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1、第三章第三章 不等式不等式 第第 2课时课时 基本不等式的应用基本不等式的应用 ab学习目标学习目标 1.进一步掌握基本不等式进一步掌握基本不等式ab. 22.会用基本不等式求某些函数的最大值、会用基本不等式求某些函数的最大值、最小值，能够解最小值，能够解决一些简单的实际问题决一些简单的实际问题(重点重点) 3.能运用基本不等式解能运用基本不等式解决生活中的应用问题决生活中的应用问题(难点难点) 知识提炼知识提炼梳理梳理 1理论依据理论依据 (1)设设 x，y为正实数，若为正实数，若 xys(和和 s为定值为定值)，则当，则当sxy时，积时，积 xy有最有最大大值，且这个值为值，且这个值为.
2、4(2)设设 x，y为正实数，若为正实数，若 xyp(积积 p为定值为定值)，则当，则当 xy时，和时，和 xy有最有最小小值，且这个值为值，且这个值为 2 p. 22基本不等式求最值的条件基本不等式求最值的条件 (1)x，y必须是必须是正数正数； (2)求积求积 xy的最大值时，应看和的最大值时，应看和 x 十十 y是否为是否为定值定值； 求和求和 xy的最小值时，应看积的最小值时，应看积 xy是否为是否为定值定值 (3)等号成立的条件是否满足等号成立的条件是否满足 3利用基本不等式求最值需注意的问题利用基本不等式求最值需注意的问题 (1)各数各数(或式或式)均为正均为正 (2)和或积为定值
3、和或积为定值 (3)判断等号能否成立，判断等号能否成立， “一正、二定、三相等一正、二定、三相等”这三这三个条件缺一不可个条件缺一不可 (4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性 思考尝试思考尝试夯基夯基 1思考判断思考判断(正确的打正确的打“” ，错误的打，错误的打“”“” ) (1)对任意的对任意的 a，bR，若，若 a 与与 b的和为定值，则的和为定值，则 ab有最大值有最大值( ) (2)两两个个正正数数的的积积为为定定值值，它它们们的的和和一一定
4、定有有最最小小值值( ) (3)若若 xy4，则，则 xy的最小值为的最小值为 4.( ) 2(4)函数函数 f(x)x 2的最小值为的最小值为 2 21.( ) x 12解析：解析：(1)正确当正确当 a，bR 时，若时，若 a 与与 b的和为定的和为定? ?ab? ?2? ? ?值，值，ab? ?，所以，所以? ? ?2? ?ab有最大值有最大值(2)错误不一定，错误不一定，应用不等式求最值时还要求等号能取到，如：应用不等式求最值时还要求等号能取到，如：sin x 与与4，x(0，)，两个都是正数，乘积为定值但是由，两个都是正数，乘积为定值但是由sin x4于于02sin x4sin xs
5、in x4，等号不成立，取不到最小值，等号不成立，取不到最小值 (3)错误当错误当 x，y0时，时，xy的最小值为的最小值为 4，当，当 x，y0 时，时，xy的最大值的最大值 2为为 4.(4) 正正 确确 f(x) x 1 2 1 x 12222（x 1）212 21，当且仅当，当且仅当x 1x 122， 2x 1即即 x 21 时等号成立时等号成立 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 22下列函数中，最小值为下列函数中，最小值为 4的函数是的函数是( ) 44Ayxx Bysin x(0x) sin xCye 4e Dylog3xlogx81 解析：解析：A 中中 x1时，时，y
6、52)在在 xa 处取最小值，处取最小值，x2则则 a( ) A1 2 B1 3 C3 D4 11解解 析析 ： f(x) x (x 2) 2 2 x2x211（x2）2， 当且仅当当且仅当 x2， 即即 x1(舍舍)x2x2或或 x3 时，上式取等号，所以时，上式取等号，所以 a3. 答案：答案：C x x14函数函数 y(x1)在在 xt处取得最小值，则处取得最小值，则x1t等于等于( ) A1 2 B2 C3 D4 x（x1）111解析：解析：yxx11x1x1x1213， 1当且仅当当且仅当 x1，即，即 x2时，等号成立时，等号成立 x1答案：答案：B 25函数函数 f(x)x(42
7、x)的最大值为的最大值为_ 解析：解析：当当 x(0，2)时，时，x0，42x0， ? ?x2x? ? ? ?2f(x)x(42x)2x(2x)2? ?2， ? ?2? ? ?当且仅当当且仅当 2x42x，即，即 x1 时，等号成立时，等号成立 当当 x0 或或 x2 时，时，f(x)0. 故故 f(x)max2. 答案：答案：2 类型类型 1 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 (互动探究互动探究) x 2x2典例典例 1 (1)若若 x1，则，则 y有有( ) x1A最小值最小值 2 B最大值最大值 2 C最小值最小值2 D最大值最大值2 11(2)若若 0x ，则函数，则函数y x
8、(12x)的最大值是的最大值是22_ 2x 2x2解析：解析： (1)因为因为 x1， 所以所以 x10， 所以所以 yx1（x1） 11x12 x1x12，故选，故选 D. 1(2)因为因为 0x ，所以，所以 12x0， 2? ?22x12x111? ? ? ?所以所以 y x(12x) 2x(12x)? ? ? ?244? ?2? ?221（x1）x11111 ，当且仅当，当且仅当 2x12x，即当，即当 x 时，时，ymax441641. 161答案：答案：(1)D (2) 16迁移探究迁移探究 若把典例若把典例 1(1)中的条件中的条件“x1”改为改为“x1” 其他不变，则结论如何？
9、其他不变，则结论如何？ 解：解：因为因为 x1，所以，所以 x10， x 2x2（x1） 11所以所以 yx12 x1x1x11（x1）2. x122归纳升华归纳升华 1应用基本不等式需注意三个必要条件：应用基本不等式需注意三个必要条件： 即即“一正一正”“二定二定” “三相等三相等” 在具体的题目中，在具体的题目中， “正数正数”条件往条件往往易从题设中获得解决，往易从题设中获得解决，“相等相等”条件也易验证确定，而条件也易验证确定，而要获得要获得“定值定值”条件却常常被设计为一个难点，条件却常常被设计为一个难点， 它需要一它需要一定的灵活性和变形技巧，因此，定的灵活性和变形技巧，因此，“定
10、值定值”条件决定着基本条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键不等式应用的可行性，这是解题成败的关键 2常用构造定值条件的技巧变换：常用构造定值条件的技巧变换：加项变换；加项变换；拆项变换；拆项变换；统一变元；统一变元；平方后利用基本不等式平方后利用基本不等式 12变式训练变式训练 (1)若若 x2，求，求 f(x)x 的最小值；的最小值； x21(3)已知已知 0x1，求函数，求函数 y的最小值的最小值 x1? ? ?12? ? ?解：解：(1)因为因为 x2，所以，所以 x20，f(x)x22x2211（x2）24，当且仅当，当且仅当 x2，即，即 xx2x211(3)因为因为
11、 0x0， f(x)x(12x) 2x(122? ?1? ? ?2x（12x）? ?212x)? ? ，当且仅当，当且仅当 2x12x，即，即? ?2? ?82? ?3 时等号成立，所以时等号成立，所以 f(x)的最小值为的最小值为 4. 1x 时等号成立，时等号成立， 41所以所以 f(x)的最大值为的最大值为 . 8(4)因为因为 x1，所以，所以 x10.设设 tx1(t0)，则，则 xtx 2（t1） 231， 所以所以 yt 22ttx1223t 2t32 32，当且仅当，当且仅当 tt，即，即 t 3，x 31 时等号时等号成立，所以成立，所以 f(x)的最小值为的最小值为 2 3
12、2. 类型类型 2 基本不等式的综合应用基本不等式的综合应用 xy典例典例 2 (1)(2017 山东卷山东卷)若直线若直线 1(a0， b0)ab过点过点(1，2)，则，则 2ab的最小值为的最小值为_ 11(2)已知正数已知正数 a，b满足满足 a2b1， 则则ab的最小值是的最小值是_ (3)已知已知 x0，y0，且，且 2x8yxy0， 求：求：xy的最小值；的最小值； xy的最小值的最小值 xy1解析：解析：(1)直线直线 1(a0，b0)过点过点(1，2)，有，有 aba21. b则则2? ?12? ?4ab2ab(2a b)? ?ab? ? 2ba2 4? ? ?4a b 8，
13、b a4ab当且仅当当且仅当ba，即，即 a2，b4 时，上式等式成立时，上式等式成立 故故(2ab)min8. 11a2ba2b2ba(2)abab3ab3232 2. 2ba a b2ba当且仅当当且仅当ab时等号成立，又时等号成立，又 a2b1，得，得 a 2? ?11? ?2 21，b时，时，? ?ab? ?min32 2. 2? ? ?答案：答案：(1)8 (2)32 2 (3)解：解：因为因为 x0，y0，2x8yxy0， xy2x8y2 16xy， 所以所以 xy 8，所以，所以 xy64. 故故 xy的最小值为的最小值为 64. 28由由 2x8yxy，得：，得：yx1， 所以
14、所以? ?28? ?2x8y? ? ?10xy(xy)1(xy)yx? ?yx? ?10818. 故故 xy的最小值为的最小值为 18. 归纳升华归纳升华 利用基本不等式求条件最值的常用方法利用基本不等式求条件最值的常用方法 1 “1”的代换：的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得利用已知的条件或将已知条件变形得到含到含“1”的式子，将的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值代入后再利用基本不等式求最值 2构造法：构造法： (1)构造不等式利用构造不等式利用? ?ab? ?2? ? ?ab? ?，将式子转化为含，将式子转化为含? ? ?2? ?ab或或 ab的一元二次不等式，将的一元二次
15、不等式，将 ab，(ab)作为整体解作为整体解出范围出范围 (2)构造定值结合已知条件将要求的代数式变形，构造定值结合已知条件将要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值 3函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，这时可将要求的式子看成一法利用基本不等式求最值，这时可将要求的式子看成一个函数，利用函数的单调性求最值个函数，利用函数的单调性求最值 19变式训练变式训练 (1)已知已知 x0，y0，且，且xy1，则，则xy的最小值为的最小值为_ (2)已知已知 x0，y0
16、，x2y2xy8，则，则x2y的最小的最小值是值是_ (3)设设 x，y为实数若为实数若 4x y xy1，则，则 2xy的的最大值是最大值是_ 2219解析：解析：(1)因为因为 x0，y0，xy1，所以，所以 xy(x? ?19? ?y9xy9x? ? ? 1061016.当且仅当当且仅当 时，时， y)yxy? ?xy? ?x19上式等号成立上式等号成立由由 1，得得 x4，y12时，时，(xy)minxy16. (2)由基本不等式，得由基本不等式，得2? ?x2y? ?2? ? ?x2y8x(2y)8? ?， ? ? ?2? ?整理，得整理，得(x2y) 4(x2y)320. 所以所以
17、(x2y4)(x2y8)0. 又又 x2y0，所以，所以 x2y4. 3(3)依依题题意意有有(2xy) 13xy12xy122? ?22xy3? ? ? ?， ? ? ?2? ?2? ?52 102得得 (2xy) 1，即，即|2xy|. 85102 10当且仅当当且仅当 2xy时，时，2xy取最大值取最大值. 552 10答案：答案：(1)16 (2)4 (3) 5类型类型 3 利用基本不等式解实际应用题利用基本不等式解实际应用题 典例典例 3 要设计一张矩形广告，该广要设计一张矩形广告，该广告有大小相等的左右两个矩形栏目告有大小相等的左右两个矩形栏目 (即图中即图中阴影部分阴影部分 )，
18、这两栏的面积之和为，这两栏的面积之和为18 000 cm，四周空白的宽度为，四周空白的宽度为 10 cm，两栏之间的中缝空白的，两栏之间的中缝空白的宽度为宽度为 5 cm，请确定广告的高与宽的尺寸请确定广告的高与宽的尺寸 (单位：单位：cm)，使使矩形广告面积最小，并求出最小值矩形广告面积最小，并求出最小值 解：解：设矩形栏目的高为设矩形栏目的高为 a cm，宽为，宽为 b cm，ab9 000. 2广告的高为广告的高为 a20，宽为，宽为 2b25，其中，其中 a0，b0. 广告的面积广告的面积 S(a20)(2b25) 2ab40b25a500 18 500 25a40b 18 500 2
19、 25a40b 18 500 2 1 000ab 24 500. 5当且仅当当且仅当 25a40b 时，等号成立，此时时，等号成立，此时 b a，代，代8入入式得式得 a120，从而，从而 b75，即当，即当 a120，b75时，时，2S取得最小值，取得最小值，Smin24 500 cm，故广告的高为故广告的高为 140 cm ，2宽为宽为 175 cm ， 矩形广告的面积最小，矩形广告的面积最小， 最小值为最小值为 24 500 cm. 归纳升华归纳升华 求实际问题中最值的一般思路求实际问题中最值的一般思路 1读懂题意，读懂题意，设出变量，设出变量，理清思路，理清思路，列出函数关系式列出函数
20、关系式 2把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题 3在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性再考虑函数的单调性 4正确写出答案正确写出答案 变式训练变式训练 (1)某公司购买一批机器投入生产，某公司购买一批机器投入生产，据市据市场分析，场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单位：单位：万万元元)与机器运转时间与机器运转时间 x(单位：单位：年年)的关
21、系为的关系为 yx 18x25(xN )，则当每台机器运转，则当每台机器运转 _ 年时，年平均利年时，年平均利润最大，最大值是润最大，最大值是 _ 万元万元 (2)某单位决定投资某单位决定投资 3 200元建一仓库元建一仓库(长方体状长方体状)，高，高度恒定，度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，它的后墙利用旧墙不花钱， 正面用铁栅，正面用铁栅，每米长每米长造价造价 40元，元，两侧墙砌砖，两侧墙砌砖，每米长造价每米长造价 45元，元，顶部每平方顶部每平方米造价米造价 20元，求：元，求： *2仓库面积仓库面积 S的最大允许值是多少？的最大允许值是多少？ 为使为使 S 达到最大，而实际投资又不超过预
22、算，那达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？么正面铁栅应设计为多长？ y(1)解析：解析：每台机器运转每台机器运转 x 年的年平均利润为年的年平均利润为x18? ?25? ? ?x? ?，而，而x? ? ?yx0，故，故x182 258， 当且仅当当且仅当 x5 时等号成立，此时年平均利润最大，时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为最大值为 8 万元万元 答案：答案：5 8 (2)解：解：设铁栅长为设铁栅长为 x 米，一堵砖墙长为米，一堵砖墙长为 y 米，则米，则顶部面积为顶部面积为 Sxy，依题意得，依题意得，40x245y20xy3 200(x0，y0)， 由基本不
23、等式得由基本不等式得 3 2002 40x90y20xy120 xy20xy120 S20S. 所以所以 S6 S1600，即，即( S10)( S16)0， 故故 S10，从而，从而 S100， 所以所以 S的最大允许值是的最大允许值是 100平方米，平方米， 由由知，知， 当当 40x90y时，时， S取最大值，取最大值， 又又 xy100， 所以所以 x15，即铁栅的长是，即铁栅的长是 15米米 ab1用基本不等式用基本不等式ab求最值时的三个要点：求最值时的三个要点： 2(1)式中各项均为正数式中各项均为正数 (2)含变数的各项的和或体积必须有一个为定值含变数的各项的和或体积必须有一个
24、为定值 (3)等号能成立等号能成立 以上三点可简记为：以上三点可简记为： “一正、二定、三相等一正、二定、三相等” 2 用基本不等式解决实际问题时应按如下步骤进行：用基本不等式解决实际问题时应按如下步骤进行： (1)理解题意，设好变量，设变量时一般把要求最大理解题意，设好变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定义为函数值或最小值的变量定义为函数 (2)建立相应的函数关系式，把实际问题转化、抽象建立相应的函数关系式，把实际问题转化、抽象为函数的最大值或最小值问题为函数的最大值或最小值问题 (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值在定义域内，求出函数的最大值或最小值 (4)结合实际意义求出正确的答案结合实际意义求出正确的答案
