《建筑力学：第十五章 力法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《建筑力学：第十五章 力法（60页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十五章 力 法15151 1超静定结构的概念超静定结构的概念静定结构：静定结构： 支座反力和各截面的内力都可以用支座反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一确定静力平衡条件唯一确定 。超静定结构：超静定结构：是没有多余联系的几何不变体系。是没有多余联系的几何不变体系。 支座反力和各截面的内力不能完全支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一确定由静力平衡条件唯一确定 ，是有多余联系的几何不变体系。是有多余联系的几何不变体系。 静定刚架静定刚架 超静定刚架超静定刚架 有多余联系是超静定结构区别于静定结构的有多余联系是超静定结构区别于静定结构的基本特性基本特性 151515152 2 2
2、 2 力法的基本原理力法的基本原理力法的基本原理力法的基本原理一、一、力力力力法的基本结构法的基本结构去掉多余联系用多余未知力来代替后得到的静去掉多余联系用多余未知力来代替后得到的静定结构称为：按力法计算的基本结构定结构称为：按力法计算的基本结构 二、力法的基本未知量二、力法的基本未知量 现在要设法解出基本结构的多余力现在要设法解出基本结构的多余力X X1 1，一，一旦求得多余力旦求得多余力X X1 1，就可在基本结构上用静力平，就可在基本结构上用静力平衡条件求出原结构的所有反力和内力。因此多衡条件求出原结构的所有反力和内力。因此多余力是最基本的未知力，又可称为力法的基本余力是最基本的未知力，
3、又可称为力法的基本未知量。但是这个基本未知量未知量。但是这个基本未知量X X1 1不能用静力平不能用静力平衡条件求出，而必须根据基本结构的受力和变衡条件求出，而必须根据基本结构的受力和变形与原结构相同的原则来确定。形与原结构相同的原则来确定。三、力法的基本方程三、力法的基本方程三、力法的基本方程三、力法的基本方程 用来确定用来确定用来确定用来确定X X X X1 1 1 1的条件是：基本结构在原有荷载的条件是：基本结构在原有荷载的条件是：基本结构在原有荷载的条件是：基本结构在原有荷载和多余力共同作用下，在去掉多余联系处的位移和多余力共同作用下，在去掉多余联系处的位移和多余力共同作用下，在去掉多
4、余联系处的位移和多余力共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构中相应的位移相等应与原结构中相应的位移相等应与原结构中相应的位移相等应与原结构中相应的位移相等 为了唯一确定超静定结构的反力和内力，为了唯一确定超静定结构的反力和内力，必须同时考虑必须同时考虑静力平衡条件静力平衡条件和和变形协调条件变形协调条件 若以若以 1111表示表示X X1 1为单位力（即为单位力（即 1 1=1=1）时，）时，基本结构在基本结构在X X1 1作用点沿作用点沿X X1 1方向产生的位移，则方向产生的位移，则有有 1111= = 1111X X1 1, ,于是上式可写成于是上式可写成(a)式式(a)(a)就是
5、根据原结构的变形条件建立的用以确就是根据原结构的变形条件建立的用以确定定X X1 1的变形协调方程，即为力法基本方程。的变形协调方程，即为力法基本方程。为了具体计算位移为了具体计算位移 1111和和 1p1p，分别绘出基本结，分别绘出基本结构的单位弯矩图构的单位弯矩图 1 1（由单位力（由单位力 X X1 1=1 =1 产生）和产生）和荷载弯矩图荷载弯矩图M Mp p（由荷载（由荷载q q 产生），分别如图产生），分别如图 (a) (a) (b) (b) 所示所示, ,用图乘法计算这些位移用图乘法计算这些位移 因此可解出多余力因此可解出多余力X X1 1 多余力多余力X X1 1求出后，其余所
6、有反力和内力都可用求出后，其余所有反力和内力都可用静力平衡条件确定。超静定结构的最后弯矩图静力平衡条件确定。超静定结构的最后弯矩图M M，可利用已经绘出的，可利用已经绘出的 1 1和和MpMp图按叠加原理绘图按叠加原理绘出，即出，即应用上式绘制弯矩图时，可将应用上式绘制弯矩图时，可将 1 1 图的纵标乘图的纵标乘以以X X1 1倍，再与倍，再与Mp Mp 图的相应纵标叠加，即可绘出图的相应纵标叠加，即可绘出M M 图如图图如图 (c)(c)所示。所示。 综上所述可知综上所述可知, ,力法是以力法是以多余力多余力作为基本作为基本未知量，取去掉多余联系后的静定结构为基未知量，取去掉多余联系后的静定
7、结构为基本结构，并根据本结构，并根据去掉多余联系去掉多余联系处的已知位移处的已知位移条件建立条件建立基本方程基本方程，将多余力首先求出，而，将多余力首先求出，而以后的计算即与静定结构无异。它可用来分以后的计算即与静定结构无异。它可用来分析任何类型的超静定结构。析任何类型的超静定结构。15153 3 超静定次数的确定与基本结构超静定次数的确定与基本结构超静定次数：超静定次数： 多余联系的数目或多余未知力的数目 确定超静定次数最直接的方法就是在原结构上去掉多余联系，直至超静定结构变成静定结构，所去掉的多余联系的数目，就是原结构的超静定次数。 从超静定结构上去掉多余联系的方式有从超静定结构上去掉多余
8、联系的方式有以下几种：以下几种： （1 1）去掉支座处的支杆或切断一根链杆，）去掉支座处的支杆或切断一根链杆，相当下去掉一个联系，如图相当下去掉一个联系，如图 (a) (b) (a) (b) 所示；所示；（2 2）撤去一个铰支座或撤去一个单铰，相当）撤去一个铰支座或撤去一个单铰，相当于去掉二个联系，如图于去掉二个联系，如图 (c) (d) (c) (d) 所示；所示；（3 3）切断一根梁式杆或去掉一个固定支座，）切断一根梁式杆或去掉一个固定支座，相当于去掉三个联系，如图相当于去掉三个联系，如图 (e) (e) 所示；所示；（4）将一刚结点改为单铰联结成或将一个固定支座改为固定铰支座，相当于去掉
9、一个联系，如图 (f) 所示。 对于同一个对于同一个超静定结构超静定结构，可用各种不同的，可用各种不同的方式去掉多余联系而得到不同的静定结构。因方式去掉多余联系而得到不同的静定结构。因此在力法计算中，同一结构的基本结构可有各此在力法计算中，同一结构的基本结构可有各种不同的形式。但应注意，去掉多余联系后。种不同的形式。但应注意，去掉多余联系后。为了保证基本结构的几何不变性，有时结构中为了保证基本结构的几何不变性，有时结构中的某些联系是不能去掉的。的某些联系是不能去掉的。 如图 (a)所示刚架，具有一个多余联系。若将横梁某处改为铰接，即相当于去掉一个联系得到图 (b)所示静定结构；当去掉 B支座的
10、水平链杆则得到图 (c)所示静定结构，它们都可作为基本结构。但是，若去掉 A支座的竖向链杆或 B支座的竖向链杆，即成瞬变体系图 (d)所示，显然是不允许的，当然也就不能作为基本结构。图图 (a)(a)所示超静定结构属内部超静定结构，因所示超静定结构属内部超静定结构，因此，只能在结构内部去掉多余联系得基本结构，此，只能在结构内部去掉多余联系得基本结构，如图如图 (b)(b)所示。所示。 对于具有多个框格的结构，按框格的数目来确定超静定的次数是较方便的。一个封闭的无铰框格，其超静定次数等于3，故当一个结构有n个封闭无铰框格时，其超静定次数等于3n。如图 (a)所示结构的超静定次数等于3x8=24。
11、当结构的某些结点为铰接时，则一个单铰减少一个超静定次数。图 (b)所示结构的超静定次数等于： 3x8-5=19。 15154 4 力法典型方程力法典型方程 用力法计算超静定结构的关键在于根据位用力法计算超静定结构的关键在于根据位移条件建立力法的基本方程，以求解多余力。移条件建立力法的基本方程，以求解多余力。对于多次超静定结构，其计算原理与一次超静对于多次超静定结构，其计算原理与一次超静定结构完全相同。定结构完全相同。 图图 (a)(a)所示为一个三次超静定结构，在荷载所示为一个三次超静定结构，在荷载作用下结构的变形如图中虚线所示。用力法求解作用下结构的变形如图中虚线所示。用力法求解时，去掉支座
12、时，去掉支座C C的三个多余联系，并以相应的多的三个多余联系，并以相应的多余力余力X X1 1 、X X2 2 和和X X3 3代替所去联系的作用，则得到代替所去联系的作用，则得到图图 (b)(b)所示的基本结构上，也必须与原结构变形所示的基本结构上，也必须与原结构变形相符，在相符，在C C点处沿多余力点处沿多余力X X1 1 、X X2 2 和和 X X3 3 方向的方向的相应位移相应位移 1 1 、 2 2和和 3 3都应等于零。都应等于零。 根据叠加原理，可将基本结构满足的位移条根据叠加原理，可将基本结构满足的位移条件表示为：件表示为： 这就是求解多余力这就是求解多余力X X1 1 、X
13、 X2 2和和X X3 3所要建立的力法方程所要建立的力法方程其物理意义是：在基本结构中，由于全部多余力和其物理意义是：在基本结构中，由于全部多余力和已知荷载的共同作用，在去掉多余联系处的位移应已知荷载的共同作用，在去掉多余联系处的位移应与原结构中相应的位移相等与原结构中相应的位移相等 用同样的分析方法，我们可以建立力法的一用同样的分析方法，我们可以建立力法的一般方程。般方程。 对于对于n n次超静定结构，用力法计算时，可去掉次超静定结构，用力法计算时，可去掉n n个多余联系得到静定的基本结构，在去掉的个多余联系得到静定的基本结构，在去掉的n n个多余联系处代之以个多余联系处代之以n n个多余
14、未知力。个多余未知力。 当原结构在去掉多余联系处的位移为零时，当原结构在去掉多余联系处的位移为零时，相应地也就有相应地也就有n n 个已知的位移条件：个已知的位移条件：i=0(i=1,2,n) 据此可以建立据此可以建立n n个关于求解多余力的方程个关于求解多余力的方程 在上列方程中，从左上方至右下方的主对角线（自左上方的11至右下方的nn）上的系数ii称为主系数。 ij称为副系数， 它可利用i图j图图乘求得。 根据位移互等定理可知副系数ij与ji是相等，即ij=ji。 该方程称为力法的典型方程该方程称为力法的典型方程按前面求静定结构位移的方法求得典型方程中的按前面求静定结构位移的方法求得典型方
15、程中的系数和自由项后，即可解得多余力系数和自由项后，即可解得多余力X Xi i。 然后可按照静定结构的分析方法求得原结构的然后可按照静定结构的分析方法求得原结构的全部反力和内力。全部反力和内力。 或按下述叠加公式求出弯矩或按下述叠加公式求出弯矩 再根据平衡条件可求得其剪力和轴力再根据平衡条件可求得其剪力和轴力。 15155 5 力法的计算步骤和举例力法的计算步骤和举例 力法计算超静定结构的力法计算超静定结构的步骤步骤 1.1.去掉原结构的多余联系得到一个静定的基本去掉原结构的多余联系得到一个静定的基本结构，并以多余力代替相应多余联系的作用。结构，并以多余力代替相应多余联系的作用。2.2.建立力
16、法典型方程。根据基本结构在多余力和建立力法典型方程。根据基本结构在多余力和原荷载的共同作用下，在去掉多余联系处的位移原荷载的共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构中相应的位移相同的位移条件，建立应与原结构中相应的位移相同的位移条件，建立力法典型方程力法典型方程 3.3.求系数和自由项求系数和自由项 4.4.解典型方程，求出多余未知力。解典型方程，求出多余未知力。5.5.绘出原结构最后内力图绘出原结构最后内力图。 例例15.115.1 试分析图试分析图 (a)(a)所示刚架，所示刚架，EI=EI=常数。常数。解：解：1.1.确定超静定次数，选确定超静定次数，选取基本结构取基本结构此刚架具有
17、一个多余联系，此刚架具有一个多余联系，是一次超静定结构，去掉是一次超静定结构，去掉支座链杆支座链杆C C 即为静定结构，即为静定结构，并用并用X X1 1代替支座链杆代替支座链杆C C 的的作用，得基本结构如图作用，得基本结构如图 (b)(b)所示。所示。2.2.建立力法典型方程建立力法典型方程原结构在支座原结构在支座 C C 处的竖向位移处的竖向位移1 1=0=0。根据位移。根据位移条件可条件可得力法的典型方程得力法的典型方程如下：如下： 3.3.求系数和自由项求系数和自由项(a)(a)所示，再作荷载单独作用于基本结构时的弯矩图所示，再作荷载单独作用于基本结构时的弯矩图MpMp图如图图如图(
18、b)(b)所示所示. .然后利用图乘法求系数和自由项然后利用图乘法求系数和自由项首先作首先作 I I =1=1单独作用于基本结构的弯矩图单独作用于基本结构的弯矩图 1 1图如图图如图4.4.求解多余力求解多余力 将将1111、 1p 1p 代人典型方程有代人典型方程有解方程得解方程得（正值说明实际方向与基本（正值说明实际方向与基本结构上假设的结构上假设的X X1 1方向相同，即垂直向上）。方向相同，即垂直向上）。 M5.绘制最后弯矩图各杆端弯矩可按 PMXM+=11计算，最后弯矩图如图计算，最后弯矩图如图 (c)(c)所示。所示。 至于剪力图和轴力图，在多余力求出后，可直接按作静定结构剪力图和
19、轴力图的方法作出，如图 (a) (b)所示。例例15.215.2 试分析图试分析图 (a)(a)所示刚架，所示刚架，EI=EI=常数常数解：解：1.1.确定超静定次数，选取基本结构此刚架确定超静定次数，选取基本结构此刚架是两次超静定的。去掉刚架是两次超静定的。去掉刚架B B处的两根支座处的两根支座链杆，代以多余力链杆，代以多余力X1X1和和X2 X2 ，得到图，得到图 (b)(b)所所示的基本结构。示的基本结构。2.建立力法典型方程3.绘出各单位弯矩和荷载弯矩图 如图 (a) (b) (c)所示。 利用图乘法求得各系数和自由项 4.求解多余力将以上系数和自由项代人典型方程并消去 ，得解联立方程
20、，得 5、作最后弯矩图及剪力图、轴力图，如图 (d) (e) (f) 所示。 15-6 15-6 对称性的利用对称性的利用 用力法解算超静定结构时，结构的超静定次用力法解算超静定结构时，结构的超静定次数愈高，多余未知力就愈多，计算工作量也就愈数愈高，多余未知力就愈多，计算工作量也就愈大。但在实际的建筑结构工程中，很多结构是对大。但在实际的建筑结构工程中，很多结构是对称的，我们可称的，我们可利用结构的对称性，适当地选取基利用结构的对称性，适当地选取基本结构本结构，使力法典型方程中尽可能多的副系数等，使力法典型方程中尽可能多的副系数等于零，从而使计算工作得到简化。于零，从而使计算工作得到简化。 当
21、结构的几何形状、支座情况、杆件的截面当结构的几何形状、支座情况、杆件的截面及弹性模量等均对称于某一几何轴线时，则称此及弹性模量等均对称于某一几何轴线时，则称此结构为结构为对称结构对称结构。 如图如图a a所示刚架为对称结构，可选取图所示刚架为对称结构，可选取图b b所所示的基本结构，即在对称轴处切开，示的基本结构，即在对称轴处切开， 以多余未知力以多余未知力x x1 1, , x x2 2, , x x3 3来代替所去掉的来代替所去掉的三个多余联系。三个多余联系。 相应的单位力弯矩图如图相应的单位力弯矩图如图c,d,ec,d,e所示，所示， 其中其中x x1 1和和x x2 2为为对称未知力对
22、称未知力；x x3 3为为反对称的未知力反对称的未知力， 显然显然1 1, , 2 2 图是图是对称图形对称图形； 3 3是是反对称图形反对称图形。 由图形相乘可知：由图形相乘可知： 故力法典型方程简化为故力法典型方程简化为 由此可知，力法典型方程将分成两组：由此可知，力法典型方程将分成两组： 一组只包含对称的未知力，即一组只包含对称的未知力，即x x1 1, x, x2 2； 另一组只包含反对称的未知力另一组只包含反对称的未知力x x3 3。 因此，解方程组的工作得到简化。因此，解方程组的工作得到简化。 非对称的外荷载可分解为对称的和反对称的两种非对称的外荷载可分解为对称的和反对称的两种情况
23、的叠加情况的叠加 （如图（如图 f.a.bf.a.b）（1 1）外荷载对称时，使基本结构产生的弯矩图）外荷载对称时，使基本结构产生的弯矩图p p是对称的，则得是对称的，则得从而得从而得x x3 3=0=0。 这时只要计算对称多余未知力这时只要计算对称多余未知力x x1 1和和x x2 2。 （2 2）外荷载反对称时）外荷载反对称时 使基本结构产生的弯矩图使基本结构产生的弯矩图p p是反对称的是反对称的 ，则得，则得 从而得从而得 X X1 1 = X = X2 2 =0 =0 这时，只要计算反对称的多余未知力这时，只要计算反对称的多余未知力X X3.3.从上述分析可得到如下结论：从上述分析可得
24、到如下结论： 1. 1.在计算对称结构时，如果选取的多余未在计算对称结构时，如果选取的多余未知力中一部分是对称的，另一部分是反对称的。知力中一部分是对称的，另一部分是反对称的。则力法方程将分为两组：一组只包含对称未知则力法方程将分为两组：一组只包含对称未知力；另一组只包含反对称未知力。力；另一组只包含反对称未知力。 2. 2.结构对称，若外荷载不对称时，可将外结构对称，若外荷载不对称时，可将外荷载分解为对称荷载和反对称荷载，而分别计荷载分解为对称荷载和反对称荷载，而分别计算然后叠加。这时，在对称荷载作用下，反对算然后叠加。这时，在对称荷载作用下，反对称未知力为零，即只产生对称内力及变形；在称未
25、知力为零，即只产生对称内力及变形；在反对称荷载作用下，对称未知力为零，即只产反对称荷载作用下，对称未知力为零，即只产生反对称内力及变形。生反对称内力及变形。例例15-315-3 利用对称性，计算图利用对称性，计算图 a)a)所示刚架，并绘所示刚架，并绘最后弯矩图最后弯矩图。解（1 1）此结构为三次超静定）此结构为三次超静定刚架，且结构及荷载均为对刚架，且结构及荷载均为对称。称。 在对称轴处切开在对称轴处切开, ,取图取图(b) (b) 所示的基本结构所示的基本结构 。由对称性的结论可知由对称性的结论可知x x3 3=0=0，只须考虑对称未知，只须考虑对称未知力力x x1 1及及x x2 2（2
26、 2）由切开处的位移条件，建立典型方程）由切开处的位移条件，建立典型方程 （3 3）作）作1 1, , 2 2, M, Mp p 图（图图（图c,d,ec,d,e），利用），利用图形相乘法求系数和自由项图形相乘法求系数和自由项 将各系数和自由项代人典型方程，解方程得m（4）由叠加公式M=1x1+2x2+Mp， 求得各杆杆端 弯矩值，绘最后弯矩图M， 如图f所示。小 结 1、力法的基本原理 力法是计算超静定结构的基本方法之一。超静定结构的主要特点是有多余联系，力法解题的基本原理是：首先将超静定结构中的多余联系去掉，代之以多余未知力。以去掉多余联系后得到的静定结构作为基本结构，以多余未知力作为力法
27、的基本未知量，利用基本结构在荷载和多余未知力共同作用下的变形条件建立力法方程（称为力法的基本方程），从而求解多余未知力。求得多余未知力后，超静定问题就转化为静定问题，可用平衡条件求解所有未知力。 2 2、确定基本未知量和选择基本结构、确定基本未知量和选择基本结构 一般用去掉多余联系使原超静定结构变为静定结构的方法。去掉的多余联系处的多余未知力即为基本未知量。去掉多余联系后的静定结构即为基本结 构。所以基本未知量和基本结构是同时选定的。同一超静定结构可以选择多种基本结构，应尽量选择计算简单的基本结构，但必须保证基本结构是几何不变且无多余联系的静定结构。3 3 、建立力法方程建立力法方程基本结构在
28、荷载（或温度变化、支座移动等）基本结构在荷载（或温度变化、支座移动等）及多余未知力作用下，沿多余未知力方向的位及多余未知力作用下，沿多余未知力方向的位移应与原结构在相应处的位移相等，据此列出移应与原结构在相应处的位移相等，据此列出力法方程。要充分理解力法方程所代表的变形力法方程。要充分理解力法方程所代表的变形条件的意义，以及方程中各项系数和自由项的条件的意义，以及方程中各项系数和自由项的含义。含义。因此，因此，力法计算的关键是：确定基本未知力法计算的关键是：确定基本未知量；选择基本结构；建立基本方程。量；选择基本结构；建立基本方程。 4 4 、力法方程的系数和自由项的计算力法方程的系数和自由项
29、的计算系数和自由项的计算就是求静定结构的位移。因此，系数和自由项的计算就是求静定结构的位移。因此，要使系数、自由项的计算准确，必须保证静定结构要使系数、自由项的计算准确，必须保证静定结构的内力（或内力图）的正确和位移计算的准确。力的内力（或内力图）的正确和位移计算的准确。力法方程中的主系数法方程中的主系数( ii( ii) )恒大于零；副系数恒大于零；副系数ijij= =jiji，注意这一特点。，注意这一特点。和自由项可能小于零、等于零，也可能大于零，且和自由项可能小于零、等于零，也可能大于零，且副系数副系数 5 5 、超静定结构的内力计算与内力图的绘制超静定结构的内力计算与内力图的绘制 通过解力法方程求得多余未知力后，可用静力平衡方程或内力叠加公式计算超静定结构的内力和绘制内力图。对梁和刚架来说，一般先计算杆端弯矩、绘制弯矩图，然后计算杆端剪力、绘制剪力图，最后计算杆端轴力、绘制轴力图。6 6 、对称性的利用对称性的利用如果结构对称，可选择对称的基本结构，利用荷载对称或反对称作用时的内力和变形特性，可使计算得以简化。
