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1、第二章第二章对偶理论与灵敏度分析对偶理论与灵敏度分析1 1 单纯形法的矩阵描述单纯形法的矩阵描述 设设max z = CXmax z = CX AX = b AX = b X 0 X 0 A A为为m mn n阶矩阵阶矩阵 RankA=m , RankA=m ,取取B B为可行基为可行基, N, N为非基，为非基， 123求解步骤：432利润12kg40材料B16kg04材料A8台时 21设备台时限制 2 2 对偶问题的提出对偶问题的提出 eg.1 eg.1制定生产计划制定生产计划 M1: max z = 2x1 + 3x2 M1: max z = 2x1 + 3x2 1x1 + 2x2 8
2、1x1 + 2x2 8 4x1 16 4x1 16 4x2 12 4x2 12 x1 x1，x2 0 x2 0 5 现在出租，设y1为设备单位台时的租金 y2,y3为材料A、B转让附加费(kg-1) 则M2为M1的对偶问题，反之亦然。M2: min w = 8y1 + 16y2 + 12y3 y1 + 4y2 2 2y1 + 4y3 3 y1,y2,y3 032利润12kg40材料B16kg04材料A8台时 21设备台时限制 6 一般的，原问题：max z = CX AX b X 0 对偶问题：min w = Yb YA C Y 0 比较： max z min w 决策变量为n个 约束条件为n
3、个 约束条件为m个 决策变量为m个 “” “”73 3 对偶问题的化法对偶问题的化法 1 1、典型情况、典型情况 eg.2max z = x1 + 2x2 + x3 eg.2max z = x1 + 2x2 + x3 2x1 + x2 6 2x1 + x2 6 2x2 + x3 8 2x2 + x3 8 x1,x2,x3 0 x1,x2,x3 0对偶：min w = 6y1 + 8y2 2y1 1 y1 + 2y2 2 y2 1 y1,y2 08 2、含等式的情况 eg.3max z = x1 + 2x2 + 4x3 2x1 + x2 + 3x3 = 3 x1 + 2x2 + 5x3 4 x1
4、,x2,x3 0对偶：min w = 3y1-3y1”+4y2 2y1-2y1”+ y2 1 y1- y1”+2y2 2 3y1-3y1”+5y2 4 y1,y1”,y2 0令y1=y1-y1”,那么： min w = 3y1+4y2 2y1 + y2 1 y1 +2y2 2 3y1 +5y2 4 y2 0，y1无约束普通，原问题第i个约束取等式，对偶问题第i个变量无约束。 2x1 + x2 + 3x3 3-2x1 - x2 - 3x3 -39 3、含“”的max问题 eg.4max z = x1 + 2x2 + 4x3 2x1 + x2 + 3x3 3 x1 + 2x2 + 5x3 4 x1
5、,x2,x3 0对偶：min w = -3y1 + 4y2 -2y1 + y2 1 -y1 + 2y2 2 -3y1 + 5y2 4 y1,y2 0令y1 = -y1，那么： min w = 3y1 + 4y2 2y1 + y2 1 y1 + 2y2 2 3y1 + 5y2 4 y1 0,y2 0-2x1 - x2 - 3x3 -310普通: max问题第i个约束取“”，则min问题第i个变量 0 ； min问题第i个约束取“”，则max问题第i个变量 0 ； 原问题第i个约束取等式，对偶问题第i个变量 无约束； max问题第j个变量 0 ,则min问题第j个约束取“” ； min问题第j个变
6、量 0 ，则max问题第j个约束取“” ； 原问题第j个变量无约束，对偶问题第j个约束取等式。11 eg.5min z = 2x1 + 3x2 - 5x3 + x4 eg.5min z = 2x1 + 3x2 - 5x3 + x4 x1 + x2 - 3x3 + x4 5 x1 + x2 - 3x3 + x4 5 2x1 + 2x3 - x4 4 2x1 + 2x3 - x4 4 x2 + x3 + x4 = 6 x2 + x3 + x4 = 6 x1 0,x2,x3 0,x4 x1 0,x2,x3 0,x4无约束无约束对偶：max w = 5y1 + 4y2 + 6y3 y1 + y2 2
7、y1 + y3 3 -3y1 + 2y2 + y3 -5 y1 - y2 + y3 = 1 y1 0,y2 0,y3无约束 124 4 对偶问题的性质对偶问题的性质 1、对称性 对偶问题的对偶为原问题.131415推论：(1) max问题任一可解的目标值为min问题目标值的一个下界；(2) min问题任一可解的目标值为max问题目标值的一个上界。3、无界性 若原问题(对偶问题)为无界解，则对偶问题(原问题)为无可行解。注：该性质的逆不存在。若原(对偶)问题为无可行解，对偶(原问题)问题或为无界解，或为无可行解。16 4、最优性 设X*，Y*分别为原问题和对偶问题可行解，当 CX*=Y*b时，
8、X*，Y*分别为最优解。17 5、对偶定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解， 且目标值相等。18Y*为对偶问题的最优解，且原问题和对偶问题的目标值相等。证毕6、松弛性 若X*，Y*分别为原问题及对偶问题的可行解， 那么Ys*X*=0，Y*Xs*=0，当且仅当X*，Y*分别为 最优解。证明：19将b,C分别代入目标函数：20其中：用分量表示：21 7、检验数与解的关系 (1)原问题非最优检验数的负值为对偶问题的一个基解。 (2)原问题最优检验数的负值为对偶问题的最优解。 分析：max z = CX + 0Xs = (C 0)(X Xs)T AX + Xs = b X,Xs 0 min
9、w = Yb + YS0 YA - Ys = C Y,Ys 0 检验数： = (C 0)- CBB-1(A I) = (C- CBB-1A - CBB-1) = (c s) c = C - CBB-1A X对应的检验数 s = - CBB-1 Xs对应的检验数 22eg.6eg.6知：知：min w = 20y1 + 20y2 min w = 20y1 + 20y2 的最优解为的最优解为y1*=1.2,y2*=0.2y1*=1.2,y2*=0.2-ys1 y1 + 2y2 1 -ys1 y1 + 2y2 1 试用松弛性求对试用松弛性求对偶偶-ys2 2y1 + y2 2 -ys2 2y1 +
10、y2 2 问题的最优解。问题的最优解。 -ys3 2y1 + 3y2 3 -ys3 2y1 + 3y2 3 -ys4 3y1 + 2y2 4 -ys4 3y1 + 2y2 4 y1,y2 0 y1,y2 0 解：对偶问题 max z = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 20 +xs1 2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 20 +xs2 x1,x2,x3,x4 0 y1*xs1* = 0 y2*xs2* = 0 ys1*x1* = 0 ys2*x2* = 0 ys3*x3* = 0 ys4*x4* = 023 y1*=1.2,y2*0.2
11、 0 xs1* = xs2* = 0 由 y1* + 2y2* = 1.6 1 ys1* 0 x1* = 0 由 2y1* + y2* = 2.6 2 ys2* 0 x2* = 0 由 2y1* + 3y2* = 3 =右边 ys3* = 0 x3*待定 由 3y1* + 2y2* = 4 =右边 ys4* = 0 x4*待定 有 2x3* + 3x4* = 20 3x3* + 2x4* = 20 x3* = 4 x4* = 4 最优解：最优解：x1* = 0 x2* = 0 x3* = 4 x4* = 4 x1* = 0 x2* = 0 x3* = 4 x4* = 4 xs1* = 0 xs
12、2* = 0 xs1* = 0 xs2* = 0 最大值：最大值：z* = 28 = w*z* = 28 = w*245 5 对偶问题的经济含义对偶问题的经济含义影子价格影子价格 最优情况：最优情况：z* = w* = b1y1* + z* = w* = b1y1* + + biyi* + + biyi* + + bmym*+ bmym*x2x1Q2 eg.7max z = 2x1 + 3x2 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1,x2 0b1： 8 9 Q2(4，2.5) z* = 15.5 z* = z*- z* = 3/2 = y1*b2：16 17 Q2”(4.25，
13、1.875) z*” = 14.125 z* = z*”- z* = 1/8 = y2*b3：12 13 z* = 0 = y3*Q2Q2”256 6 对偶单纯形法对偶单纯形法 单纯形法：由单纯形法：由 XB = B-1b 0 XB = B-1b 0，使，使j 0j 0，j = j = 1,1,m,m对偶单纯形法：由对偶单纯形法：由j 0(j= 1,j 0(j= 1,n),n)，使，使XB = B-1b XB = B-1b 0 0 步骤：步骤：(1)(1)保持保持j 0j 0，j= 1,j= 1,n,n，确定，确定XBXB，建立计，建立计算表格；算表格； (2)判别XB = B-1b 0是否成
14、立？ 若成立，XB为最优基变量； 若不成立，转(3)； 26 (4)消元运算，得到新的XB。(3)基变换 出基变量， 入基变量， 反复2）-（4步，求出结果。27 eg.8用对偶单纯形法求解 min w = 2x1 + 3x2 + 4x3 x1 + 2x2 + x3 1 2x1 - x2 + 3x3 4 x1,x2,x3 0解：max z = -2x1 - 3x2 - 4x3 + 0x4 + 0x5 - x1 - 2x2 - x3 + x4 = -1 -2x1 + x2 - 3x3 + x5 = -4 x1,x2,x3,x4,x5 028-2-3-400CBXBbx1x2x3x4X50x4-1
15、0x5-4出出出x4,x5 0 最优最优解：最优解：x1* = 2x1* = 2，x2* = 0x2* = 0，x3* = 0x3* = 0，x4* = 1x4* = 1，x5* = 0x5* = 0目标值：目标值：w* = -z* = 4w* = -z* = 47 7 灵敏度分析灵敏度分析分析 变化对最优解的影响。3031例1 已知下述问题的最优解及最优单纯形表,32最优单纯形表如下:0-1/8-3/2000-1/81/2102311/2-2004001/4001420003233由最优单纯形表得:3435不可行!用对偶单纯形法计算36-3/4-1/20001/400103x23-1/2-1
16、/41002x3001/40014x120-1/8-3/200 0-1/81/2102+2311/2-2004-8x5001/40014+0x12ix5x4x3x2x1bXBCB00032x23/4-23738例2 求例1 c4的变化范围,使最优解不变.0-1/8-3/200 0-1/81/2102311/2-2004x5001/40014x12ix5x4x3x2x1bXBCB00032x2解:39分析:40方法:例3 求例1 c2的变化范围,使最优解不变.0-1/8-3/200 0-1/81/2102311/2-2004x5001/40014x12ix5x4x3x2x1bXBCB00032x
17、241解:0-1/8-3/200 0-1/81/2102311/2-2004x5001/40014x12ix5x4x3x2x1bXBCB00032x24243分析:4445例4 求例1 a24的变化范围,使最优解不变.解:46 例5 在例1的基础上，企业要增加一个新产品,每件产品需2个台时，原材料A 6kg，原材料B 3kg，利润 5元/件，问如何安排各产品的产量，使利润最大？解：532利润12340料B16604料A8221设备b47表明生产新品有利。485/40-1/8-3/200 1/40-1/81/21023211/2-2004x503/201/40014x12x5x4x3x2x1bX
18、BCB500032x2ix3495/40-1/8-3/200 1/40-1/81/21023211/2-2004x503/201/40014x12x5x4x3x2x1bXBCB500032x28/34/28ix320-5/8-7/16-1/400 0-1/8-3/163/4103/2311/21/4-10020-3/4-1/83/2011x12x5x4x3x2x1bXBCB500032x2ix3x3550小结1、对偶问题及其化法原问题决策变量决定对偶问题约束条件关系原问题约束条件决定对偶问题决策变量取值方向。512、检验数的计算方法523、对偶问题的性质4、对偶单纯形法弱对偶性无界性最优性松弛性检验数与对偶问题的解535、灵敏度分析5455
