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1、目录 上页 下页 返回 结束 二、微分运算法则二、微分运算法则三、高阶微分三、高阶微分第三节一、微分的概念一、微分的概念 函数的微分 第二章 四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用目录 上页 下页 返回 结束 一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 那么面积的增量为关于x 的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在 的微分当 x 在取得增量时,变到边长由其目录 上页 下页 返回 结束 的微分,定义定义: 若函数若函数在点 的增量可表示为( A 为不依赖
2、于x 的常数)则称函数而 称为记作即定理定理: 函数函数在点 可微的充要条件是即在点可微可微,目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 : 函数函数证证: “必要性必要性” 知在点 可微 ,那么故在点 可导, 且在点 可微的充要条件是在点 处可导,且即目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 : 函数函数在点 可微的充要条件是在点 处可导,且即“充分性充分性”知即在点 的可导,那么目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:时 ,所以时很小时, 有近似公式与是等价无穷小,当故当目录 上页 下页 返回 结束 微分的几何意义当 很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分, 记作
3、记目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,又如又如,目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 微分运算法则微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 那么(C 为常数)分别可微 ,的微分为微分形式不变微分形式不变5. 复合函数的微分则复合函数目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求 解解:目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设设求 解解: 利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性 , 有有例例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意 目录 上页 下
4、页 返回 结束 设函数 三、三、 高阶微分高阶微分可导， 则它的微分 仍是 的函数 . 因而，若该函数二阶可导，则可再求 微分 ，得此式称为函数 的二阶微分，记作： 同理可得 阶微分的定义. 目录 上页 下页 返回 结束 四、四、 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则使用原则:得近似等式:目录 上页 下页 返回 结束 特别当很小时,常用近似公式常用近似公式:很小)证明证明: 令得目录 上页 下页 返回 结束 的近似值 .解解: 设设取那么例例4. 求求目录 上页 下页 返回 结束 的近似值 .解解:例例5. 计算计算目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 有一批半径为有一批半径为1cm 的球的球 , 为了提高球面的光洁度,解解: 已知球体体积为已知球体体积为镀铜体积为 V 在时体积的增量因此每只球需用铜约为( g )用铜多少克 . 估计一下, 每只球需要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm , 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P123 思考1 ; 3 (1) , (3) , (5) , (7) ; 4 (1), (3), (5), (7) ; 5 (1), (3); 习题课
