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1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束1 11/ /282828四、小结四、小结四、小结四、小结 思考题思考题思考题思考题一、偏导数一、偏导数一、偏导数一、偏导数三、高阶偏导数三、高阶偏导数三、高阶偏导数三、高阶偏导数二、全微分二、全微分二、全微分二、全微分二、全微分二、全微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2 22/ /282828一、偏导数一、偏导数1.【偏导数的定义】【偏导数的定义】(1)【二元函数在一点处的偏导数】【二元函数在一点处的偏导数】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束3 33/ /282828(2)【二元函数
2、在区域内的偏导数】【二元函数在区域内的偏导数】注意求偏导的方法！注意求偏导的方法！机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束4 44/ /282828偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如u = f (x , y , z) u = f (x , y , z) 在在(x , y , z) (x , y , z) 处处 (3)【多元函数的偏导数】【多元函数的偏导数】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束5 55/ /282828例1 . 求解法解法1 1解法解法2 2在点(1 , 2) 处的偏导数.先求后代先求后代先代后求再代先
3、代后求再代机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束6 66/ /282828【解】【解】不存在不存在机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束7 77/ /282828例例7.9 例例7.10 例例7.11机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束8 88/ /2828282.【有关偏导数的几点说明】【有关偏导数的几点说明】(1)(2)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解解例如例如机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束9 99/ /282828一元函数中在某点可导一元函数中在某点
4、可导 延续，延续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 延续，延续，(3). 【偏导数存在与连续的关系】【偏导数存在与连续的关系】【解】【解】【例【例7.127.12】按定义可知：按定义可知：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束101010/ /282828但函数在原点处并不连续但函数在原点处并不连续( (令令y=kx,y=kx,知极限不存在知极限不存在, ,故不连续故不连续).).偏导数存在偏导数存在【思考题】延续【思考题】延续 偏导数存在偏导数存在. . 【结论】【结论】 可偏导可偏导延续延续延续延续. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返
5、回 结束结束111111/ /282828(4). 【偏导数的几何意义】【偏导数的几何意义】如图如图(复习复习:反函数求导法则的几何意义反函数求导法则的几何意义)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束121212/ /282828【几何意义】【几何意义】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束131313/ /282828复习复习一元函数在可微微分即二、全微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束141414/ /282828由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得2. 【全增量的概念】【全增量的概念】1
6、. 【偏增量与偏微分】【偏增量与偏微分】二元函数二元函数对对x x和对和对y y的偏增量的偏增量二元函数二元函数对对x x和对和对y y的偏微分的偏微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束151515/ /2828283.【全微分定义】【全微分定义】即即【定义】【定义】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束161616/ /282828函数可微的充分条件与必要条件函数可微的充分条件与必要条件1. 【可微的必要条件】【可微的必要条件】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束171717/ /282828事实上事实上可微可微延续延续【定理
7、【定理7.2】即：即：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束181818/ /282828可导与可微的关系可导与可微的关系: : 一元函数：在某点的导数存在一元函数：在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数：各偏导数存在多元函数：各偏导数存在 全微分存在全微分存在【结论】多元函数的各偏导数存在并不能保证全微【结论】多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。故偏导数存在是可微分的必要条件而不是分存在。故偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件。充分条件。即即 可微可微 可偏导可偏导【警惕】若偏导数存在，虽能从形式上写出【警惕】若偏导数存在，虽能从形式上写出但它不一定是函
8、数的全微分但它不一定是函数的全微分. 但如果再假定多元函数的各个偏导数连续，则但如果再假定多元函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的。即有下面的定理。可以证明函数是可微分的。即有下面的定理。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束191919/ /282828(1)习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为(3)全微分的定义或叠加原理可推广到三元及三全微分的定义或叠加原理可推广到三元及三元以上函数元以上函数(2)全微分符合叠加原理即：全微分全微分符合叠加原理即：全微分=各偏微分之和各偏微分之和【注】【注】2.【可微的充分条件】【可微的充分条件】机动机动 目录目录 上页上页
9、下页下页 返回返回 结束结束202020/ /2828283. 【充要条件】【充要条件】 （即是定义）（即是定义）【留意】用全微分定义验证一个可导函数的可微性只需【留意】用全微分定义验证一个可导函数的可微性只需验证验证例例7.14偏微分在近似计算中的应用。偏微分在近似计算中的应用。例例7.15机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束212121/ /282828多元函数的极限存在、延续、可偏导、可微、多元函数的极限存在、延续、可偏导、可微、偏导数连续之间的关系偏导数连续之间的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导极限存在极限存在机动机动 目录
10、目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束222222/ /282828三、高阶偏导数三、高阶偏导数设设 z = f (x , y)在域在域 D 内存在偏导数内存在偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数的二阶偏导数 . 按求导顺序不同按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏有下列四个二阶偏导导数:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束232323/ /282828【定义式】【定义式】其余类推其余类推(2) 同样可得：三阶、四阶、同样可得：三阶、四阶、以及、以及n 阶偏导数。阶偏导数。(3)
11、 定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。【解】【解】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束242424/ /282828例例7.17机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束252525/ /282828阐明阐明:函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,而初等证明 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？(2)【问题】【问题】即混合偏导数与求导次序无关即混合偏导数与求导次序无关. .即：二阶混合偏导数在连
12、续的条件下与求导的先后顺序无关。例例7.18机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束262626/ /282828偏导数的定义：偏导数的定义：偏导数的计算偏导数的计算高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）四、小结四、小结可偏导与连续的关系：可偏导与连续的关系： 可偏导可偏导延续延续机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束272727/ /282828多元函数全微分的概念；多元函数全微分的概念；多元函数全微分的求法；多元函数全微分的求法；多元函数极限、延续、可导、可微的关系多元函数极限、延续、可导、可微的关系（留意：与一元函数有很大区别）（留意：与一元函数有很大区别）可微的条件可微的条件必要条件定理必要条件定理2 2）充分条件定理充分条件定理3 3）充要条件定义）充要条件定义）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束282828/ /282828【思考题】【思考题】
