青岛版初中数学知识点总结

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1、考点一实数的有关概念考点一实数的有关概念1 1数轴数轴规定了规定了_、 _ _ 、 _ _的直线，叫做数轴的直线，叫做数轴 _和数轴上的点是一一对应的和数轴上的点是一一对应的2 2相反数相反数(1)(1)实数实数a a的相反数为的相反数为_ _ ；(2)(2)a a与与b b互为相反数互为相反数 _ _ ；(3)(3)相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离两侧，且到原点的距离_这两个点关于这两个点关于_对称对称3 3倒数倒数原点原点正方向正方向单位长度单位长度实数实数aab0相等相等原点原点(1)(1

2、)实数实数a a的倒数是的倒数是_，其中，其中a a_0_0；(2)(2)a a和和b b互为倒数互为倒数_._.4 4绝对值绝对值在数轴上表示一个数的点离开在数轴上表示一个数的点离开_的距离叫做这个数的绝对值即的距离叫做这个数的绝对值即一个正数的绝对值是它一个正数的绝对值是它_，0 0的绝对值是的绝对值是 ，负数的绝对值是它的，负数的绝对值是它的_._.ab1原点原点本身本身相反数相反数0温馨提示：温馨提示：(1)绝对值是绝对值是a(a0)的数有两个，它们互为相反数，即为的数有两个，它们互为相反数，即为a.(2)绝对值相等的两个数相等或互为相反数绝对值相等的两个数相等或互为相反数.即：若即：

3、若|a|=|b|,则则a=b或或a+b=0.(3)任意实数的绝对值都是非负数，即任意实数的绝对值都是非负数，即|a|0.(4)去掉绝对值符号进行化简运算时，关键是判断绝对值符号里面的去掉绝对值符号进行化简运算时，关键是判断绝对值符号里面的代数式的正负代数式的正负.考点二考点二 实数的分类实数的分类1 1按定义分类按定义分类2 2按正负分类按正负分类考点三考点三 平方根、算术平方根、立方根平方根、算术平方根、立方根温馨提示温馨提示: :在应用在应用x x2 2=a=a时，一定不要忘记时，一定不要忘记a0a0这一条件这一条件. .注意算术平方根与平方注意算术平方根与平方根的区别与联系根的区别与联系

4、. .如如1 1的平方根是的平方根是1 1，而，而1 1的算术平方根是的算术平方根是1.1.平方根平方根正的平方根正的平方根互为相反数互为相反数考点四考点四 科学记数法、近似数与有效数字科学记数法、近似数与有效数字把一个数把一个数N N表示成表示成a a1010n n(1|(1|a a| |1010，n n是整数是整数) )的形式叫科学记数法的形式叫科学记数法当当| |N N|1|1时，时，n n等于原数等于原数N N的整数位数减的整数位数减1 1；当；当| |N N| |1 1且且N N00时，时，n n是一个是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数负整数，它的绝对值等

5、于原数中左起第一个非零数字前零的个数( (含整数含整数位上的零位上的零) )2 2近似数与有效数字近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第时从左边第 个非零数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个非零数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字个近似数的有效数字 一考点一考点一 实数的运算实数的运算在实数范围内运算顺序是：先算在实数范围内运算顺序是：先算_，再算，再算_，最后，最后算算_，有括号的先算括号内的，有括号的先算括号内的. .同一级运算，从左到右依次进行计算同

6、一级运算，从左到右依次进行计算. .考考点二点二 零指数、负整数指数幂零指数、负整数指数幂考点三考点三 实数大小比较实数大小比较1.1.在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数数_;_;两个负数比较，绝对值大的反而两个负数比较，绝对值大的反而_._.2.2.设设a a、b b是任意两个数，若是任意两个数，若a-ba-b0 0，则，则a_ba_b；若；若a-b=0a-b=0，则，则a_ba_b；若若a-ba-b0 0，则，则a_ba_b. .乘方（或开方）乘方（或开方）乘除乘除加减加减1大大小小=温馨提示温馨提示1.1

7、.注意零指数、负整数指数幂的意义，遇到绝对值一般要先去掉绝对注意零指数、负整数指数幂的意义，遇到绝对值一般要先去掉绝对值符号再进行计算值符号再进行计算. .2.2.三个重要的非负数三个重要的非负数a a（a0a0）、）、|a|a|、a a2 2. .=考点一考点一 整式的有关概念整式的有关概念1 1单项式和多项式统称整式单项式是指用乘号把数和字母连接而单项式和多项式统称整式单项式是指用乘号把数和字母连接而成的式子，而多项式是指几个单项式的成的式子，而多项式是指几个单项式的_. .2 2单项式中的数字因数叫做单项式的单项式中的数字因数叫做单项式的 ；单项式中所有字母的；单项式中所有字母的_叫做单

8、项式的次数叫做单项式的次数3 3多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数做常数项；多项式中次数 的次数就是这个多项式的次数的次数就是这个多项式的次数和和系数系数指数和指数和最高项最高项考点二考点二 整式的运算整式的运算1.1.整式的加减整式的加减（1 1）同类项与合并同类项）同类项与合并同类项所含的所含的_相同，并且相同，并且_也分别相同的单项式叫做也分别相同的单项式叫做同类项同类项. .把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系

9、数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的_不变不变. .（2 2）去括号与添括号）去括号与添括号括号前是括号前是“+ +”号，去掉括号和它前面的号，去掉括号和它前面的“+ +”号，括号里的各项都号，括号里的各项都不改变符号；括号前是不改变符号；括号前是“- -”号，去掉括号和它前面的号，去掉括号和它前面的“- -”号，括号里的号，括号里的各项各项_._.字母字母相同字母的指数相同字母的指数指数指数都改变符号都改变符号括号前是括号前是“+ +”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前是号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前是“- -”号

10、，括到括号里的各项都改变符号号，括到括号里的各项都改变符号. .（3 3）整式加减的实质是合并同类项）整式加减的实质是合并同类项. .温馨提示：温馨提示：在进行整式加减运算时在进行整式加减运算时, ,如果遇到括号，应根据去括号法则，先去括如果遇到括号，应根据去括号法则，先去括号，再合并同类项号，再合并同类项. .当括号前是负号，去括号时，括号内每一项当括号前是负号，去括号时，括号内每一项_._.2.2.幂的运算幂的运算同底数幂相乘同底数幂相乘, ,底数不变底数不变, ,指数相加指数相加, ,即即a am ma an n=_=_（m m、n n都是整数）都是整数）幂的乘方幂的乘方, ,底数不变底

11、数不变, ,指数相乘指数相乘, ,即（即（a am m）n n=_=_（m m、n n都是整数）都是整数）. .积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂相乘，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂相乘，am+namn都要变号都要变号即（即（abab）n n= =a an nb bn n（n n为整数）为整数）. .同底数幂相除，底数不变，指数相减，即同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a am ma an n=_=_（a0a0，m m、n n都为都为整数）整数）. .3.3.整式的乘法整式的乘法单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在单项式与单

12、项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. .单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即把所得的积相加，即m m（a+b+ca+b+c）=_.=_.多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（再把所得的积相加，即（m+nm+n）（）（a+ba+b）= =ma+mb+n

13、a+nbma+mb+na+nb. .am-nma+mb+mc4.4.整式的除法整式的除法单项式除以单项式，把单项式除以单项式，把_分别相除，作为商的因式，分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. .多项式除以单项式，把这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把多项式除以单项式，把这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加所得的商相加. .5.5.乘法公式乘法公式（1 1）平方差公式）平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个

14、数的平方差，即（a+ba+b）（）（a-ba-b）=_.=_.（2 2）完全平方公式）完全平方公式系数、同底数幂系数、同底数幂a2-b2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的的2 2倍，即（倍，即（a ab b）2 2=_.=_.考点三考点三 因式分解因式分解1.1.因式分解的定义及与整式乘法的关系因式分解的定义及与整式乘法的关系(1)_,(1)_,这种运算就是因式分解这种运算就是因式分解. .(2)(2)因式分解与整式乘法是互逆运算因式分解与整式乘法是互逆运算2 2因式分解的常用方法因式分解的常用方法(1)(

15、1)提公因式法提公因式法如果一个多项式的各项都含有一个相同的因式，那么这个相同的因式，如果一个多项式的各项都含有一个相同的因式，那么这个相同的因式，就叫做公因式就叫做公因式a2ab+b2把一个多项式化为几个整式的积的形式把一个多项式化为几个整式的积的形式提公因式法用公式可表示为提公因式法用公式可表示为ma+mbma+mb+ +mcmc= =_,_,其分解步骤为：其分解步骤为：确定多项式的公因式：公因式为各项系数的最大公约数与相同字母确定多项式的公因式：公因式为各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积的最低次幂的乘积将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式将多项式除以它的公因式从而

16、得到多项式的另一个因式(2)(2)运用公式法运用公式法将乘法公式反过来对某些多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法，将乘法公式反过来对某些多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法，即即a a2 2b b2 2_，a a2 22 2ababb b2 2_._.温馨提示：温馨提示：在运用公式法分解因式时，公式中的字母，可以是一个数，也可以是在运用公式法分解因式时，公式中的字母，可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式一个单项式，还可以是一个多项式. .m(am(ab bc)c)(ab)(ab)(ab)23 3因式分解的一般步骤因式分解的一般步骤(1)(1)一提：如果多项式的各项有公因式，

17、那么先提公因式；一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；(2)(2)二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法来分解；二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法来分解；(3)(3)三查：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止三查：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止考点一考点一 分式分式形如形如 （A A、B B是整式，且是整式，且B B中含有字母，中含有字母，B_B_）的式子叫做分式）的式子叫做分式. .（1 1）分式有无意义：）分式有无意义：B=0B=0时，分式无意义；时，分式无意义；B0B0时，分式有意义时，分式有意义. .（2 2）分式值为）分

18、式值为0 0：A=0A=0且且B0B0时，分式的值为时，分式的值为0.0.考点二考点二 分式的基本性质分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个_的整式，分式的整式，分式的值不变的值不变. .0不等于零不等于零(2)(2)通分的关键是确定通分的关键是确定n n个分式的个分式的_._.确定最简公分母的一确定最简公分母的一般步骤是：当分母是多项式时，先般步骤是：当分母是多项式时，先_，再取系数的最小公倍数，再取系数的最小公倍数，所有不同字母（因式）的所有不同字母（因式）的_的积为最简公分母的积为最简公分母. .(3)(3)约分的关键是确定分式的分子与

19、分母中的约分的关键是确定分式的分子与分母中的_._.确定最大确定最大公因式的一般步骤是：当分子、分母是多项式时，先公因式的一般步骤是：当分子、分母是多项式时，先_，取系数，取系数的的_，相同字母（因式）的，相同字母（因式）的_的积为最大公因式的积为最大公因式. .温馨提示：温馨提示：1.1.若原分式的分子（或分母）是多项式，运用分式基本性质时，要先若原分式的分子（或分母）是多项式，运用分式基本性质时，要先把分式的分子（或分母）用括号括上，再乘以（或除以）整式把分式的分子（或分母）用括号括上，再乘以（或除以）整式. .2.2.应用分式基本性质时，要深刻理解应用分式基本性质时，要深刻理解“都都”与

20、与“同同”这两个字的含义，这两个字的含义，避免犯只乘分子或分母一项的错误避免犯只乘分子或分母一项的错误. .最简公分母最简公分母最高次幂最高次幂最大公因式最大公因式最低次幂最低次幂因式分解因式分解最大公因式最大公因式因式分解因式分解考点三考点三 分式的运算分式的运算4分式的混合运算分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，进行约分化简后，最在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，进行约分化简后，最后进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的运算结果必须是后进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的运算结果必须是_分式或整式分式或整式考点四考点四 分式求值分式求值分式的求值方法很

21、多，主要有三种：分式的求值方法很多，主要有三种：(1)(1)先化简，后求值；（先化简，后求值；（2 2）由值）由值的形式直接转化成所求的代数式的值；（的形式直接转化成所求的代数式的值；（3 3）式中字母表示的数未明确告）式中字母表示的数未明确告知，而是隐含在方程等题设条件中知，而是隐含在方程等题设条件中. .解这类题，一方面从方程中求出未知解这类题，一方面从方程中求出未知数或未知代数式的值；另一方面把所求代数式化简数或未知代数式的值；另一方面把所求代数式化简. .只有双管齐下，才能只有双管齐下，才能获得简易的解法获得简易的解法. .最简最简考点一考点一 二次根式二次根式考点二考点二 最简二次根

22、式最简二次根式最简二次根式必须同时满足条件：最简二次根式必须同时满足条件：（1 1）被开方数的因数是）被开方数的因数是_，因式是整式；，因式是整式；（2 2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式. .0正整数正整数考点三考点三 同类二次根式同类二次根式几个二次根式化成几个二次根式化成_后，如果后，如果_相同，这几个二相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式次根式就叫做同类二次根式. .温馨提示：温馨提示：判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先化成最简二次根式后判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先化成最简二次根式后再判断，否则很容易出错再判断，否则很

23、容易出错. .考点四考点四 二次根式的性质二次根式的性质最简二次根式最简二次根式被开方数被开方数非负非负a考点五考点五 二次根式的运算二次根式的运算1 1二次根式的加减法二次根式的加减法先将各根式化为先将各根式化为_，然后合并同类二次根式，然后合并同类二次根式0最简二次根式最简二次根式最简二次根式最简二次根式0考点一考点一 等式及方程的有关概念等式及方程的有关概念1.1.等式及其性质等式及其性质用等号用等号“= =”来表示相等关系的式子，叫做等式来表示相等关系的式子，叫做等式. .等式的性质：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所等式的性质：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整

24、式，所得结果仍是等式；等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为得结果仍是等式；等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0 0），），所得结果仍是等式所得结果仍是等式. .温馨提示：温馨提示：在等式两边都除以同一个代数式时，一定要保证这个代数式的值在等式两边都除以同一个代数式时，一定要保证这个代数式的值_._.不为零不为零2.2.方程的有关概念方程的有关概念（1 1）含有未知数的）含有未知数的_，叫做方程，叫做方程. .（2 2）使方程左、右两边的）使方程左、右两边的_相等的未知数的值，叫做方程的解相等的未知数的值，叫做方程的解（只含有一个未知数的方程的解，也叫做根）（只含有一个未知数的

25、方程的解，也叫做根）. .（3 3）求方程解的过程，叫做解方程）求方程解的过程，叫做解方程. .（4 4）方程的两边都是关于未知数的）方程的两边都是关于未知数的_，这样的方程叫做整式方，这样的方程叫做整式方程程. .等式等式值值整式整式考点二一元一次方程考点二一元一次方程1 1一元一次方程一元一次方程在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1 1，系数不，系数不等于等于0 0的方程，叫做一元一次方程一元一次方程的标准形式是的方程，叫做一元一次方程一元一次方程的标准形式是_2 2解一元一次方程的一般步骤解一元一次方程的一般步骤(1)(1

26、)去分母；去分母；(2)(2)去括号；去括号；(3)(3)移项；移项；(4)(4)合并同类项；合并同类项；(5)(5)系数化为系数化为1.1.考点三考点三 二元一次方程组及解法二元一次方程组及解法1.1.二元一次方程组二元一次方程组（1 1）二元一次方程的一般形式：）二元一次方程的一般形式：ax+by+cax+by+c=0(a0,b0).=0(a0,b0).axb0(a0)（2 2）几个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，叫做二元一次）几个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，叫做二元一次方程组方程组. .2.2.解二元一次方程组的基本思路：消元解二元一次方程组的基本思路：消元. .3.3.

27、二元一次方程组的解法：（二元一次方程组的解法：（1 1）代入消元法；（）代入消元法；（2 2）加减消元法；）加减消元法；（3 3）图象法）图象法. .解方程组其实就是把方程组转化为方程解方程组其实就是把方程组转化为方程. .解二元一次方程组就是通过解二元一次方程组就是通过消元，把它转化为一元一次方程求解消元，把它转化为一元一次方程求解. .温馨提示：温馨提示：解方程组其实就是把方程组转化为方程解方程组其实就是把方程组转化为方程. .解二元一次方程组就是通过解二元一次方程组就是通过消元，把它转化为一元一次方程求解消元，把它转化为一元一次方程求解. .考点四列方程（组）解应用题考点四列方程（组）解

28、应用题1.1.列方程（组）解应用题的一般步骤列方程（组）解应用题的一般步骤（1 1）把握题意，搞清楚条件是什么，求什么；）把握题意，搞清楚条件是什么，求什么；（2 2）设未知数）设未知数; ;（3 3）找出能够包含未知数的等量关系（一般情况下设几个未知数，）找出能够包含未知数的等量关系（一般情况下设几个未知数，就找几个等量关系）；就找几个等量关系）；（4 4）列出方程（组）；）列出方程（组）；（5 5）求出方程（组）的解（注意排除增根）；）求出方程（组）的解（注意排除增根）；（6 6）检验（看是否符合题意）；）检验（看是否符合题意）；（7 7）写出答案（包括单位名称）写出答案（包括单位名称）.

29、 .2.2.列方程（组）解应用题的关键是：列方程（组）解应用题的关键是： . .确定等量关系确定等量关系考点一考点一 一元二次方程的定义一元二次方程的定义在整式方程中，只含有在整式方程中，只含有_个未知数，并且含未知数项的最高次数个未知数，并且含未知数项的最高次数是是_，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是_. .考点二考点二 一元二次方程的常用解法一元二次方程的常用解法一一2ax2bxc0(a0)考点一考点一 分式方程及解法分式方程及解法1 1分式方程分式方程分母里含有分母里含有_的方程，叫做分式方程的方程，叫做分式方

30、程2 2解分式方程的基本思想解分式方程的基本思想把分式方程转化为整式方程，即把分式方程转化为整式方程，即分式方程分式方程_整式方程整式方程(1)(1)去分母，转化为整式方程；去分母，转化为整式方程；(2)(2)解整式方程，得根；解整式方程，得根；(3)(3)验根验根4 4增根增根在方程变形时在方程变形时, ,使原分式方程的分母为零的根使原分式方程的分母为零的根, ,称为原方程的增根称为原方程的增根. .解解分式方程时，有可能产生增根，因此解分式方程要验根分式方程时，有可能产生增根，因此解分式方程要验根( (其方法是代入最简其方法是代入最简公分母中，使最简公分母为公分母中，使最简公分母为0 0的

31、是增根，否则不是的是增根，否则不是) )未知数未知数考点二考点二 与增根有关的问题与增根有关的问题1 1分式方程的增根必须同时满足两个条件分式方程的增根必须同时满足两个条件(1)_(1)_；(2)_.(2)_.2 2增根在含参数的分式方程中的应用增根在含参数的分式方程中的应用由增根求参数的值解答思路为：由增根求参数的值解答思路为：(1)(1)将原方程化为整式方程；将原方程化为整式方程；(2)(2)确确定增根；定增根；(3)(3)将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值是由分式方程化成的整式方程的根是由分式方程化成的整式方程的根使最简公分母为零使最简公分母

32、为零考点三考点三 列分式方程解应用题列分式方程解应用题1.1.列分式方程解应用题和其他列方程解应用题一样列分式方程解应用题和其他列方程解应用题一样, ,不同之处是列出不同之处是列出的方程是分式方程的方程是分式方程. .求出分式方程解后，一定要记住对所列方程和实际问题求出分式方程解后，一定要记住对所列方程和实际问题验根验根，不要缺，不要缺少了这一步少了这一步. .2.2.应用问题中常用的数量关系及题型应用问题中常用的数量关系及题型（1 1）数字问题）数字问题. .（包括日历中的数字规律）（包括日历中的数字规律）设个位数字为设个位数字为c c，十位数字为，十位数字为b b，百位数字为，百位数字为a

33、 a，则这个三位数是，则这个三位数是_；日历中前后两日差日历中前后两日差_，上下两日差，上下两日差_._.100a+10b+c17（2 2）体积变化问题）体积变化问题. .（3 3）打折销售问题）打折销售问题. .利润利润=_-=_-成本；成本；利润率利润率=_=_100%.100%.（4 4）行程问题）行程问题. .路程路程=_=_._.若用若用v v表示轮船的速度，用表示轮船的速度，用v v顺、顺、v v逆、逆、v v水分别表示轮船顺水、逆水分别表示轮船顺水、逆水和水流的速度，在下列式子中填空水和水流的速度，在下列式子中填空. .v v顺顺v v v v逆逆v v_v v_ _ v v水水

34、_售价售价速度速度时间时间v水水v水水在轮船航行问题中，知在轮船航行问题中，知v v顺顺、v v逆逆、v v、v v水水中的任何两个量，总能求出其中的任何两个量，总能求出其他的量他的量(5)(5)教育储蓄问题教育储蓄问题利息利息_；本息和本息和_本金本金(1(1利率利率期数期数) )；利息税利息税_；贷款利息贷款数额贷款利息贷款数额利率利率期数期数本金本金利率利率期数期数本金利息本金利息利息利息利息税率利息税率考点一考点一 不等式的基本概念不等式的基本概念1 1不等式用不等式用_连接起来的式子，叫做不等式连接起来的式子，叫做不等式2 2不等式的解使不等式成立的不等式的解使不等式成立的_值，叫做

35、不等式的解值，叫做不等式的解3 3不等式的解集一个含有未知数的不等式的不等式的解集一个含有未知数的不等式的_叫做不等叫做不等式的解集式的解集4 4一元一次不等式只含有一元一次不等式只含有_个未知数，并且未知数的次数是个未知数，并且未知数的次数是_且且系数不等于系数不等于_的不等式，叫一元一次不等式其一般形式为的不等式，叫一元一次不等式其一般形式为_或或 _ _ _. .5 5解不等式求不等式解不等式求不等式 的过程或证明不等式的过程或证明不等式 的过的过程，叫做解不等式程，叫做解不等式不等号不等号未知数的未知数的解的全体解的全体axb0axb0(a0)解集解集无解无解一一0 0一一考点二考点二

36、 不等式的基本性质不等式的基本性质温馨提示：温馨提示：一定要注意应用不等式的基本性质一定要注意应用不等式的基本性质3时，要改变不等号的方向时，要改变不等号的方向.整式整式不变不变正数正数负数负数改变改变数数不变不变考点三考点三 一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法解一元一次不等式的基本步骤：去分母，去解一元一次不等式的基本步骤：去分母，去_，_，合并，合并_，系数化为，系数化为1.1.温馨提示：温馨提示：用数轴表示不等式的解集时，注意实心点和空心圆圈的意义用数轴表示不等式的解集时，注意实心点和空心圆圈的意义. .考点四考点四 一元一次不等式的应用一元一次不等式的应用列不等式解应用题的一般步

37、骤：列不等式解应用题的一般步骤：（1 1）审题；（）审题；（2 2）设未知数；（）设未知数；（3 3）确定包含未知数的不等量关系；）确定包含未知数的不等量关系；（4 4）列出不等式；（）列出不等式；（5 5）求出不等式的解集；（）求出不等式的解集；（6 6）检验不等式的解是否）检验不等式的解是否符合题意；（符合题意；（7 7）写出答案）写出答案. .括号括号移项移项同类项同类项考点一考点一 一元一次不等式组的有关概念一元一次不等式组的有关概念1.1.定义类似于方程组，把几个含有相同未知数的定义类似于方程组，把几个含有相同未知数的_合合起来，就组成了一个一元一次不等式组起来，就组成了一个一元一次

38、不等式组. .2.2.解集几个不等式的解集的解集几个不等式的解集的_叫做由它们所组成的不等式组的叫做由它们所组成的不等式组的解集解集. .考点二考点二 一元一次不等式组的解法一元一次不等式组的解法1 1解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的_，再求，再求出它们的出它们的_( (一般方法是在数轴上把每个不等式的解集表示出来，一般方法是在数轴上把每个不等式的解集表示出来，由图形得出公共部分由图形得出公共部分) )，就得到不等式组的，就得到不等式组的_._.一元一次不等式一元一次不等式公共部分公共部分公共部分公共部分解集解集解集解集2 2两个一元

39、一次不等式所组成的不等式组的解集情况见下表两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集情况见下表( (其中其中a ab b) )：x xa ax xb ba ax xb b无解无解温馨提示温馨提示当不等式组中含有当不等式组中含有“”或或“”时，不等式组的解法和解集取法不时，不等式组的解法和解集取法不变，只是表示在数轴上需要注意区分实心点和空心圆圈的使用变，只是表示在数轴上需要注意区分实心点和空心圆圈的使用. .考点三考点三 一元一次不等式组的特殊解一元一次不等式组的特殊解一元一次不等式组的特殊解主要是指整数解、非负整数解、负整数解一元一次不等式组的特殊解主要是指整数解、非负整数解、负整数解等等.

40、.不等式组的特殊解，包含在它的解集中不等式组的特殊解，包含在它的解集中. .因此，解决此类问题的关键因此，解决此类问题的关键是先求出不等式组的解集，然后求其特殊解是先求出不等式组的解集，然后求其特殊解. .考点四考点四 一元一次不等式组的应用一元一次不等式组的应用利用列不等式组解决问题的方法步骤与列一元一次方程组解应用题的利用列不等式组解决问题的方法步骤与列一元一次方程组解应用题的步骤类似，不同的是后者寻求的是等量关系，列出的是等式，前者寻求的步骤类似，不同的是后者寻求的是等量关系，列出的是等式，前者寻求的是不等量关系，列出的是不等式，解不等式组所得的结果通常为解集，根是不等量关系，列出的是不

41、等式，解不等式组所得的结果通常为解集，根据题意需从解集中找出符合条件的答案据题意需从解集中找出符合条件的答案. .在列不等式时，在列不等式时，“不超过不超过”“”“不多于不多于”等用等用“”连接，连接，“至少至少”“”“不少于不少于”等用等用“”连接连接. .考点一考点一 平面内点的坐标平面内点的坐标1 1有序数对有序数对(1)(1)平面内的点可以用一对平面内的点可以用一对 来表示例如点来表示例如点A A在平面内可表在平面内可表示为示为A A( (a a，b b) )，其中，其中a a表示点表示点A A的横坐标，的横坐标，b b表示点表示点A A的纵坐标的纵坐标(2)(2)平面内的点和有序实数

42、对是平面内的点和有序实数对是 的关系，即平面内的任何的关系，即平面内的任何一个点可以用一对一个点可以用一对 来表示；反过来每一对有序实数都表示平面来表示；反过来每一对有序实数都表示平面内的一个点内的一个点(3)(3)有序实数对表示这一对实数是有有序实数对表示这一对实数是有 的，即的，即(1,2)(1,2)和和(2,1)(2,1)表示表示两个两个 的点的点有序实数有序实数一一对应一一对应有序实数有序实数不同不同顺序顺序2 2平面内点的坐标规律平面内点的坐标规律(1)(1)各象限内点的坐标的特征各象限内点的坐标的特征点点P P( (x x，y y) )在第一象限在第一象限x x0 0，y y0 0

43、；点点P P( (x x，y y) )在第二象限在第二象限x x0 0，y y0 0；点点P P( (x x，y y) )在第三象限在第三象限x x0 0，y y0 0；点点P P( (x x，y y) )在第四象限在第四象限x x0 0，y y0.0.(2)(2)坐标轴上的点的坐标的特征坐标轴上的点的坐标的特征点点P P( (x x，y y) )在在x x轴上轴上y y0 0，x x为任意实数；为任意实数；点点P P( (x x，y y) )在在y y轴上轴上x x0 0，y y为任意实数；为任意实数；点点P P( (x x，y y) )在坐标原点在坐标原点x x0 0，y y0.0.考点二

44、考点二 特殊点的坐标特征特殊点的坐标特征1 1平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)(1)平行于平行于x x轴轴( (或垂直于或垂直于y y轴轴) )的直线上点的的直线上点的 相同，横坐标为相同，横坐标为不相等的实数不相等的实数(2)(2)平行于平行于y y轴轴( (或垂直于或垂直于x x轴轴) )的直线上点的的直线上点的 相同，纵坐标为相同，纵坐标为不相等的实数不相等的实数2 2各象限角平分线上的点的坐标特征各象限角平分线上的点的坐标特征(1)(1)第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标_._.(2)(2)第二、四象限

45、角平分线上的点，横、纵坐标第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标_ _ _. .纵坐标纵坐标横坐标横坐标相等相等互为相反数互为相反数3 3对称点的坐标特征对称点的坐标特征点点P P( (x x，y y) )关于关于x x轴的对称点轴的对称点P P1 1的坐标为的坐标为( (x x，y y) )；关于；关于y y轴的对称点轴的对称点P P2 2的坐标为的坐标为( (x x，y y) )；关于原点的对称点；关于原点的对称点P P3 3的坐标为的坐标为( (x x，y y) )以上特征可归纳为：以上特征可归纳为：(1)(1)关于关于x x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标轴对称的两点，横坐标相同，纵坐

46、标_._.(2)(2)关于关于y y轴对称的两点，横坐标轴对称的两点，横坐标_，纵坐标相同，纵坐标相同(3)(3)关于原点对称的两点，横、纵坐标均关于原点对称的两点，横、纵坐标均_._.互为相反数互为相反数互为相反数互为相反数互为相反数互为相反数考点三考点三 确定物体位置的方位确定物体位置的方位1 1平面内点的位置用平面内点的位置用 来确定来确定2 2方法方法(1)(1)平面直角坐标法平面直角坐标法(2)(2)方向角和距离定位法方向角和距离定位法用方向角和距离确定物体位置，方向角是表示方向的角，距离是物体用方向角和距离确定物体位置，方向角是表示方向的角，距离是物体与观测点的距离用方向角和距离定

47、位法确定平面内点的位置时，要注意与观测点的距离用方向角和距离定位法确定平面内点的位置时，要注意中心点的位置，中心点变化了，则方向角与距离也随之变化中心点的位置，中心点变化了，则方向角与距离也随之变化一对有序实数一对有序实数考点四考点四 函数及其图象函数及其图象1 1函数的概念函数的概念(1)(1)在一个变化过程中，我们称数值在一个变化过程中，我们称数值_的量为变量，有些数的量为变量，有些数值是值是 的，称它们为常量的，称它们为常量(2)(2)一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x x与与y y，并且对于，并且对于x x在在其取值范围内的每一个确定的值

48、，其取值范围内的每一个确定的值，y y都有都有 的值与其对应，那么的值与其对应，那么就说，就说，x x是是 ，y y是是x x的函数的函数(3)(3)用来表示函数关系的数学式子，叫做函数解析式或函数关系式用来表示函数关系的数学式子，叫做函数解析式或函数关系式发生变化发生变化始终不变始终不变唯一确定唯一确定自变量自变量2 2函数的表示法及自变量的取值范围函数的表示法及自变量的取值范围(1)(1)函数有三种表示方法：函数有三种表示方法： ， ， ，这三种，这三种方法有时可以互相转化方法有时可以互相转化(2)(2)当函数解析式表示实际问题或几何问题时，其自变量的取值范围当函数解析式表示实际问题或几何

49、问题时，其自变量的取值范围必须符合必须符合 意义或意义或 意义意义3 3函数的图象对于一个函数，把自变量函数的图象对于一个函数，把自变量x x和函数和函数y y的每对对应值分的每对对应值分别作为点的别作为点的 与与 在平面内描出相应的点，组成这些点的图在平面内描出相应的点，组成这些点的图形叫这个函数的图象形叫这个函数的图象(1)(1)画函数图象，一般按下列步骤进行：列表、描点、连线画函数图象，一般按下列步骤进行：列表、描点、连线(2)(2)图象上任一点的坐标是解析式方程的一个解；反之以解析式方程图象上任一点的坐标是解析式方程的一个解；反之以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数图象上的任意

50、一个解为坐标的点一定在函数图象上. .解析法解析法列表法列表法图象法图象法实际实际几何几何纵坐标纵坐标横坐标横坐标温馨提示：温馨提示：画图象时要注意自变量的取值范围，当图象有端点时，要注意端点是画图象时要注意自变量的取值范围，当图象有端点时，要注意端点是否有等号，有等号时画实心点，无等号时画空心圆圈否有等号，有等号时画实心点，无等号时画空心圆圈. .考点五考点五 自变量取值范围的确定方法自变量取值范围的确定方法求函数自变量的取值范围时，首先要考虑自变量的取值必须使解析式求函数自变量的取值范围时，首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义有意义1 1自变量以整式形式出现，它的取值范围是全体实数自变

51、量以整式形式出现，它的取值范围是全体实数2 2自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数3 3当自变量以偶次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非当自变量以偶次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数；以奇次方根出现时，它的取值范围为全体实数负数；以奇次方根出现时，它的取值范围为全体实数4 4当自变量出现在零次幂或负整数幂的底数中，它的取值范围是使当自变量出现在零次幂或负整数幂的底数中，它的取值范围是使_5 5在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值

52、范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分底数不为零的数底数不为零的数考点一考点一 一次函数的定义一次函数的定义一般地一般地, ,如果如果y y= =kx+bkx+b( (k k、b b是常数是常数, ,k k0),0),那么那么y y叫做叫做x x的一次函数的一次函数特别地，当特别地，当b b 时，一次函数时，一次函数y ykxkxb b就成为就成为 y ykxkx( (k k是常数，是常数，k k0)0)，这时，这时，y y叫做叫做x x的的_._.1 1由定义知：由定义知：y y是是x x的一次函数的一次函数它的解析式是它的解析式是 ，其中，其

53、中k k、b b是常数，且是常数，且k k0.0.2 2一次函数解析式一次函数解析式y ykxkxb b( (k k0)0)的结构特征：的结构特征：(1)(1)k k 0 0；(2)(2)x x的次数是的次数是1 1；(3)(3)常数项常数项b b可为任意实数可为任意实数3 3正比例函数解析式正比例函数解析式y ykxkx( (k k0)0)的结构特征：的结构特征：(1)(1)k k 0 0；(2)(2)x x的次数是的次数是 ；(3)(3)没有常数项或者说常数项为没有常数项或者说常数项为 . .0 0正比例函数正比例函数y ykxkxb b0 01 1温馨提示：温馨提示：正比例函数是一次函数

54、，但一次函数正比例函数是一次函数，但一次函数y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)不一定是正比例函不一定是正比例函数，只有当数，只有当b=0b=0时，它才是正比例函数时，它才是正比例函数. .考点二考点二 一次函数的图象一次函数的图象温馨提示：温馨提示：3.3.一次函数一次函数y=y=kx+bkx+b（k0k0）的图象与）的图象与k,bk,b符号的关系：符号的关系：（1 1）k k0 0，b b0 0图象经过第一、二、三象限图象经过第一、二、三象限. .（2 2）k k0 0，b b0 0图象经过第一、三、四象限图象经过第一、三、四象限. .（3 3）k k0 0，b b0 0图象经过第一、

55、二、四象限图象经过第一、二、四象限. .（4 4）k k0 0，b b0 0图象经过第二、三、四象限图象经过第二、三、四象限. .考点三考点三 一次函数图象的性质一次函数图象的性质一次函数一次函数y ykxkxb b，当，当k k0 0时，时，y y随随x x的增大而的增大而 ，图象一定经，图象一定经过第过第 象限；当象限；当k k0 0时，时，y y随随x x的的 而减小，图象一定经过第而减小，图象一定经过第_象限象限考点四考点四 一次函数的应用一次函数的应用用一次函数解决实际问题的一般步骤为：用一次函数解决实际问题的一般步骤为：设定实际问题中的变量；设定实际问题中的变量；建立一次函数关系式

56、；建立一次函数关系式；确定自变量的取值范围；确定自变量的取值范围；利用函数性质解决利用函数性质解决问题；问题；答答增大增大一、三一、三增大增大二、四二、四温馨提示：温馨提示：1.1.题目中的条件在列等式、不等式时不能重复使用，要仔细寻找题目题目中的条件在列等式、不等式时不能重复使用，要仔细寻找题目中的隐含条件；中的隐含条件；2.2.正确理解题目中的关键词语：盈、亏、涨、跌、收益、正确理解题目中的关键词语：盈、亏、涨、跌、收益、利润、赚、赔、打折、不大于、不小于等；利润、赚、赔、打折、不大于、不小于等；3.3.设未知数相关量要有依据，设未知数相关量要有依据，而代数式为多项式时要加括号，带上单位，

57、列方程时相关量的单位要保持而代数式为多项式时要加括号，带上单位，列方程时相关量的单位要保持一致一致. .考点一考点一 反比例函数的定义反比例函数的定义kxkx1 1考点二考点二 反比例函数的图象和性质反比例函数的图象和性质双曲线双曲线相交相交减小减小(2)(2)k k0 0图象图象( (双曲线双曲线) )的两个分支分别在第的两个分支分别在第 象限，如图象限，如图所示图象自左向右是上升的所示图象自左向右是上升的当当x x0 0或或x x0 0时，时，y y随随x x的增大而增大的增大而增大( (或或y y随随x x的减小而减小的减小而减小) )二、四二、四考点三考点三 反比例函数解析式的确定反比

58、例函数解析式的确定由于反比例函数的关系式中只有一个未知数，因此只需已知一组对应由于反比例函数的关系式中只有一个未知数，因此只需已知一组对应值就可以值就可以待定系数法求解析式的步骤：待定系数法求解析式的步骤：(1)(1)设出含有待定系数的函数解析式；设出含有待定系数的函数解析式；(2)(2)把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程；把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程；(3)(3)解方程求出待定系数解方程求出待定系数考点四考点四 反比例函数图象中比例系数反比例函数图象中比例系数k k的几何意义的几何意义|k|温馨提示：温馨提示：根据图象说出性质、根据性质大致画出图象及求解析式是一个难

59、点，根据图象说出性质、根据性质大致画出图象及求解析式是一个难点，要逐步理解和掌握要逐步理解和掌握. .考点五考点五 反比例函数的应用反比例函数的应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的解决问题的方案，特别注意自变量的_._.取值范围取值范围考点一考点一 二次函数的定义二次函数的定义一般地，如果一般地，如果y yaxax2 2bxbxc c( (a a、b b、c c是常数，是常数，a a0)0)，那么，那么y y叫做叫做x x的二的二次函数次函数1 1结构特征：结构特征：等号左边

60、是函数，右边是关于自变量等号左边是函数，右边是关于自变量x x的的_次式；次式；x x的最高次数是的最高次数是2 2；二次项系数二次项系数 a_a_0.0.2 2二次函数的三种基本形式二次函数的三种基本形式(1)(1)一般形式：一般形式： ；(2)(2)顶点式：顶点式： ，它直接显示二次函数的顶点坐，它直接显示二次函数的顶点坐标是标是 ；(3)(3)交点式：交点式： ，其中，其中x x1 1、x x2 2是图象与是图象与x x轴交轴交点的点的_二二yax2bxc(a、b、c是常数，且是常数，且a0)ya(xh)2k(a0)(h(h，k)k)ya(xx1)(xx2)(a0)横坐标横坐标考点二考点

61、二 二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质考点三考点三 二次函数二次函数y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c的图象特征与的图象特征与a a、b b、c c及及b2-4acb2-4ac的符号的符号之间的关系之间的关系字母字母 项目项目字母的符号字母的符号图象的特征图象的特征a aa a0 0开口向上开口向上a a0 0开口向下开口向下b bb b0 0对称轴为对称轴为y y轴轴abab0 0( (a a与与b b同号同号) )对称轴在对称轴在y y轴左侧轴左侧abab0 0( (a a与与b b异号异号) )对称轴在对称轴在y y轴右侧轴右侧c cc c0 0经过原点经过原点c c0 0与

62、与y y轴正半轴相交轴正半轴相交c c0 0与与y y轴负半轴相交轴负半轴相交注意：当注意：当x x1 1时，时，y ya ab bc c；当；当x x1 1时，时，y ya ab bc.c.若若a ab bc c0 0，即，即x x1 1时，时，y y0.0.若若a ab bc c0 0，即，即x x1 1时，时，y y0.0.b b2 24ac4acb b2 24ac4ac0 0与与x x轴有唯一交点轴有唯一交点( (顶点顶点) )b b2 24ac4ac0 0与与x x轴有两个交点轴有两个交点b b2 24ac4ac0 0与与x x轴没有交点轴没有交点考点四考点四 二次函数图象的平移二次

63、函数图象的平移任意抛物线任意抛物线y ya a( (x xh h) )2 2k k可以由抛物线可以由抛物线y yaxax2 2经过平移得到，具体经过平移得到，具体平移方法如下：平移方法如下：温馨提示：温馨提示：二次函数图象间的平移，可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶二次函数图象间的平移，可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函数图象间的平移点是如何平移的，就掌握了二次函数图象间的平移. .考点五考点五 二次函数解析式的求法二次函数解析式的求法1 1一般式：一般式：y yaxax2 2bxbxc c( (a0a0) )若已知条件是图象上三个点的坐标则设一般式若已知

64、条件是图象上三个点的坐标则设一般式y yaxax2 2bxbxc c( (a0a0) )，将已知条件代入，求出，将已知条件代入，求出a a、b b、c c的值的值2 2交点式：交点式：y ya a( (x xx x1 1)()(x xx x2 2)()(a0a0) )若已知二次函数图象与若已知二次函数图象与x x轴的两个交点的坐标，则设交点式：轴的两个交点的坐标，则设交点式：y ya a( (x xx x1 1)()(x xx x2 2)()(a0a0) )，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数数a a，最后将解析式化为一般式，最后将解析

65、式化为一般式3 3顶点式：顶点式：y ya a( (x xh h) )2 2k k( (a0a0) )若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值, ,则设顶则设顶点式点式: :y ya a( (x x- -h h) )2 2+ +k k( (a0a0),),将已知条件代入，求出待定系数化为一般式将已知条件代入，求出待定系数化为一般式. .考点六考点六 二次函数的应用二次函数的应用二次函数的应用包括两个方面：二次函数的应用包括两个方面：( (1 1) )用二次函数表示实际问题变量之间关系用二次函数表示实际问题变量之间关系( (2 2)

66、 )用二次函数解决最大化问题用二次函数解决最大化问题( (即最值问题即最值问题) )，用二次函数的性质求，用二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围解，同时注意自变量的取值范围考点一考点一 函数的综合应用函数的综合应用1.1.直接利用一次函数图象解决求一次方程、一次不等式的解，比较大直接利用一次函数图象解决求一次方程、一次不等式的解，比较大小等问题小等问题. .2.2.直接利用二次函数图象、反比例函数图象解决求二次方程、分式方直接利用二次函数图象、反比例函数图象解决求二次方程、分式方程、分式不等式的解，比较大小等问题程、分式不等式的解，比较大小等问题. .3.3.利用数形结合的思路，借助函

67、数的图象和性质，形象直观地解决有利用数形结合的思路，借助函数的图象和性质，形象直观地解决有关不等式最大（小）值、方程的解以及图形的位置关系等问题关不等式最大（小）值、方程的解以及图形的位置关系等问题. .4.4.利用转化的思想，通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系利用转化的思想，通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与来解决抛物线与x x轴交点的问题轴交点的问题. .5.5.通过几何图形和几何知识建立函数模型，提供设计方案或讨论方案通过几何图形和几何知识建立函数模型，提供设计方案或讨论方案的可行性的可行性. .6.6.建立函数模型后，往往涉及方程、不等式、相似等知识，最后

68、必须建立函数模型后，往往涉及方程、不等式、相似等知识，最后必须检验与实际情况是否相符合检验与实际情况是否相符合. .7.7.综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时，要想到运用二次函数数模型求解，涉及最值问题时，要想到运用二次函数. .考点一考点一 线段、射线、直线线段、射线、直线1 1线段的性质线段的性质(1)(1)所有连接两点的线中所有连接两点的线中,_,_最短，即过两点有且只有一条直线最短，即过两点有且只有一条直线. .(2)(2)线段垂直平分线上的点到这条线段的线段垂直平分线上的点到这

69、条线段的 的距离相等的距离相等2 2射线、线段又可看作是直线的一部分，即整体与部分的关系；将射线、线段又可看作是直线的一部分，即整体与部分的关系；将线段无限延长一方得到射线，两方无限延长可得到直线线段无限延长一方得到射线，两方无限延长可得到直线3 3直线、射线、线段的区别与联系直线、射线、线段的区别与联系线段线段两个端点两个端点考点二考点二 角角1 1有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；如果一个角的两边成一有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；如果一个角的两边成一条直线，那么这个角叫做平角；平角的一半叫直角；大于直角小于平角的条直线，那么这个角叫做平角；平角的一半叫直角；大于直角小于平角的角

70、叫做钝角，大于角叫做钝角，大于0 0小于直角的角叫做锐角小于直角的角叫做锐角2 21 1周角周角 度，度，1 1平角平角 度，度，1 1直角直角 度，度，1 1_ _ _ _分，分，1 1分分 秒秒3 3余角、补角及其性质余角、补角及其性质互为补角互为补角: :如果两个角的和是一个如果两个角的和是一个 , ,那么这两个角叫做互为补角那么这两个角叫做互为补角. .互为余角互为余角: :如果两个角的和是一个如果两个角的和是一个 , ,那么这两个角叫做互为余角那么这两个角叫做互为余角. .性质：同角性质：同角( (或或_)_)的余角相等；同角的余角相等；同角( (或等角或等角) )的补角相等的补角相

71、等平角平角直角直角等角等角360360180180909060606060温馨提示：温馨提示：互为补角、互为余角是相对两个角而言，它们都是由数量关系来定义，互为补角、互为余角是相对两个角而言，它们都是由数量关系来定义，与位置无关与位置无关. .考点三考点三 相交线相交线1 1对顶角及其性质对顶角及其性质对顶角：两条直线相交所得到的四个角中，没有公共边的两个角叫做对顶角：两条直线相交所得到的四个角中，没有公共边的两个角叫做对顶角对顶角性质：对顶角性质：对顶角_._.2 2垂线及其性质垂线及其性质垂线：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直垂线：两条直线相交所构成的四个角中有一个角

72、是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的_._.性质：性质：经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短( (简说成：垂线段最短简说成：垂线段最短) )相等相等垂线垂线考点四考点四 平行线平行线1 1平行线的定义平行线的定义在同一平面内，在同一平面内， 的两条直线，叫平行线的两条直线，叫平行线2 2平行公理平行公理经过已知直线外一点，有且只有经过已知直线外一点，有且只有 条直线与已知直线平行条直线与已知直线

73、平行3 3平行线的性质平行线的性质(1)(1)如果两条直线平行，那么如果两条直线平行，那么 相等；相等；(2)(2)如果两条直线平行，那么如果两条直线平行，那么 相等；相等；(3)(3)如果两条直线平行，那么如果两条直线平行，那么 互补互补不相交不相交一一同位角同位角内错角内错角同旁内角同旁内角4 4平行线的判定平行线的判定(1)(1)定义：在同一平面内定义：在同一平面内 的两条直线，叫平行线；的两条直线，叫平行线；(2)(2) 相等，两直线平行；相等，两直线平行；(3)(3) 相等，两直线平行；相等，两直线平行；(4)(4)同旁内角同旁内角 ，两直线平行，两直线平行温馨提示：温馨提示：除上述

74、平行线识别方法外，还有除上述平行线识别方法外，还有“在同一平面内垂直于同一直线的两在同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行条直线平行”及及“平行于同一直线的两条直线平行平行于同一直线的两条直线平行”的识别方法的识别方法. .不相交不相交同位角同位角内错角内错角互补互补考点一考点一 三角形的概念与分类三角形的概念与分类1 1由三条线段由三条线段 所围成的平面图形，叫做三角形所围成的平面图形，叫做三角形2 2三角形按边可分为：三角形按边可分为： 三角形和三角形和 三角形；按角可分三角形；按角可分为为 三角形、三角形、 三角形和三角形和 三角形三角形首尾顺次相接首尾顺次相接不等边不等边等腰等腰锐角锐

75、角钝角钝角直角直角考点二考点二 三角形的性质三角形的性质1 1三角形的内角和是三角形的内角和是 ，三角形的外角等于与它，三角形的外角等于与它 的两个的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角2 2三角形的两边之和三角形的两边之和 第三边，两边之差第三边，两边之差 第三边第三边3 3三角形中的重要线段三角形中的重要线段(1)(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等内心，它到三角形各边的距离相等(2)(2)中线：三角形的三条中线

76、交于一点，这点叫做三角形的重心中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心(3)(3)高：三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心高：三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心180180不相邻不相邻大于大于小于小于(4)(4)三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，这点叫做三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点距离相等三角形的外心，外心到三角形三个顶点距离相等(5)(5)中位线：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半中位线：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半温馨提示：温馨提示：三角形的边、角之间的关系是三角

77、形中重要的性质，在比较角的大小、三角形的边、角之间的关系是三角形中重要的性质，在比较角的大小、线段的长短及求角或线段中经常用到线段的长短及求角或线段中经常用到. .学习时应结合图形，做到熟练、准学习时应结合图形，做到熟练、准确地应用确地应用. .三角形的角平分线、高、中线三角形的角平分线、高、中线均为线段均为线段. .考点三考点三 全等三角形的概念与性质全等三角形的概念与性质1 1能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形2 2全等三角形的性质全等三角形的性质(1)(1)全等三角形的全等三角形的 、 分别相等；分别相等；(2)(2)全等三角形的对应线段全等三角

78、形的对应线段( (角平分线、中线、高角平分线、中线、高) )相等、周长相等、相等、周长相等、面积相等面积相等对应边对应边对应角对应角考点四考点四 全等三角形的判定全等三角形的判定1 1一般三角形全等的判定一般三角形全等的判定(1)(1)如果两个三角形的三条边分别如果两个三角形的三条边分别 ，那么这两个三角形全等，那么这两个三角形全等，简记为简记为SSSSSS；(2)(2)如果两个三角形有两边及其如果两个三角形有两边及其夹角夹角分别对应相等，那么这两个三角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为形全等，简记为SASSAS；(3)(3)如果两个三角形的两角及其如果两个三角形的两角及其夹边夹边分别

79、对应相等，那么这两个三角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为形全等，简记为ASAASA；(4)(4)如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为三角形全等，简记为AASAAS. .对应相等对应相等2 2直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定(1)(1)两直角边对应相等的两个直角三角形全等；两直角边对应相等的两个直角三角形全等；(2)(2)一边及该边所对锐角对应相等的两个直角三角形全等；一边及该边所对锐角对应相等的两个直角三角形全等；(3)(3)如果两个直角三角形的斜边及一条如果两个直角三角形的斜边及一

80、条 分别对应相等，那么这分别对应相等，那么这两个直角三角形全等简记为两个直角三角形全等简记为HL.HL.3 3证明三角形全等的思路证明三角形全等的思路直角边直角边考点一考点一 等腰三角形等腰三角形1 1概念及分类概念及分类有有 的三角形叫等腰三角形；有的三角形叫等腰三角形；有 的三角形叫做等边的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为 的等腰三角形和的等腰三角形和 _的等腰三角形的等腰三角形2 2等腰三角形的性质等腰三角形的性质(1)(1)等腰三角形两腰相等；等腰三角形的两个底角等腰三角形两腰相等；等腰三角形的两个底角 ；(2)(2)等腰三角形的顶

81、角角平分线、底边上的中线和高互相等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线和高互相 ，简，简称称“三线合一三线合一”；三边相等三边相等腰和底不相等腰和底不相等腰和底相等腰和底相等相等相等重合重合两边相等两边相等(3)(3)等腰等腰( (非等边非等边) )三角形是轴对称图形，它有一条对称轴三角形是轴对称图形，它有一条对称轴(4)(4)等腰三角形边长须满足两腰之和大于底；等腰三角形的底角满足等腰三角形边长须满足两腰之和大于底；等腰三角形的底角满足0 09090；顶角满足；顶角满足0 0180180. .3 3等腰三角形的判定等腰三角形的判定(1)(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；有两条边相等的三

82、角形是等腰三角形；(2)(2)有有 相等的三角形是等腰三角形相等的三角形是等腰三角形温馨提示：温馨提示：应用性质应用性质“三线合一三线合一”时，一定要注意是顶角的平分线、底边上的中时，一定要注意是顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，利用它可以证明线段相等、角相等及直线垂直线、底边上的高互相重合，利用它可以证明线段相等、角相等及直线垂直. .两角两角考点二考点二 等边三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定1 1性质：性质：(1)(1)等边三角形的内角都相等，且等于等边三角形的内角都相等，且等于6060；(2)(2)等边三角等边三角形是轴对称图形，等边三角形每条边上的中线、高和所对角

83、的平分线都形是轴对称图形，等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一三线合一”，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴2 2判定：三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是判定：三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是6060的等的等腰三角形是等边三角形腰三角形是等边三角形温馨提示：温馨提示：（1 1）顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形）顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形. .（2 2）等边三角形外心、内心、重心、垂心四心合一）等边三角形外心、内心、重心、垂心四心合一. .考点三考点三 线段的中垂线线段的中垂线1 1概念：垂直且平分一

84、条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，概念：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线也叫中垂线2 2性质：线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等性质：线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等3 3判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上，线段的判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上，线段的中垂线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合中垂线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合考点四考点四 直角三角形的性质、判定直角三角形的性质、判定1 1性质性质(1)(1)直角三角形的两个锐角直角三角形的两个锐角 ；(2)(2)勾股定理：勾股定理：a a2 2b

85、 b2 2c c2 2( (在在RtRtABCABC中，中，C C9090) )；(3)(3)在直角三角形中，如果有一个锐角等于在直角三角形中，如果有一个锐角等于3030，那么它所对的直角，那么它所对的直角边等于斜边的边等于斜边的 ；(4)(4)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为角边所对的锐角为 ；(5)(5)直角三角形直角三角形 上的中线等于斜边的一半上的中线等于斜边的一半互余互余一半一半3030斜边斜边2 2判定判定(1)(1)有一个角是有一个角是 的三角形是直角三角形；的三角形是直角三角形；(2

86、)(2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a a、b b、c c满足满足a a2 2b b2 2c c2 2，那么这个三角形是直角三角形；，那么这个三角形是直角三角形；(3)(3)如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形为为 三角形；三角形；(4)(4)在一个三角形中在一个三角形中, ,如果有两个角互余如果有两个角互余, ,那么这个三角形是那么这个三角形是 三三角形角形直角直角直角直角直角直角温馨提示：温馨提示：（1 1）勾股定理的逆定理是判定三角形为直角三角形的重要方法）勾股定理的逆

87、定理是判定三角形为直角三角形的重要方法. .（2 2）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. .（3 3）若）若a a、b b、c c为一直角三角形的三边长，则以为一直角三角形的三边长，则以mama、mbmb、mc(mmc(m0)0)为为三边的三角形也是直角三角形三边的三角形也是直角三角形. .考点一考点一 几何作图几何作图1 1尺规作图限定作图工具只有圆规和没有刻度的直尺尺规作图限定作图工具只有圆规和没有刻度的直尺2 2基本作图基本作图(1)(1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和、差；作一条线段等于已知线段，以及线段的和、

88、差；(2)(2)作一个角等于已知角，以及角的和、差；作一个角等于已知角，以及角的和、差；(3)(3)作角的平分线；作角的平分线；(4)(4)作线段的垂直平分线作线段的垂直平分线3 3利用基本作图作三角形利用基本作图作三角形(1)(1)已知三边作三角形；已知三边作三角形；(2)(2)已知两边及其夹角作三角形；已知两边及其夹角作三角形；(3)(3)已知两角及其夹边作三角形；已知两角及其夹边作三角形；(4)(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)(5)已知一直角边和斜边作直角三角形已知一直角边和斜边作直角三角形4 4与圆有关的尺规作图与圆有关的尺规作图(1)(

89、1)过不在同一直线上的三点作圆过不在同一直线上的三点作圆( (即三角形的外接圆即三角形的外接圆) )(2)(2)作三角形的内切圆作三角形的内切圆5 5有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型6 6作图题的一般步骤作图题的一般步骤(1)(1)已知已知;(2);(2)求作求作;(3);(3)分析分析;(4);(4)作法作法;(5);(5)证明证明;(6);(6)讨论其中步骤讨论其中步骤(5)(6)(5)(6)常不作要求常不作要求, ,步骤步骤(3)(3)一般不要求一般不要求, ,但作图中一定要保留作图痕迹但作图中一定要保留作图痕迹考点

90、二考点二 定义、命题、定理、公理定义、命题、定理、公理有关概念有关概念(1)(1)定义是能明确指出概念含义或特征的句子，它必须严密定义是能明确指出概念含义或特征的句子，它必须严密(2)(2)命题：判断一件事情的语句命题：判断一件事情的语句命题由题设和命题由题设和 两部分组成两部分组成命题的真假命题的真假: :正确的命题称为正确的命题称为 ； 的命题称为假命题的命题称为假命题. .互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为互结论，而第一个命题的结论是第二个命题的

91、题设，那么这两个命题称为互逆命题每一个命题都有逆命题逆命题每一个命题都有逆命题真命题真命题错误错误结论结论(3)(3)定理：经过证明的真命题叫做定理定理：经过证明的真命题叫做定理因为定理的逆命题不一定都因为定理的逆命题不一定都是真命题，所以不是所有的定理都有逆定理是真命题，所以不是所有的定理都有逆定理(4)(4)公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据原始依据，这样的真命题叫公理，这样的真命题叫公理温馨提示：温馨提示：对命题的正确性理解一定要准确，判定命题

92、不成立时，有时可以举反对命题的正确性理解一定要准确，判定命题不成立时，有时可以举反例说明道理；命题有正、误，错误的命题也是命题例说明道理；命题有正、误，错误的命题也是命题. .考点三考点三 证明证明1 1证明：根据题设、定义、公理及定理，经过逻辑推理来判断一个证明：根据题设、定义、公理及定理，经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这一推理过程称为证明命题是否正确，这一推理过程称为证明2 2证明的一般步骤：证明的一般步骤：审题，找出命题的审题，找出命题的 和和 ；由题由题意画出图形，具有一般性；意画出图形，具有一般性；用数学语言写出用数学语言写出 、 ；分分析证明的思路；析证明的思路；写出写出 ，

93、每一步应有根据，要推理严密，每一步应有根据，要推理严密证明过程证明过程题设题设结论结论已知已知求证求证考点一考点一 多边形多边形不相邻不相邻(n2)180360温馨提示：温馨提示：（1 1）多边形包括三角形、四边形、五边形）多边形包括三角形、四边形、五边形，等边三角形是边数，等边三角形是边数最少的正多边形最少的正多边形. .（2 2）多边形中最多有）多边形中最多有3 3个内角是锐角（如锐角三角形）个内角是锐角（如锐角三角形）, ,也可以没有也可以没有锐角（如矩形）锐角（如矩形）. .（3 3）解决）解决n n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相边形的有关问题时，往往连接其对角线转

94、化成三角形的相关知识，研究关知识，研究n n边形的外角问题时，也往往转化为边形的外角问题时，也往往转化为n n边形的内角问题边形的内角问题. .考点二考点二 平面图形的密铺平面图形的密铺1 1密铺的定义密铺的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌镶嵌2 2平面图形的密铺平面图形的密铺(1)(1)一个多边形密铺的图形有：一个多边形密铺的图形有： ， 和和 ；(2)(2)两个多边形密

95、铺的图形有：两个多边形密铺的图形有： ，_， 和和 ；(3)(3)三个多边形密铺的图形一般有：三个多边形密铺的图形一般有： ，_， . .三角形三角形四边形四边形正六边形正六边形正三角形和正方形正三角形和正方形正三角形和正六边形正三角形和正六边形正方形和正八边形正方形和正八边形正三角形和正十二边形正三角形和正十二边形正三角形、正方形和正六边形正三角形、正方形和正六边形正方形、正六边形和正十二边形正方形、正六边形和正十二边形正三角形、正方形和正十二边形正三角形、正方形和正十二边形温馨提示：温馨提示：能密铺的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，能密铺的图形在一个拼接点处的特点：几

96、个图形的内角拼接在一起时，其和等于其和等于360360, ,并使相等的边互相重合并使相等的边互相重合. .考点三考点三 平行四边形的定义、性质与判定平行四边形的定义、性质与判定1 1定义：两组对边定义：两组对边 的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形2 2性质：性质：(1)(1)平行四边形的对边平行四边形的对边 ；(2)(2)平行四边形的对角平行四边形的对角 ，邻角，邻角 ；(3)(3)平行四边形的对角线平行四边形的对角线 ；(4)(4)平行四边形是平行四边形是 对称图形对称图形3 3判定：判定：(1)(1)两组对边分别两组对边分别 的四边形是平行四边形；的四边形是平行四边形；(2)(2)两

97、组对边分别两组对边分别 的四边形是平行四边形；的四边形是平行四边形；(3)(3)一组对边一组对边 的四边形是平行四边形；的四边形是平行四边形；(4)(4)两组对角分别两组对角分别 的四边形是平行四边形；的四边形是平行四边形；(5)(5)对角线对角线 的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形分别平行分别平行平行且相等平行且相等相等相等互补互补互相平分互相平分中心中心平行平行相等相等平行且相等平行且相等相等相等互相平分互相平分考点一考点一 矩形的定义、性质和判定矩形的定义、性质和判定1 1定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形2 2性质：性质：(1)(1)矩形

98、的四个角都是直角；矩形的四个角都是直角；(2)(2)矩形的对角线矩形的对角线_；(3)(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，它的对称中心是对角线的交点两条对称轴，它的对称中心是对角线的交点3 3判定：判定：(1)(1)有有 的平行四边形是矩形；的平行四边形是矩形；(2)(2)有三有三个角是直角的四边形是矩形；个角是直角的四边形是矩形；(3)(3)对角线相等的对角线相等的 是矩形是矩形互相平分且相等互相平分且相等一个角是直角一个角是直角平行四边形平行四边形考点二考点二 菱形的定义、性质和判定菱形的定义、性质和判定1 1定义：有一组邻

99、边相等的平行四边形是菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形2 2性质：性质：(1)(1)菱形的四条边菱形的四条边 ，对角线互相，对角线互相 ，并，并且每条对角线平分一组对角且每条对角线平分一组对角;(2);(2)菱形既是轴对称图形又是中心对称图形菱形既是轴对称图形又是中心对称图形3 3判定：判定：(1)(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)(2)四条边都相四条边都相等的四边形是菱形；等的四边形是菱形；(3)(3)对角线对角线 的平行四边形是菱形；的平行四边形是菱形；(4)(4)对角线互相垂直平分的四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形都相等都

100、相等垂直平分垂直平分互相垂直互相垂直考点三考点三 正方形的定义、性质和判定正方形的定义、性质和判定1 1定义：有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形定义：有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形是正方形2 2性质：性质：(1)(1)正方形四个角都是正方形四个角都是 ，四条边都，四条边都 ；(2)(2)正方形两条对角线正方形两条对角线 ，并且互相，并且互相 ，每条对角线平分，每条对角线平分一组对角一组对角(3)(3)正方形既是轴对称图形又是中心对称图形正方形既是轴对称图形又是中心对称图形3 3判定：判定：(1)(1)有一个角是直角的菱形是正方形；有一个角是直角的菱形

101、是正方形；(2)(2)有一组邻边相等有一组邻边相等的矩形是正方形的矩形是正方形( (正方形的判定可借助平行四边形、矩形、菱形来判定正方形的判定可借助平行四边形、矩形、菱形来判定) )直角直角相等相等相等相等垂直平分垂直平分考点四考点四 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系温馨提示：温馨提示：1.1.矩形、菱形和正方形具有平行四边形的所有性质矩形、菱形和正方形具有平行四边形的所有性质. .2.2.平行四边形及特殊平行四边形的有关知识点较多，要想做到准确而平行四边形及特殊平行四边形的有关知识点较多，要想做到准确而不混淆就要从不混淆就要从“边、角、对角线、对称性边

102、、角、对角线、对称性”这四个方面来研究它们的性质这四个方面来研究它们的性质和判定，多用数形结合法，掌握它们的区别及联系，把握它们的特征是关和判定，多用数形结合法，掌握它们的区别及联系，把握它们的特征是关键键. .考点一考点一 梯形的定义、分类及面积梯形的定义、分类及面积1 1定义：一组对边平行，而另一组对边定义：一组对边平行，而另一组对边 的四边形叫做梯的四边形叫做梯形其中，平行的两边叫做形其中，平行的两边叫做底底，两底间的距离叫做梯形的，两底间的距离叫做梯形的 . .不平行不平行高高考点二考点二 等腰梯形的性质与判定等腰梯形的性质与判定1 1性质：性质：(1)(1)等腰梯形的两腰相等，两底等

103、腰梯形的两腰相等，两底 ；(2)(2)等腰梯形在同等腰梯形在同一底边上的两个角一底边上的两个角 ；(3)(3)等腰梯形的对角线等腰梯形的对角线 ；(4)(4)等腰梯形是等腰梯形是轴轴对称图形对称图形2 2判定：判定：(1)(1)定义法；定义法；(2)(2)同一底边上的两个角同一底边上的两个角 的梯形是等腰的梯形是等腰梯形；梯形；(3)(3)对角线对角线相等相等的梯形是等腰梯形的梯形是等腰梯形平行平行相等相等相等相等相等相等考点三考点三 梯形的中位线梯形的中位线1 1定义：连接梯形定义：连接梯形 的线段叫做梯形中位线的线段叫做梯形中位线2 2判定：判定：(1)(1)经过梯形一腰中点与经过梯形一腰

104、中点与 的直线必平分另一腰；的直线必平分另一腰；(2)(2)定义法定义法3 3性质：梯形的中位线性质：梯形的中位线 两底，并且等于两底，并且等于 的一半的一半. .两腰中点两腰中点底平行底平行平行于平行于两底和两底和考点四考点四 解决梯形问题的基本思路及辅助线的作法解决梯形问题的基本思路及辅助线的作法考点一考点一 成比例线段与比例的定义及性质成比例线段与比例的定义及性质adbc温馨提示：温馨提示：（1 1）求两条线段的比时，对两条线段要采用同一长度单位）求两条线段的比时，对两条线段要采用同一长度单位. .如果单位如果单位不同，那么必须先化成同一单位，然后再比不同，那么必须先化成同一单位，然后再

105、比, ,且两条线段的比是一个实数、且两条线段的比是一个实数、没有单位没有单位. .考点二考点二 相似多边形的判断及性质相似多边形的判断及性质1 1多边形相似的判断：各角对应相等，各边对应成比例多边形相似的判断：各角对应相等，各边对应成比例2 2相似多边形的性质相似多边形的性质(1)(1)对应角对应角 ，对应边，对应边_. .(2)(2)周长之比等于周长之比等于 ，面积之比等于，面积之比等于_._.相等相等成比例成比例相似比相似比相似比的平方相似比的平方考点三考点三 位似图形及性质位似图形及性质1 1定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每

106、组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比因此，位似图形一定是相似图形，但相心，这时的相似比又称为位似比因此，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形似图形不一定是位似图形2 2性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比似比考点一考点一 相似三角形的定义相似三角形的定义定义：如果两个三角形的各角对应定义：如果两个三角形的各角对应 ，各边对应，各边对应 ，那，那么这两个三角形相似么这两

107、个三角形相似考点二考点二 相似三角形的性质相似三角形的性质1 1相似三角形的对应角相似三角形的对应角 ，对应边，对应边 . .2 2相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于等于_._.3.3.相似三角形的周长之比等于相似三角形的周长之比等于 ，面积之比等于，面积之比等于 . .相等相等成比例成比例相等相等成比例成比例相似比相似比相似比的平方相似比的平方相似比相似比考点三考点三 相似三角形的判定相似三角形的判定1 1两边对应两边对应 ，且夹角，且夹角 的两个三角形相似的两个三角形相似2 2两角对应相等的两个三角形相似两角

108、对应相等的两个三角形相似3 3三边对应三边对应 的两个三角形相似的两个三角形相似温馨提示：温馨提示：直角三角形相似的条件：（直角三角形相似的条件：（1 1）两直角边对应成比例的两个直角三角）两直角边对应成比例的两个直角三角形相似形相似. .（2 2）有一个锐角对应相等的两直角三角形相似）有一个锐角对应相等的两直角三角形相似. .（3 3）有斜边和一）有斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似直角边对应成比例的两个直角三角形相似. .成比例成比例相等相等成比例成比例考点一考点一 锐角三角函数定义锐角三角函数定义若在若在RtABCRtABC中，中，C C9090，A A、B B、C C的对边分

109、别为的对边分别为a a、b b、c c，则，则sinAsinA_，cosAcosA_，tanAtanA _._.温馨提示：温馨提示：（1 1）锐角三角函数是在直角三角形中定义的）锐角三角函数是在直角三角形中定义的. .（2 2）sinA,cosA,tanAsinA,cosA,tanA表示的是一个整体，是指两条线段的比，没有表示的是一个整体，是指两条线段的比，没有单位单位. .（3 3）锐角三角函数的大小仅与角的大小有关，与该角所处的直角三）锐角三角函数的大小仅与角的大小有关，与该角所处的直角三角形的大小无关角形的大小无关. .（4 4）当）当A A为锐角时，为锐角时，0 0sinAsinA1,

110、01,0cosAcosA1,tanA1,tanA0.0.考点二考点二 特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值考点三考点三 用计算器求一个锐角的三角函数值或由三角函数值求锐角用计算器求一个锐角的三角函数值或由三角函数值求锐角考点四考点四 解直角三角形解直角三角形1 1解直角三角形的定义解直角三角形的定义由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形做解直角三角形( (直角三角形中，除直角外，一共有直角三角形中，除直角外，一共有5 5个元素即个元素即3 3条边和条边和2 2个锐角个锐角) )2 2直角三角形的边角

111、关系直角三角形的边角关系在在RtABCRtABC中，中，C C9090，A A、B B、C C的对边分别为的对边分别为a a、b b、c.c.(1)(1)三边之间的关系：三边之间的关系：_；(2)(2)两个锐角之间的关系：两个锐角之间的关系： ；a2b2 c2AAB B9090考点一考点一 解直角三角形的应用中的相关概念解直角三角形的应用中的相关概念1 1仰角、俯角：如图仰角、俯角：如图，在测量时，视线与水平线所成的角中，视，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角3 3方向角：指南或指北的方向线与目标

112、方向线所成的小于方向角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于9090的水的水平角，叫做方向角如图平角，叫做方向角如图，表示北偏东，表示北偏东6060方向的一个角方向的一个角水平距离水平距离l l注意：东北方向指北偏东注意：东北方向指北偏东 方向，东南方向指南偏东方向，东南方向指南偏东4545方向，方向，西北方向指北偏西西北方向指北偏西4545方向，西南方向指南偏西方向，西南方向指南偏西4545方向我们一般画图方向我们一般画图的方位为上北下南，左西右东的方位为上北下南，左西右东4 4方位角：从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫方位角：从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角

113、叫做方位角做方位角4545考点二考点二 直角三角形的边角关系的应用直角三角形的边角关系的应用日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，直角三日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，直角三角形的边角关系在解决实际问题中有较大的作用，在应用时要注意以下几角形的边角关系在解决实际问题中有较大的作用，在应用时要注意以下几个环节：个环节：(1)(1)将实际问题抽象为数学问题将实际问题抽象为数学问题( (画出平面图形，转化为解直角三角形画出平面图形，转化为解直角三角形的问题的问题) )；(2)(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；根据条件的特点，适当选用锐角

114、三角函数等去解直角三角形；(3)(3)得到数学问题的答案；得到数学问题的答案；(4)(4)得到实际问题的答案得到实际问题的答案考点一考点一 图形的轴对称图形的轴对称1 1轴对称图形的定义轴对称图形的定义如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相 _ _，那么这个图形叫做轴对称图形，那么这个图形叫做轴对称图形2 2轴对称的定义轴对称的定义把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够和另一个图形重合，把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于直线对称，两个图形关于直线对称也称轴对称这条那么这两个

115、图形关于直线对称，两个图形关于直线对称也称轴对称这条直线叫做对称轴直线叫做对称轴重合重合3 3轴对称变换的基本性质轴对称变换的基本性质(1)(1)对应点所连的线段被对称轴对应点所连的线段被对称轴 . .(2)(2)对应线段对应线段 ，对应角，对应角 . .4 4轴对称和轴对称图形的区别轴对称和轴对称图形的区别轴对称涉及两个图形，是两个图形的位置关系；轴对称图形是对一个轴对称涉及两个图形，是两个图形的位置关系；轴对称图形是对一个图形本身而言的图形本身而言的5 5镜面对称原理镜面对称原理(1)(1)镜中的像与原来的物体镜中的像与原来的物体_._.(2)(2)镜子中的像改变了原来物体的左右位置，即像

116、与物体左右位置互镜子中的像改变了原来物体的左右位置，即像与物体左右位置互换换垂直平分垂直平分相等相等相等相等轴对称轴对称考点二考点二 中心对称图形和中心对称中心对称图形和中心对称1 1在平面内，一个图形绕某个点旋转在平面内，一个图形绕某个点旋转180180，能与原来的图形重合，能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点能够重合的点叫做对称点2 2在平面内，一个图形绕某一定点旋转在平面内，一个图形绕某一定点旋转180180，它能够与另一个图形，它能够与另一个图形重合，就

117、说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，旋重合，就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，旋转后两个图形上能够重合的点叫做关于对称中心的对称点转后两个图形上能够重合的点叫做关于对称中心的对称点3 3中心对称与中心对称图形的区别与联系中心对称与中心对称图形的区别与联系区别：区别：(1)(1)中心对称是指两个图形的位置关系，而中心对称图形是指中心对称是指两个图形的位置关系，而中心对称图形是指具有某种性质的一类图形；具有某种性质的一类图形；(2)(2)成中心对称的两个图形的对称点分别在两成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，而中心对称图形的对称点在同一个图形上个图

118、形上，而中心对称图形的对称点在同一个图形上联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把成中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形若把成中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形考点一考点一 平移的定义、条件平移的定义、条件1 1定义：在平面内，将某个图形沿某个定义：在平面内，将某个图形沿某个 移动一定的移动一定的 ，这样的图形运动称为平移这样的图形运动称为平移2 2条件：确定一个平移运动的条件是条件：确定一个平移运动的条件是 和和 . .温馨提示：温馨提示：画平移图形时必须确定平移的方向和距离

119、，还需注意图形上的每个点画平移图形时必须确定平移的方向和距离，还需注意图形上的每个点都沿同一方向移动相同的距离都沿同一方向移动相同的距离. .方向方向距离距离平移的方向平移的方向距离距离考点二考点二 平移的性质平移的性质1 1平移不改变图形的平移不改变图形的 与与 ，即平移后所得的新图形与原，即平移后所得的新图形与原图形图形 ；2 2连接各组对应点的线段平行且连接各组对应点的线段平行且 ；3 3对应线段平行；对应线段平行；4 4对应角对应角 _._.温馨提示：温馨提示：画平移图形的依据是：平移的性质画平移图形的依据是：平移的性质. .关键是：正确找出所画图形的关键是：正确找出所画图形的_. .

120、形状形状大小大小全等全等相等相等相等相等关键点关键点考点三考点三 图形的旋转图形的旋转1 1定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个_，这样的图形运动称为旋转这个，这样的图形运动称为旋转这个 称为旋转中心，转动的称为旋转中心，转动的_称为旋转角称为旋转角2 2条件：图形的旋转是由旋转中心、条件：图形的旋转是由旋转中心、 和和 确定的确定的3 3性质：图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方性质：图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度；注意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋向转动了相

121、同角度；注意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角，旋转角都转角，旋转角都 ；对应点到旋转中心的距离；对应点到旋转中心的距离 4 4一个图形只要满足一个图形只要满足_这一这一条件，就是旋转对称图形条件，就是旋转对称图形角度角度角度角度旋转方向旋转方向旋转角旋转角相等相等相等相等绕一点旋转某个角度后能与原图形重合绕一点旋转某个角度后能与原图形重合定点定点5 5把一个图形绕某个点旋转把一个图形绕某个点旋转 后能与另一个图形完全重合，则后能与另一个图形完全重合，则这两个图形成中心对称，对应点连线都经过这两个图形成中心对称，对应点连线都经过 ，且被对称中心平分，且被对称中心平分，对应线段对应线

122、段_ 温馨提示：温馨提示：1.1.一对对应点与旋转中心所形成的角，就是旋转角；一对对应点与旋转中心所形成的角，就是旋转角；2.2.图形旋转时，要注意旋转方向，方向不同，旋转后的图形不同；图形旋转时，要注意旋转方向，方向不同，旋转后的图形不同；3.3.中心对称图形是特殊的旋转对称图形，它是有一个旋转角为中心对称图形是特殊的旋转对称图形，它是有一个旋转角为180180的旋转对称图形的旋转对称图形. .180180对称中心对称中心平行或在同一直线上且相等平行或在同一直线上且相等考点一考点一 生活中的立体图形生活中的立体图形1 1生活中常见的立体图形有：球体、柱体、生活中常见的立体图形有：球体、柱体、

123、 ，它们之间的关，它们之间的关系可用下面的示意图表示系可用下面的示意图表示2.2.多面体：由多面体：由_围成的立体图形叫围成的立体图形叫 . .锥体锥体平面图形平面图形多面体多面体 考点二考点二 由立体图形到视图由立体图形到视图1 1视图：从正面、上面和侧面视图：从正面、上面和侧面( (左面或右面左面或右面) )三个不同方向看一个物三个不同方向看一个物体，然后描绘三张所看到的图，即视图其中从正面看到的图形，称为正体，然后描绘三张所看到的图，即视图其中从正面看到的图形，称为正视图视图; ;从上面看到的图形从上面看到的图形, ,称为俯视图；从侧面看到的图形，称为侧视图称为俯视图；从侧面看到的图形，

124、称为侧视图2 2常见几何体的三种视图常见几何体的三种视图几何体几何体正视图正视图左视图左视图俯视图俯视图圆柱圆柱长方形长方形长方形长方形圆圆圆锥圆锥三角形三角形三角形三角形圆和圆心圆和圆心球球圆圆圆圆圆圆3.3.三种视图的作用三种视图的作用(1)(1)正视图可以分清长和正视图可以分清长和 ，主要提供正面的形状；，主要提供正面的形状；(2)(2)左视图可以分清物体的高度和厚度；左视图可以分清物体的高度和厚度；(3)(3)俯视图可以分清物体的长和俯视图可以分清物体的长和 ，但看不出物体的，但看不出物体的 温馨提示：温馨提示：1.1.在画视图时，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮在画视图

125、时，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线；廓线通常画成虚线；2.2.在画几何体的三种视图时，正视图和俯视图要长对在画几何体的三种视图时，正视图和俯视图要长对正，正视图和左视图要高平齐，左视图和俯视图要宽相等；正，正视图和左视图要高平齐，左视图和俯视图要宽相等；3.3.画圆锥的俯画圆锥的俯视图时，应注意画上圆心（表示圆锥的顶点），球体不论从哪个方向看的视图时，应注意画上圆心（表示圆锥的顶点），球体不论从哪个方向看的视图都是圆；视图都是圆；4.4.摆放角度不同，视图也不同摆放角度不同，视图也不同. .高高高高宽宽根据正视图和左视图确定小方块堆的俯视图的规律为：正视图与俯视

126、根据正视图和左视图确定小方块堆的俯视图的规律为：正视图与俯视图的列数相同，其每列的方块数是俯视图中该列中的最大数字；左视图的图的列数相同，其每列的方块数是俯视图中该列中的最大数字；左视图的列数与俯视图的行数相同，其每列的方块数是俯视图中该行中的最大数字列数与俯视图的行数相同，其每列的方块数是俯视图中该行中的最大数字. .考点三考点三 物体的投影物体的投影(1)(1)阳光下的影子为平行投影，在同一时刻两物体的影子应在同一方阳光下的影子为平行投影，在同一时刻两物体的影子应在同一方向上，并且物高与影长成正比向上，并且物高与影长成正比(2)(2)灯光下的影子为中心投影，影子应在物体背对光的一侧灯光下的

127、影子为中心投影，影子应在物体背对光的一侧(3)(3)盲区是视线不能直接到达的区域范围盲区是视线不能直接到达的区域范围温馨提示：温馨提示：在解决物体投影的问题时在解决物体投影的问题时, ,一定要先确定出该投影是平行投影还是中一定要先确定出该投影是平行投影还是中心投影心投影, ,特别在解决计算解答题时特别在解决计算解答题时, ,一定要正确找出比例关系，准确求解一定要正确找出比例关系，准确求解. .考点一考点一 圆的定义及其性质圆的定义及其性质1 1圆的定义有两种方式圆的定义有两种方式(1)(1)在一个平面内在一个平面内, ,线段线段OAOA绕它固定的一个端点绕它固定的一个端点O O旋转一周旋转一周

128、, ,另一个端点另一个端点A A随之旋转所形成的图形叫做圆随之旋转所形成的图形叫做圆. .固定的端点叫固定的端点叫 , ,线段线段OAOA叫做叫做 . .(2)(2)圆是到定点的距离等于定长的点的圆是到定点的距离等于定长的点的_._.2 2圆的对称性圆的对称性(1)(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴(2)(2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形圆是以圆心为对称中心的中心对称图形(3)(3)圆是旋转对称图形圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形圆是旋转对称图形圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合，这就是圆的重合，这就是

129、圆的 圆心圆心半径半径集合集合旋转不变性旋转不变性考点二考点二 垂径定理及推论垂径定理及推论1 1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧弧2 2推论推论1 1：平分弦：平分弦( (不是直径不是直径) )的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧温馨提示：温馨提示：1

130、.1.注意平分弦的直径不一定垂直于弦注意平分弦的直径不一定垂直于弦. .2.2.等弧指能完全重合的弧，其度数一定相同，但度数相同的弧不一定等弧指能完全重合的弧，其度数一定相同，但度数相同的弧不一定是等弧是等弧. .3.3.过圆心；过圆心；平分弦；平分弦；垂直于弦；垂直于弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的优弧；平分平分弦所对的劣弧弦所对的劣弧. .若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项，若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项，其中由其中由、得得、时，被平分的弦不是直径时，被平分的弦不是直径. .考点三考点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1

131、1定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等相等，所对弦的弦心距相等2 2推论：同圆或等圆中：推论：同圆或等圆中：(1)(1)两个圆心角相等；两个圆心角相等；(2)(2)两条弧相等；两条弧相等；(3)(3)两条弦相等；两条弦相等；(4)(4)两条弦的弦心距相等四项中有一项成立，则其余对应两条弦的弦心距相等四项中有一项成立，则其余对应的三项都成立的三项都成立考点四考点四 圆心角与圆周角圆心角与圆周角1 1定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，

132、角的两边和圆都相交的角叫圆周角都相交的角叫圆周角2 2性质性质(1)(1)圆心角的度数等于它所对弧的度数；圆心角的度数等于它所对弧的度数；(2)(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的 ；(3)(3)同弧或等弧所对的圆周角同弧或等弧所对的圆周角 同圆或等圆中相等的圆周角所同圆或等圆中相等的圆周角所对的对的_相等；相等；(4)(4)半圆半圆( (或直径或直径) )所对的圆周角是所对的圆周角是 ，9090的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是直径直径度数的一半度数的一半相等相等直角直角弧弧温馨提示：温馨提示：1.1.圆周角定理是把圆周角和圆心角这两类

133、不同的角联系在一起圆周角定理是把圆周角和圆心角这两类不同的角联系在一起. .2.2.同一条弧所对的圆周角相等；同一条弦所对的圆周角相等或互补同一条弧所对的圆周角相等；同一条弦所对的圆周角相等或互补. .3.3.半圆所对的圆周角是半圆所对的圆周角是9090,90,90的圆周角所对的弧是半圆的圆周角所对的弧是半圆. .4.4.已知条件中如果有直径时，常常作直径所对的圆周角，这是圆中常已知条件中如果有直径时，常常作直径所对的圆周角，这是圆中常添加的辅助线添加的辅助线. .考点五考点五 圆的性质的应用圆的性质的应用1 1垂径定理的应用垂径定理的应用2 2圆心角、圆周角性质的应用圆心角、圆周角性质的应用

134、3 3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的应用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的应用温馨提示：温馨提示：借助同弧、等弧所对圆周角相等，所对圆心角相等，进行角的等量代借助同弧、等弧所对圆周角相等，所对圆心角相等，进行角的等量代换；也可在同圆或等圆中，由相等的圆周角所对的弧相等，进行弧（或弦）换；也可在同圆或等圆中，由相等的圆周角所对的弧相等，进行弧（或弦）的等量代换的等量代换. .考点一考点一 点与圆的位置关系点与圆的位置关系1 1点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外如点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外如果圆的半径是果圆的半径是r r，点到圆心的距离为，点

135、到圆心的距离为d d，那么：，那么：(1)(1)点在圆上点在圆上d dr r；(2)(2)点点在圆内在圆内drdr.dr.2 2过三点的圆过三点的圆(1)(1)经过三点作圆：经过三点作圆：经过在同一直线上的三点不能作圆；经过在同一直线上的三点不能作圆；经过不经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆在同一直线上的三点，有且只有一个圆(2)(2)三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形(3)(3)三角形外

136、接圆的作法：三角形外接圆的作法：确定外心：作任意两边的中垂线，交点确定外心：作任意两边的中垂线，交点即为外心；即为外心；确定半径：两边中垂线的交点到三角形任一个顶点的距离作确定半径：两边中垂线的交点到三角形任一个顶点的距离作为半径为半径温馨提示：温馨提示：锐角三角形的外心在三角形内部锐角三角形的外心在三角形内部; ;直角三角形的外心在斜边中点处；直角三角形的外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部钝角三角形的外心在三角形的外部. .考点二考点二 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系1 1直线与圆的位置关系的有关概念直线与圆的位置关系的有关概念(1)(1)直线和圆有两个公共点时，叫做直线

137、和圆直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆_，这时的直线叫做，这时的直线叫做圆的圆的 ；(2)(2)直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆 ，唯一的公共点叫，唯一的公共点叫做做_，这时的直线叫做圆的，这时的直线叫做圆的 ；(3)(3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆 2 2直线和圆的位置关系的性质与判定直线和圆的位置关系的性质与判定如果如果O O的半径为的半径为r r，圆心，圆心O O到直线到直线l l的距离为的距离为d d，那么：，那么：(1)(1)直线直线l l和和O O相交相交drdr.dr.割线割线相切相切相离相离切线

138、切线相交相交切点切点考点三考点三 切线的判定和性质切线的判定和性质1 1切线的判定方法切线的判定方法(1)(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的到圆心的距离等于半径的直线是圆的 ；(3)(3)过半径外端点且和这条半径垂直的直线是圆的切线过半径外端点且和这条半径垂直的直线是圆的切线2 2切线的性质切线的性质(1)(1)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 ；(2)(2)推论推论1 1：经过切点且垂直于切线的直线必经过：经过切点且垂直于切线的直线必经过 ；(3)(3)推论

139、推论2 2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_._.切线切线半径半径圆心圆心切点切点考点四考点四 切线长定理切线长定理1 1切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长叫做这点到圆的切线长2 2切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角考点一考点一 两圆的位置关系两圆的位置关系设设R R、r r为两圆的半径，为两圆的半径，d

140、d为圆心距为圆心距(1)(1)两圆外离两圆外离dRdRr r；(2)(2)两圆外切两圆外切d dR Rr r；(3)(3)两圆相交两圆相交R RrdRrdr)r)；(5)(5)两圆内含两圆内含dRdr)r)( (注意：两圆内含时，如果注意：两圆内含时，如果d d为为0 0，则两圆为同心圆，则两圆为同心圆) )考点二考点二 三角形（多边形）的内切圆三角形（多边形）的内切圆1 1与三角形与三角形( (多边形多边形) )内切圆有关的一些概念内切圆有关的一些概念(1)(1)和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形内心，这个

141、三角形叫做圆的外切三角形；做三角形内心，这个三角形叫做圆的外切三角形；(2)(2)和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形圆的外切多边形2 2三角形的内心的性质三角形的内心的性质三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部且在三角形内部温馨提示：温馨提示：找三角形内心时，只需画出两内角平分线的交点；内心与三角形各顶找三角形内心时，只需画出两内角平分线的交点；内心与三角形各顶点连线是三角形各内角平分线点连线是三角形各内角平

142、分线. .考点三考点三 相交、相切两圆的性质相交、相切两圆的性质1 1相交两圆的连心线，垂直平分公共弦，且平分两条外公切线所夹相交两圆的连心线，垂直平分公共弦，且平分两条外公切线所夹的角的角( (注：平分两外公切线所夹的角，通过角平分线判定注：平分两外公切线所夹的角，通过角平分线判定“到角的两边到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上距离相等的点在这个角的平分线上”，很容易证明，很容易证明) )2 2相切两圆的连心线必经过切点相切两圆的连心线必经过切点3 3两不等圆相离时，两圆的连心线平分内公切线的夹角和外公切线两不等圆相离时，两圆的连心线平分内公切线的夹角和外公切线的夹角的夹角考点一考点一

143、弧长、扇形的面积弧长、扇形的面积1 1如果弧长为如果弧长为l l，圆心角为，圆心角为n n，圆的半径为，圆的半径为r r，那么弧长的计算公式，那么弧长的计算公式为：为：l l_._.2 2由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形若扇形的圆心角为若扇形的圆心角为n n，所在圆半径为，所在圆半径为r r，弧长为，弧长为l l，面积为，面积为S S，则，则S S_，或，或S S lrlr. .注：公式中的注：公式中的n n表示表示1 1的圆心角的倍数，所以不写单位的圆心角的倍数，所以不写单位考点二考点二 圆柱和圆锥圆柱和圆锥矩形矩形

144、底面周长底面周长母线长母线长扇形扇形弧长弧长半径半径考点三考点三 阴影部分的面积阴影部分的面积1 1规则图形：按规则图形的面积公式去求规则图形：按规则图形的面积公式去求2 2不规则图形：采用不规则图形：采用“转化转化”的数学思想方法把不规则图形的面的数学思想方法把不规则图形的面积采用积采用“割补法割补法”、“等积变形法等积变形法”、“平移法平移法”、“旋转法旋转法”等转化为等转化为规则图形的面积规则图形的面积考点一考点一 普查与抽样调查普查与抽样调查1 1为一特定目的而对为一特定目的而对 考察对象作的全面调查叫做普查考察对象作的全面调查叫做普查2 2为一特定目的而对为一特定目的而对 考察对象作

145、的调查叫做抽样调查考察对象作的调查叫做抽样调查温馨提示：温馨提示：抽样时必须保证每一个个体被抽取的机会是均等的抽样时必须保证每一个个体被抽取的机会是均等的, ,而且抽取样本要而且抽取样本要足够大足够大, ,对于一些科技性调查对于一些科技性调查, ,即使数量大即使数量大, ,也不能用抽样调查方法进行也不能用抽样调查方法进行. .所有所有部分部分考点二考点二 统计的有关概念统计的有关概念1 1总体、个体及样本总体、个体及样本在统计中，我们把所要考察对象的在统计中，我们把所要考察对象的 叫做总体，其中每一个考察叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体当总体中个体数目较多时，一般从总体中抽取一部分个体，对

146、象叫做个体当总体中个体数目较多时，一般从总体中抽取一部分个体，这一部分个体叫做总体的这一部分个体叫做总体的 ，样本中个体的数目叫做样本容量，样本中个体的数目叫做样本容量2 2平均数平均数全体全体样本样本总体中所有个体的平均数叫做总体平均数样本中所有个体的平均数总体中所有个体的平均数叫做总体平均数样本中所有个体的平均数叫做样本平均数通常用叫做样本平均数通常用 平均数去估计总体平均数，用样本估计总平均数去估计总体平均数，用样本估计总体时，体时， 越大，样本对总体的估计也就越精确越大，样本对总体的估计也就越精确3 3众数与中位数众数与中位数(1)(1)在一组数据中，出现次数在一组数据中，出现次数 的

147、数叫做这组数据的众数的数叫做这组数据的众数( (一组数一组数据的众数有时有几个据的众数有时有几个) )(2)(2)将一组数据按将一组数据按 ，把处在最中间的一个数据，把处在最中间的一个数据( (或最中间或最中间两个数据的平均数两个数据的平均数) )叫做这组数据的中位数叫做这组数据的中位数(3)(3)众数众数, ,中位数与平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势中位数与平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势. .(4)(4)当所给数据有单位时，众数、中位数也要有单位，且与原数据单当所给数据有单位时，众数、中位数也要有单位，且与原数据单位一致位一致样本样本样本容量样本容量大小依次排列大小依次

148、排列最多最多 越大越大考点一考点一 统计图的概念统计图的概念统计图是表示统计数据的图形，是数据及其之间关系的直观表现的反统计图是表示统计数据的图形，是数据及其之间关系的直观表现的反映映考点二考点二 几种常见的统计图表几种常见的统计图表1 1条形统计图条形统计图用长方形的高来表示数据的图形用长方形的高来表示数据的图形它的特点是：它的特点是：(1)(1)能够显示每组中的能够显示每组中的 ；(2)(2)易于比较数据之间的差别易于比较数据之间的差别2 2折线统计图折线统计图用几条线段连成的折线来表示数据的图形用几条线段连成的折线来表示数据的图形具体数据具体数据它的特点是：易于显示数据的它的特点是：易于

149、显示数据的 3 3扇形统计图扇形统计图(1)(1)用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表 中的不同部中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中所占分，扇形的大小反映部分在总体中所占 的大小，这样的统计图的大小，这样的统计图叫扇形统计图叫扇形统计图(2)(2)百分比的意义：在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该百分比的意义：在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对扇形的圆心角的度数与部分所对扇形的圆心角的度数与 的比的比(3)(3)扇形的圆心角扇形的圆心角360360 4 4频数分布直方图频数分布直方图(1)(1)每个对象出现的每个对象出现的

150、_叫频数叫频数变化趋势变化趋势总体总体百分比百分比360360百分比百分比次数次数(2)(2)每个对象出现的次数与总次数的每个对象出现的次数与总次数的 ( (或者百分比或者百分比) )叫频率，频数叫频率，频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度(3)(3)频数分布表、频数分布直方图和频数折线图都能直观、清楚地反频数分布表、频数分布直方图和频数折线图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的映数据在各个小范围内的 (4)(4)频数分布直方图的绘制步骤是：频数分布直方图的绘制步骤是：计算最大值与最小值的差；计算最大值与最小值的差；决定组距与组数；决定组距与组数

151、；确定分点，常使分点比数据确定分点，常使分点比数据 ，并且把第，并且把第一组的起点稍微减小一点；一组的起点稍微减小一点；列频数分布表；列频数分布表；用横轴表示各分段数据，用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图图比比分布情况分布情况多一位小数多一位小数考点一考点一 确定事件与不确定事件的有关概念及分类确定事件与不确定事件的有关概念及分类1 1必然事件：一定会发生的事件叫做必然事件必然事件：一定会发生的事件叫做必然事件2 2不可能事件：一定不会发生的事件叫做不可能事件不可能事件：一定不

152、会发生的事件叫做不可能事件3 3确定事件：必然事件和不可能事件统称为确定事件确定事件：必然事件和不可能事件统称为确定事件4 4不确定事件：可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件，不确定事件：可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件，也叫做随机事件或偶然事件也叫做随机事件或偶然事件考点二考点二 频率与概率频率与概率1 1概率：一个事件发生的可能性的大小，可以用一个数来表示，我概率：一个事件发生的可能性的大小，可以用一个数来表示，我们把这个数叫做这个事件发生的概率们把这个数叫做这个事件发生的概率2 2在进行实验的时候，当实验的次数很大时，某个事件发生的频率在进行实验的时候，当实验的次数很大时

153、，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近我们可以通过多次实验用一个事件的频率来估计稳定在相应的概率附近我们可以通过多次实验用一个事件的频率来估计这一事件的概率这一事件的概率3 3概率的计算方法及公式概率的计算方法及公式方法：方法：画树形图法；画树形图法；列表法列表法4 4概率的范围概率的范围一般地，当事件一般地，当事件A A为必然事件时，为必然事件时，P P( (A A) )1 1；当事件当事件A A为不可能事件时，为不可能事件时，P P( (A A) )0 0；当事件当事件A A为不确定事件时，为不确定事件时，0 0P P( (A A) )1.1.总之，任何事件总之，任何事件A A发生的概率

154、发生的概率P P( (A A) )都是都是0 0和和1 1之间之间( (包括包括0 0和和1)1)的数，即的数，即温馨提示：温馨提示：1.1.频率是多次实验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性频率是多次实验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性. .2.2.在计算某事件的概率时要注意：要清楚我们要关注的是发生哪个或在计算某事件的概率时要注意：要清楚我们要关注的是发生哪个或哪些结果；要清楚所有机会均等的结果哪些结果；要清楚所有机会均等的结果. .0P(A)10P(A)1考点一考点一 利用树形图或列表进行概率的预测利用树形图或列表进行概率的预测1 1画树形图是列举随机事件的所有可能结果的

155、重要方法：通过树形画树形图是列举随机事件的所有可能结果的重要方法：通过树形图，把所有可能的结果一一列出，有利于帮助我们分析问题，并且可以避图，把所有可能的结果一一列出，有利于帮助我们分析问题，并且可以避免出现重复和遗漏，既形象直观又条理分明免出现重复和遗漏，既形象直观又条理分明2 2列表法也是列举随机事件的所有可能结果的一个重要的方法：列表法也是列举随机事件的所有可能结果的一个重要的方法：为了准确地画树形图或列表往往需要为了准确地画树形图或列表往往需要“编号编号”；列表法是画列表法是画“树形图树形图”的必要补充的必要补充考点二考点二 用替代物模拟试验用替代物模拟试验在实验中往往会出现手边没有相应的实物的情况，需要借助替在实验中往往会出现手边没有相应的实物的情况，需要借助替代物进行模拟试验，要广开思路，创造性地进行实物代替，尽可能代物进行模拟试验，要广开思路，创造性地进行实物代替，尽可能地就地取材，但应该注意的是替代物与被替代物可以形状、大小、地就地取材，但应该注意的是替代物与被替代物可以形状、大小、质地差别很大，但是试验时考查的试验对象，其出现的机会应该是质地差别很大，但是试验时考查的试验对象，其出现的机会应该是相同的，这样利用替代物做模拟试验，才不会影响试验的结果相同的，这样利用替代物做模拟试验，才不会影响试验的结果