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1、简单的线性规划石河子高级中学石河子高级中学2013.5.20 二元一次不等式表示平面区域：二元一次不等式表示平面区域：直线某一侧所有点组成的平面区域。 判定方法：判定方法：直线定界，特殊点定域。 二元一次不等式组表示平面区域：二元一次不等式组表示平面区域：各个不等式所表示平面区域的公共部分。 1 1 知识点知识点： 2 2 数学思想数学思想： 数形结合数形结合一、回顾：二、引入：二、引入： 设z=2x+y，式中变量满 足下列条件： 求z的最大值与最小值。2x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)2x+y=0 目标函数（线性目标函数）线性约束条件线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大
2、值或最小值的问题，统称为线性规划问题 可行解 ：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解； 可行域 ：由所有可行解组成的集合叫做可行域； 最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。 可行域可行域2x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)线性规划解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤： （2 2）移：令）移：令Z=0Z=0，画出参考直线，利用平移的，画出参考直线，利用平移的方法找出最优解对应的点方法找出最优解对应的点 （3 3）求：通过解方程组求出最优解；）求：通过解方程组求出最优解； （4 4）答：作出答案。）答：作出答案。 （1 1）画：画出线性约束条件所表示
3、的可行域；）画：画出线性约束条件所表示的可行域；做练习：一、（1），（2）0 0 0 0（图（图（图（图1 1 1 1）【练习练习练习练习】 如图如图如图如图1 1 1 1所示，已知所示，已知所示，已知所示，已知ABCABC中的三顶点中的三顶点中的三顶点中的三顶点A(2,4) ,B(-1,2),C(1,0),A(2,4) ,B(-1,2),C(1,0),点点点点P(x,yP(x,y) )在在在在ABCABC内部及边界运动，内部及边界运动，内部及边界运动，内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题：请你探究并讨论以下问题：请你探究并讨论以下问题：请你探究并讨论以下问题： 在在在在_处有最大值处有最大
4、值处有最大值处有最大值_，在，在，在，在_处有最小值处有最小值处有最小值处有最小值_；你知道其几何意义吗？你知道其几何意义吗？你知道其几何意义吗？你知道其几何意义吗？ 在在在在_处有最大值处有最大值处有最大值处有最大值_，在，在，在，在_处有最小值处有最小值处有最小值处有最小值_；z=z=x+yx+yz=z=x-yx-y？你能否借助其几何意义求得你能否借助其几何意义求得你能否借助其几何意义求得你能否借助其几何意义求得z zminmin和和和和z zmaxmaxA(2,4)A(2,4)C(0,1)C(0,1)B(-1,2)B(-1,2)z=z=x x2 2+y+y2 2 ， ( (课后思考题）课
5、后思考题）课后思考题）课后思考题）若目标函数是若目标函数是若目标函数是若目标函数是 某工厂用某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两两种配件生产甲、乙两种产品种产品, ,每生产一件甲产品使用每生产一件甲产品使用4个个A A配件配件并耗时并耗时1h, ,每生产一件乙产品使用每生产一件乙产品使用4个个B B配配件并耗时件并耗时2h, ,该厂每天最多可从配件厂获该厂每天最多可从配件厂获得得16个个A配件和配件和12个个B配件配件, ,按每天工作按每天工作8h计算计算, ,该厂所有可能的日生产安排是该厂所有可能的日生产安排是什么什么? ?若生产一件甲产品获利若生产一件甲产品获利2万元万元, ,生产生产一件乙
6、产品获利一件乙产品获利3万元万元, ,采用哪种生产安采用哪种生产安排获得的利润最大排获得的利润最大? ?三、实际问题：三、实际问题：, , , , 解：设甲、乙两种产品的日生产分别为解：设甲、乙两种产品的日生产分别为解：设甲、乙两种产品的日生产分别为解：设甲、乙两种产品的日生产分别为x ,yx ,y件时件时件时件时, , , ,工厂获得的利润为工厂获得的利润为工厂获得的利润为工厂获得的利润为z z万元万元万元万元, , , ,则则则则x ,yx ,y满足约束条件为满足约束条件为满足约束条件为满足约束条件为作出约束条件所表示的可行域，作出约束条件所表示的可行域，作出约束条件所表示的可行域，作出约
7、束条件所表示的可行域，如右图所示如右图所示如右图所示如右图所示目标函数为目标函数为目标函数为目标函数为z=2x+3yz=2x+3y令令令令Z=0Z=0Z=0Z=0如图如图如图如图, , , ,作直线作直线作直线作直线当直线当直线当直线当直线平移经过可行域时平移经过可行域时平移经过可行域时平移经过可行域时, , , ,在点在点在点在点M M M M处可使处可使处可使处可使z z达到达到达到达到最大值。最大值。最大值。最大值。解方程组解方程组解方程组解方程组 (1)(1) , , , ,得点得点得点得点M(4,2),M(4,2),当每天安排生产当每天安排生产当每天安排生产当每天安排生产4 4 4
8、4件甲产品件甲产品件甲产品件甲产品, , , ,2 2件乙产品时件乙产品时件乙产品时件乙产品时, , , ,工厂获利最大为工厂获利最大为工厂获利最大为工厂获利最大为14141414万元万元万元万元. . . .解决实际应用问题的一般步骤：1、理清题意，合理假设、理清题意，合理假设x、y，并列出表格，并列出表格2、列出线性约束条件（不等式组）与、列出线性约束条件（不等式组）与 线性目标函数线性目标函数3、画图、平移、找最优解、求值、画图、平移、找最优解、求值4、作答、作答1.1.1.1.营养学家指出营养学家指出, ,成人良好的日常饮食应成人良好的日常饮食应该至少提供该至少提供0.075kg0.0
9、75kg的碳水化合物的碳水化合物, ,0.06kg0.06kg的蛋白质的蛋白质, ,0.06kg0.06kg的脂肪的脂肪. .1kg1kg食物食物A A含有含有0.105kg0.105kg碳水化合物碳水化合物, ,0.07kg0.07kg蛋质蛋质, ,0.14kg0.14kg脂肪脂肪, ,花费花费2828元元; ;而而1kg1kg食物食物B B含有含有0.105kg0.105kg碳水化合物碳水化合物, ,0.14kg0.14kg蛋白质蛋白质, ,0.07kg0.07kg脂肪脂肪, ,花费花费2121元元. .为了满足营养专家指出的日常为了满足营养专家指出的日常饮食要求饮食要求, ,同时使花费最
10、低同时使花费最低, ,需要同时食用需要同时食用食物食物A A和食物和食物B B多少多少kgkg？ 练习：练习：解：设每天食用解：设每天食用解：设每天食用解：设每天食用xkgxkg食物食物食物食物A A, , ykgykg食物食物食物食物B B, ,总花费为总花费为总花费为总花费为z z元元元元, , , ,则目标函数为则目标函数为则目标函数为则目标函数为z=28x+21yz=28x+21y且且且且x x、y y满足约束条件满足约束条件满足约束条件满足约束条件 , , , ,整理为整理为整理为整理为 作出约束条件所表示的可行域，作出约束条件所表示的可行域，作出约束条件所表示的可行域，作出约束条件
11、所表示的可行域，如右图所示如右图所示如右图所示如右图所示令令令令Z=0Z=0Z=0Z=0得直线得直线得直线得直线 平移经过可行域时，在平移经过可行域时，在平移经过可行域时，在平移经过可行域时，在 点点点点MM处达到处达到处达到处达到最小值最小值最小值最小值. . . .解方程组解方程组解方程组解方程组 ，得点得点得点得点MM的坐标为的坐标为的坐标为的坐标为， 每天需要同时食用食物每天需要同时食用食物每天需要同时食用食物每天需要同时食用食物A A约约约约0.143 kg0.143 kg，食物食物食物食物B B约约约约0.571 kg0.571 kg，能够满足日常饮食要求，能够满足日常饮食要求，能
12、够满足日常饮食要求，能够满足日常饮食要求，且花费最低且花费最低且花费最低且花费最低1616元元元元. . . .练习：上节课例题练习：上节课例题3和例题和例题4（注意整点问题注意整点问题）四、课堂小结四、课堂小结简单线性规划问题就是求线性目标函数在简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题出，其求解的格式与步是以什么实际问题出，其求解的格式与步骤是不变的：骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，）寻找线性约束条件，（2）由二元一次不等式表示的平面区域）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；做出可行域；（3）在可行
13、域内求目标函数的最优解）在可行域内求目标函数的最优解 用用用用图解法图解法图解法图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：解决简单的线性规划问题的基本步骤：解决简单的线性规划问题的基本步骤：解决简单的线性规划问题的基本步骤： 1 1 1 1、首先，要根据线性约束条件画出可行域、首先，要根据线性约束条件画出可行域、首先，要根据线性约束条件画出可行域、首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）（即画出不等式组所表示的公共区域）（即画出不等式组所表示的公共区域）（即画出不等式组所表示的公共区域） 2 2 2 2、设、设、设、设t t t t=0=0=0=0，画出直线，画出直线，画出直线，画出直线l l l l0 0 0 0 3 3 3 3、观察、分析，平移直线、观察、分析，平移直线、观察、分析，平移直线、观察、分析，平移直线l l l l0 0 0 0，从而找到最优解，从而找到最优解，从而找到最优解，从而找到最优解4.4.4.4.最后求得目标函数的最大值及最小值最后求得目标函数的最大值及最小值最后求得目标函数的最大值及最小值最后求得目标函数的最大值及最小值【作业作业】五五五五. .课后作业课后作业课后作业课后作业习题习题3.3 A组组3,4
