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1、目录 上页 下页 返回 结束 第四节 基本积分法 :换元积分法 ;分部积分法 初等函数求导初等函数积分一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容: 第四四章 直接积分法 ;1目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 有理函数的积分有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式 + 真分 式分解其中部分分式部分分式的形式为若干部分分式部分分式之和2目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 将下列真分式分解为部分分式 :解解: (1) 用拼凑法3目录 上页 下页 返回 结束 (2) 用通分赋值法故4目录 上页 下页 返回 结束 四种典型部分分式的积分四
2、种典型部分分式的积分: 变分子为 再分项积分 5目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求解解: 已知例1(3) 6目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求解解: 原式7目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求求解解:说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 8目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求求解解: 原式9目录 上页 下页 返回 结束 常规法 例例6. 求求解解: 原式注意本题技巧注意本题技巧本题用常规方法解很繁10目录 上页 下页 返回 结束 按常规方法解第一步 令比较系数定 a , b , c , d
3、 . 得第二步 化为部分分式 . 即令比较系数定 A , B , C , D .第三步 分项积分 .此解法较繁 !11目录 上页 下页 返回 结束 二二 、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式 ,令万能代换(参考下页例7)t 的有理函数的积分1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则12目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求求解解: 令则13目录 上页 下页 返回 结束 14目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求求解解: 说明说明: 通常求含的积分时,往往更方便 .的有理式用代换15目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求令原式16目录 上页
4、下页 返回 结束 例例10. 求求原式17目录 上页 下页 返回 结束 2. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:令18目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 求解解: 令则原式19目录 上页 下页 返回 结束 例例12. 求解解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的最小公倍数 6 ,则有原式令20目录 上页 下页 返回 结束 例例13. 求解解: 令则原式原式21目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .简便 , 22目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习计算解解: 1.2. 原式23目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1.求不定积分解：解： 令则, 故分母次数较高,宜使用倒代换.24目录 上页 下页 返回 结束 2.求不定积分解：解：原式 =前式令; 后式配元25
