示形式，的不同的表示形式，求出求出弧微分弧微分.3. 定出定积分的上下限，定出定积分的上下限，下限小于上限下限小于上限.(1) 曲线弧为曲线弧为
6、参数方程参数方程的计算的计算(2)曲线弧的方程为曲线弧的方程为显函数方程显函数方程的计算的计算将将显函数方程化为显函数方程化为参数形式：参数形式：思考题思考题1.1.以下两式正确否？以下两式正确否？（1 1）区域）区域则则( (错误错误) )（2 2）曲线）曲线则则( (正确正确) ) 2.若有不均匀的椭圆若有不均匀的椭圆形构件，形构件， 其上一点其上一点的线密度的线密度 则此椭圆形构件则此椭圆形构件的平均线密度是的平均线密度是 提示：平均线密度提示：平均线密度=质量质量M / 曲线长曲线长L平均线密度平均线密度平均线密度平均线密度讨论题 由此给出对弧长的曲线积分的由此给出对弧长的曲线积分的几何意义几何意义. 已知一柱面的准线（平面曲线）和高，已知一柱面的准线（平面曲线）和高，可以利用积分求出它的面积吗？可以利用积分求出它的面积吗？提示：由定积分的几何意义推广提示：由定积分的几何意义推广.答：柱面的侧面积答：柱面的侧面积（准线准线y=y(x)为底边，为底边，z=f (x,y)为为高高的面积）的面积）y=y(x)平面上对弧长的曲线积分几何意义：平面上对弧长的曲线积分几何意义：作 业P.131
