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1、第六章第六章 定积分的应用定积分的应用1 微元法微元法2 定积分的几何应用定积分的几何应用3 定积分的物理应用定积分的物理应用(不讲不讲)1定积分的几何应用课件6 .1 定积分的定积分的微元法微元法2定积分的几何应用课件究竟哪些量可用定积分来计算呢究竟哪些量可用定积分来计算呢.首先讨论这个问题首先讨论这个问题. 结合曲边梯形面积的计算结合曲边梯形面积的计算定积分的元素法定积分的元素法一、问题的提出一、问题的提出可知可知, 用定积分计算的量用定积分计算的量应具有如下应具有如下及定积分的定义及定积分的定义许多部分区间许多部分区间,(即把即把a, b分成分成两个特点两个特点:(1) 所求量所求量I
2、即与即与a, b有关有关;(2) I 在在a, b上具有可加性上具有可加性.则则I 相应地分成许多部分量相应地分成许多部分量,而而I 等于所有部分量之和等于所有部分量之和)3定积分的几何应用课件按定义建立积分式有按定义建立积分式有四步曲四步曲:“分割、分割、有了有了N-L公式后公式后,对应用问题来说对应用问题来说关键关键就在于如何写出就在于如何写出方法方法简化步骤简化步骤被积表达式被积表达式.定积分的元素法定积分的元素法得到得到 这个复杂的极限运算问题得这个复杂的极限运算问题得到了解决到了解决.是所求量是所求量 I 的微分的微分于是于是, 称称为量为量 I 的的微元微元或或元素元素. .取近似
3、、取近似、 求和、求和、 取极限取极限 ”,4定积分的几何应用课件这种简化了的建立积分式的方法称为这种简化了的建立积分式的方法称为定积分的元素法定积分的元素法元素法元素法或或微元法微元法. .简化步骤简化步骤(1)在在a,b上取一小区间上取一小区间 x,x+x,求出求出 x,x+x上所求量上所求量I的近似值的近似值,(,(也就是它的微分也就是它的微分) )f(x)dx,即即 I f(x)dx,5定积分的几何应用课件 x,x+x,这个小区间上所这个小区间上所对应的小曲边梯形面积对应的小曲边梯形面积面面积积元元素素得得定积分的元素法定积分的元素法 曲边梯形面积的积分式也可以用曲边梯形面积的积分式也
4、可以用元素法元素法 建立如下建立如下.地等于长为地等于长为f(x)、宽为、宽为dx 的的小矩形面积小矩形面积,故有故有近似近似在在a,b上取一小区间上取一小区间6定积分的几何应用课件6 .2 定积分的几何应用定积分的几何应用平面图形的面积平面图形的面积旋转体的体积旋转体的体积已知平行截面面积的体积已知平行截面面积的体积平面曲线的弧长平面曲线的弧长小结小结 思考题思考题 作业作业7定积分的几何应用课件一、平面图形的面积一、平面图形的面积 回忆回忆的几何意义的几何意义:曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积. . 启示启示 一般曲线围成区域的面积也可以一般曲线围成区域的面积也可以
5、用定积分来计算用定积分来计算.定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用定积分定积分 下面曲线均假定是下面曲线均假定是连续连续曲线曲线. 注注8定积分的几何应用课件求这两条曲线及直线求这两条曲线及直线x=a,x=b所围成所围成区域的区域的面积面积A.它对应的它对应的面积元素面积元素dA为为(1) 即即f(x) g(x),定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用1.1.直角坐标系中图形的面积直角坐标系中图形的面积 在在a,b上任取一小区间上任取一小区间x,x+dx设在设在a,b上上,曲线曲线y=f(x)位于曲线位于曲线y=g(x)的上方的上方, 小区间小区间,9定积分的几何应用课件y=c,
6、y=d所围成区域的所围成区域的面积面积A.(2) 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用求由曲线求由曲线x=f(y) ,x=g(y) (f(y) g(y) 和和直线直线的的面积元素面积元素dA为为它对应它对应小区间小区间10定积分的几何应用课件例例解解 画草图画草图,求两曲线交点的坐标以便确定积分限求两曲线交点的坐标以便确定积分限,解方程组解方程组:交点交点法一法一选选 为积分变量为积分变量,定积分的应用定积分的应用11定积分的几何应用课件法二法二 选选y为积分变量为积分变量,是否可以选是否可以选y为积分变量为积分变量定积分的应用定积分的应用12定积分的几何应用课件分成若干块上面讨论过的
7、那两种区域分成若干块上面讨论过的那两种区域,只要分别只要分别(3)一般情况下一般情况下,由曲线围成的有界区域由曲线围成的有界区域,总可以总可以算出每块的面积再相加即可算出每块的面积再相加即可.(2)(1)(1)(2)定积分的应用定积分的应用13定积分的几何应用课件例例解解两曲线交点为两曲线交点为由于图形关于由于图形关于y轴对称轴对称, 故故定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用14定积分的几何应用课件解解曲线的参数方程为曲线的参数方程为由对称性由对称性,作变量代作变量代换换,例例其中其中总面积等于总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积不易积分不易积分.求椭圆求椭圆 所围图形的面
8、积所围图形的面积. 一般地一般地,当曲线用参数方程表示时当曲线用参数方程表示时,都可以用类似的变量代换法处理都可以用类似的变量代换法处理.定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用15定积分的几何应用课件面积元素面积元素曲边扇形的面积曲边扇形的面积2.2.极坐标下平面图形的面积极坐标下平面图形的面积由极坐标方程由极坐标方程给出的平面曲线给出的平面曲线所围成的面积所围成的面积A.定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用和射线和射线曲曲边边扇扇形形16定积分的几何应用课件解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积例例求双纽线求双纽线所围平面图形的面积所围平面
9、图形的面积.定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用17定积分的几何应用课件解解 利用利用对称性对称性知知定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用例例 求心形线求心形线r=a(1+cos) )所所围平面平面图形的面形的面积(a0)18定积分的几何应用课件 求求r=1和双纽线和双纽线r2=2cos2所所围平面平面图形公共部分的面形公共部分的面积解解 利用对称性知利用对称性知定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用19定积分的几何应用课件二、体二、体 积积1. 1. 旋转体的体积旋转体的体积圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台旋转体旋转体旋转体旋转体这直线叫做这直线叫做旋转轴旋转轴由一个平面图形绕
10、这平面内一条直线旋转由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体一周而成的立体定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用20定积分的几何应用课件(1)如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线y=f(x), 直线直线x=a,x=b及及 x 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的旋轴旋转一周而成的旋转体的体积为转体的体积为定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用旋转体的体积旋转体的体积采用元素法采用元素法取积分变量为取积分变量为x,为底的为底的小曲边梯形小曲边梯形绕绕 x 轴轴旋转而旋转而成的薄片的成的薄片的体积元素体积元素21定积分的几何应用课件解解根据旋转
11、体的体积公式根据旋转体的体积公式,有有例例取积分变量为取积分变量为x,oxy定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用22定积分的几何应用课件（2）如果旋转体是由连续曲线）如果旋转体是由连续曲线及及 y 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转轴旋转一周而成的旋转体的体积为一周而成的旋转体的体积为直线直线定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用体积元素体积元素23定积分的几何应用课件解解 两曲线的交点为两曲线的交点为绕绕y轴旋转轴旋转例例定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用24定积分的几何应用课件解解例例求摆线求摆线的一拱与的一拱与y=0所围成的图形分别绕所围成的图形分
12、别绕x轴轴,y轴旋转而成的旋转体的体积轴旋转而成的旋转体的体积.绕绕 x轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积变量代换变量代换试问试问:绕绕 y轴旋转一周所形成的旋转体体积如何计算轴旋转一周所形成的旋转体体积如何计算定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用25定积分的几何应用课件解解 两曲线的交点为两曲线的交点为绕绕y轴旋转轴旋转定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用26定积分的几何应用课件2. 2. 平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积上垂直于一定轴的各个截面面积上垂直于一定轴的各个截面面积,立体体积立体体积如果一个立体不是旋转体如果一个立体不是旋转体,但却知
13、道该立体但却知道该立体的体积也可用定积分来计算的体积也可用定积分来计算.那么那么,这个立体这个立体表示过点表示过点x且垂直于且垂直于x轴的轴的截面面积截面面积,为为x的已知连续函数的已知连续函数.采用元素法采用元素法体积元素体积元素定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用27定积分的几何应用课件解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程底圆方程例例 一平面经过半径为一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心的圆柱体的底圆中心,并与底并与底面交成角面交成角,计算这平面截圆柱体所得立体的体积计算这平面截圆柱体所得立体的体积.垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形.底底高高截面面积截面
14、面积立体体积立体体积对称性对称性定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用28定积分的几何应用课件作一下垂直于作一下垂直于y轴的截面是轴的截面是截面长为截面长为2x, 宽为宽为ytan矩形矩形截面面积截面面积定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用 可否选择可否选择y作积分变量作积分变量?此时截面面积函数是什么此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积如何用定积分表示体积?29定积分的几何应用课件解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积垂直于垂直于x轴的截面为等腰三角形轴的截面为等腰三角形例例 求以半径为求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径
15、的的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为线段为顶、高为h的正劈锥体的体积的正劈锥体的体积.定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用30定积分的几何应用课件三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长设设A、B是曲线弧上是曲线弧上在弧上在弧上插入分点插入分点并依次连接相邻分点并依次连接相邻分点得一内接折线得一内接折线,当分点的数目无限增加且每个小当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时弧段都缩向一点时, 此折线的长此折线的长的极限的极限存在存在,则称则称此极限此极限为曲线弧为曲线弧AB的弧长的弧长.1. 平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用的两个
16、端点的两个端点,定理定理 光滑曲线弧是可求长光滑曲线弧是可求长.31定积分的几何应用课件弧长元素弧长元素弧长弧长2. 2. 直角坐标情形直角坐标情形小切线段的长小切线段的长以对应小以对应小切线段的长代替小线段的长切线段的长代替小线段的长设曲线弧为设曲线弧为其中其中有有一阶连续导数一阶连续导数.取积分变量为取积分变量为x,任取小区间任取小区间定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用32定积分的几何应用课件解解所求弧长为所求弧长为例例定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用悬链线方程悬链线方程计算介于计算介于 之间一段弧长度之间一段弧长度.33定积分的几何应用课件曲线弧为曲线弧为弧长弧长3
17、. 参数方程情形参数方程情形其中其中具有连续导数具有连续导数.定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用34定积分的几何应用课件解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为对称性对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用例例 求星形线求星形线的全长的全长.35定积分的几何应用课件曲线弧为曲线弧为弧长弧长4. 极坐标情形极坐标情形其中其中具有连续导数具有连续导数.定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用36定积分的几何应用课件解解定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用).412ln(412222p pp pp pp p+ + + + += =a37定积分的几何应用课件作业作业习题习题6-2 (285页页) 1. 2.(1)(4) 3. 5.(1)(2) 6. 8. 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用10. 11. 12. 15. (3) 16. 17. 18. 19. 21. 22. 24. 25. 27. 30. 38定积分的几何应用课件
